PLATON ET SES CONTEMPORAINS

Ses successeurs, Théophraste d'Erèse et Eudème, avaient écrit des Histoires de la Géométrie^ de r Arithmétique et de V Astronomie^ qui malheureusement ne nous ont pas été conservées. Quant au commentateur du philosophe de Stagyre, Alexandre d'Aphrodisie, il s'occupa des nombres cycliques ou circulaires sur la nature desquels on n'est pas bien fixé.

CIIAPITllE IV

Fondation de TEcole d'Alexandrie. Œuvres d'Euclide

et d'Archimède.

En ranné€>J}3i avant noire ère, un petit bourg riverain du Nil fut transformé en une Aille immense |)ar la volonté d'Alexandre, habilement secondé par Dinostrates, rarchitecle du temple de Diane à Eplièse. Sous cette impulsion, de grandioses monuments s'élevèrent comme par enchantement, on créa un port magnifique ([ui ne tarda pas à accaparer le commerce du globe, et ce village naguère ignoré devint bientôt le centre intellectuel de TLnivers. Toutes les religions, toutes les races se fondirent, s'amalgamèrent dans cette nu*rveilleuse cité, dans Alexandrie où la civilisation grecque désormais transplantée allait puiser une sève vigoureuse et rayonner encore sur le monde pendant près de dix siècles.

Après la mort du grand conquérant (3^3 av. J. -(].), un de ses lieutenants Ptolémée, eut l'Egypte en partage, et une fois qu'il eut assuré l'avenir de sa dynastie par la force, il Aoulut occuper les dernières années de son rèo^ne à ori>aniscr ses états. Il a' attira les savants les plus renommés, il fonda ce Muséum où toutes les connaissances humaines, les Mathématiques entre autres, eurent de remarquables interprèles, et enfin il édifia cette fameuse Bibliothèque, qui sous Démétrius de Phalère possédait plus de !\oo ooo rouleaux.

L'ECOÙS a'AZSXÀKBBtE

Dans le prcmiei" siècle de son existence, l'Ecole d'Alexaiidriu compta les trois plus illustres mathématiciens de l'antiquité : Eiiclide, Archiniède et Apollonius. Remarquons aussi qu'à partir de cette époque les documenti^ historiques vont perdre le caractère hypothéti<|ne qu'à de rares exceptions près nous leur avions trouvé jusqu'ici. Dorénavant nous n'apprécierons plus les savants dont nous analyserons les œuvres sur des rapprochements de passages isolés mais d'après leurs livres mêmes. Si parl'ois encore les détails biographi<|ues sont maigres ou contradictoires, nous couinaissons, au moins dans leurs grandes lignes, les travaux les plus importants d<! celle période si féconde.

D'après les sources arabes, Elclide serait né eu Syrie d'un père grec nommé Naiirrates, originaire de Damas fixé à Tyr. Celui-ci envoya probablement son fils faire ses études â Athènes, et il est certain que vers la fin du régne de Ptolémée Soter, roi d'Egypte (32li-a83 J.-C), Euclide avait déjà effectué des recher<:hes mathématiques assez remarquables, puisque ce prince l'appela à Alexandrie pour y prolesser la Géométrie et l'Arithmétique. L'éclat de son enseignement avait donc dû l'y précéder. Eu tous cas, il reçut un accueil des plus flatteurs, et fui chargé do composter un traité sur la science qu'il devait inculquer à ses disciples. C'est ià l'origine des Eléments. Si toutes les propositions énoncées dans ce livre ne lui appartiennent pas en propre, s'il est plausible même d'en attribuer une bonne partie à Pylliagore . à Hippocrate d e Cliio s, à " doxe et à îM^eclimo, on ne peut lui contester le mérite d'avoir coordonné les théorèmes, simplilié les déjnonstra lions, réduit le nombre des vérités primordiales admises jusqu'à lui cuuime axiomes et donné en plusieurs endroits des méthodes souvent élégantes et faciles pour un déliutant là où ses prédécesseurs s'étaient servis de raisonnements comp]i<[ués. Aussi, ninlgré les défauts que les modernes ont trouvé à leur reprocher,

BJSTOISE DES MATBEMAT

les Eléments conslitiiatent une

l'époque. Ce qui le prouve d'ailleurs mieux qui' lout le reste, c'est qu'après vingt siècles leur succès n'est pas épuisé. Les savants les plus eélèbrcs les ont couverts d'éloges, depuis Archiinède jusqu'à Deseartes, depuis Apollonius et Pappus jusqu'à Newton el Lagrange. (,lue de professeurs les ont enseignés 1 Que d'élèves les ont appris ! Que de commentateurs et de traducteurs n'ontils pas eus !

Cependant, parmi les critiques qu'on leur adresse, quelques-unes sont fondées. Ainsi certaines propositions données comme axiomes ne sont pas évidentes par ellesmêmes. Il n'y a pas d'eH'orls pour généraliser les résultats. Exemple : l'angle n'est pas envisagé dans le cas où il devient plus grand que deux droits. La classillcat ton est parfois imparfaite, et l'ouvrage un peu diffus. Enfin l'auteur se sert très rarement de la superposition de» figurca comme mode de démonstration. Tout récemment, en se plaçant au point de vue pédagogique, on a tenté des réformes pour modider l'aridité rebutante sous laquelle se présentait jadis la Géométrie dans les collèges '. On peut citer comme types de cette catégorie en France l'ouvrage de Rouché et Comberousse, et en Italie celui de Lazzeri et Bassani dont une seconde édition a paru l'an dernier.

Mais revenons à l'antiquité. Il parait vraisemblable qu'au milieu du v" siècle avant notre ère existait, sous le nom de Pythagore, un traité de Géométrie dont le cadre se rapprochait beaucoup de l'ouvrage d'Euclide, Trois ou quatre auteurs, dont un seul, Uippocrale de Chios, nous est connu, avaient déjà composé des livres analogues aux Elémenls au moins quant au fond. Que contenaient-ils au juste? Il est malaisé de le savoir puisque leurs travaux sont perdus. On trouve seule-

L'ÉCOLE D'ALEXANDRIE aS

menl des mentions aurcinotes relatives à rertains d'entre eux, eomine Theudios de Magnésie et Ilerinotime de Colophon, dans le résumé historique de Procliis'. D'autre part, Eudoxe, sans avoir tom|)nsé d'ouvrages didactiqiieH, semble avoir fait progresser la science d'une manière très importante. Il inventa la théorie des proportions et les théorèmes qui se rapportent à la mesure de la pyramide et du cône.

La Géométrie plane d'Euclide se dilTéreurie du reste de nos traités modernes. La théorie de la similitude suit l'étude du triangle, du parallélogramme, du cercle et du polygone régulier. Après avoir trouvé les propriétés essentielles de ces derniers, il démontre à part ce qui a trait aux figures semblables, en ne s'appuyant nullement sur celles-ci dans les raisonnements des théorèmes dont l'énoncé ne les comporte pas. il arrive à ce résultat en employant dès le début l'artifice suivant qui remplace souvent dans ses Eléments la notion de similitude.

Soit le parallélogramme ABCD. Sîpar un point quelconque P pris sur une diagonale AG on mène des

parallèles aux cotés, la figure sera divisée en deux parallélograninies péridi(iiiiétriiit.v CB'l'C et AA'l'D

semblables, et en (ii-iis autres psirallt-IograiiHiii'S paraplêroines PD'DC et PA'BB' équivalents doul !<?;> (.'ôtt;s aost alors réciproques. I'du fois ceci cJi'inonlrê, Euclide se sert de ce moyen pour construire par exemple une (juntrit'-iiie proportloanelle i-oninie sei-oml roté d'un pariiplérome dont te preiuier cùté ainsi que le paraplêruiiie correspondant sont donnés. 11 n'y a phi», en cflfet, qu'à terminer la construction du parallélograniiu^. Cette particularité l'erail donc supposer «pu* la géumÔ*trie pythajroricîenne se rapprochait plus de la nùtn? tA taot que succession des tliéorêiites. et qu'entre ré|KH)uê où vivait le pbdoAnphe de Samos et celle d'Euctide la Géométrie fut profondément remaniée â la suite des travaux d'Eudoxe sur les proportions.

Les Elêineitls sont trop connus pour qu'il soît nécessaire de les analyser louwiicnieiit. Esquissons-eii seulement les grandes lij^nes, la marcbe Générale. Ils conirmencent par des définitions. D'abord le point : « ce qut n'a pa.sde parties ));la ligne : « longueur sans largeur» ; le rectangle, le h rhombe » ou losange, le trapèze, Is cercle, etc. Nous donnons ci-contre le fac-similé tie la page d'un. manuscritqui leprodiiit précisément le début des F.lémeuts.

Ensuite on passe aux dix postulat» fundamenlau£ tels quB celui-ci par exemple : tous les angles droits sont égaux. Puis viennent les notions communes ou H axiomes » comme : le tout est plus grand que la partie ; deux lignes droites ne renferment point ua espace...

Les propositions qui se rattachent aux notions précédentes, découlent les unes des auti-es. Chacune d'elles se divise en quatre parties : l'exposition ou donnée, la construction, la démonstration i pour laquelle l'auteur a souvent recours à la méthode dite de « réduo lion â l'absurde m) et la conclusion. Cette façon logique de procéder fait converger les vérités acquises précédemment vers le théorènic iiii]»ortanl, mai;;, ce luxe de

Fig. 5. - ManusrTit des Élcmenia d'EiLLjot.

[Bibliothèqno Nationale de Puris, Fonda grec ii" a 341, f"'- Fac'Bimilé du di'but : dtifiniticins du point, de la ligi

preuves, cette surabondance de détails, fatigue quelque peu Tesprit du lecteur.

I Une fois ces préliminaires achevés, Euclide entre dans le vif de son sujet qu'il traite en treize livres, mais j si Ton examine le plan que Fauteur paraît s'être tracé, on \ reconnaît sans peine dans son œuvre quatre sections bien marquées. Dans la première (livres 1 à VI) le sagace mathématicien étudie les figures planes, les quantités proportionnelles et leur application à celles-ci. La seconde (livres VII, VIII et IX) est consacrée aux propriétés des nombres, principalement à leur emploi en Géométrie pour mesurer des rapports de longueur ou de surface. Ici s'introduit la notion d'incommensurabilité, car on rencontre dans les spéculations géométriques des figures qui n'ont aucune grandeur commune avec d'autres de même nature. En conséquence, Euclide s'en occupe dans le livre X. Enfin les derniers chapitres roulent sur les plans et les solides.

Dans les éditions des Eléments on ajoute parfois deux livres sur les cinq polyèdres réguliers, mais cette partie doit être attribuée à IIypsiclès, qui vivait, croit-on, un siècle et demi plus tard.

Un autre ouvrage d'Eudide faisait suite pour ainsi dire au précédent, c'était les Données, recueil propre à faciliter les applications. Les géomètres grecs ramenaient, en elfet, la résolution des problèmes à des Asooj^sva ou résultats immédiats do constructions connues. Exemples : un triangle dont on avait déterminé chaque angle était « donné de grandeur » ; une ligne dont on fixait l'inclinaison avec une autre était « donnée de position » ; un triangle dont on connaissait la valeur respective des angles et les rapports des cotés entre eux était « donné d'espèce ».

La singularité la plus remarquable de ce livre est qu'on peut déduire facilement de quel(|ues-unes de ses propositions la résolution des éijuations du second degré. Nous retrouverons plus loin la môme constata-

L'ÉCOLE D'ALEXAyDRIE ag

on pour Archimède et Apollonius. Si <:es mathématiciens ne an sont pas servis de formules, il faut l'attribuer iini(|U('menl au but qu'ils poursuivaient. Us raisonnaient toujours sur les grandeurs elles-mêmes, et non sur leur mesure. L'absence d'une langue algélii'iquc pour exprimer ces dernières ne les gênait donc pas. Cependant certaines constructions, telles que la division il'une droite en moyenne et extrême raison llustrent trop les relations des racines des équations du second degré, pour qu'ils ne les aient pas aperçues: Quant aux Poilsmes d'Euclidc sur lesquels on a beaucoup discuté, ils ne nous sont point parvenus. Tout ce que nous en savons est dû à Pappus ', qui en jiarle d'une manière assez obscure, l'iusieurs savants ontcherché à restituer cet ouvrage, entre autres Robert Simson au xviii" siècle, et plus près de nous Chasles. Ce dernier a pidilié, en 1880, un essai de divination de l'œuvre perdue, mais c'est plutôt ce » qu'aurait p[i îser » le géomètre alexandrin, que ce qu'il a vérita- -blement composé.

Un certain nombre d'écrits, tels que des Principes de Musique, une Optique et un abrégé d'Astronomie intitulé les Phénomènes, sont attribués à Euclide, mais ils ne paraissent pas lui appartenir. Enfin plusieurs autres ne .nous sont connus que par leurs titres. Les plus imporiants se rapportaient à la Perspeclife et aux Secdons coniques. Il avait égiilement publié un traité de péda- •^ogic géométrique ayant pour but d'éviter aux débutants les raisonnements inexacts , les pétitions de principes et les manques de logique analogues, si familiers aux jeunes étudiants.

En résumé, jamais traité didactique n'eut une vogue compai'able au chef-d'œuvre d'Eudide. Pendant toute la période du iloyen Age et de la Renaissance, on 'le

UA. £r ^cie„ze eiaiU ncU anlica Cïa«/u, libio 11. Moderia,

3o HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES

(Tonimnila. Ce fut le paîii quotidien des malht'-iiiaticicns d'alors. Cependant l'Occident np ronnul d'al)nrd les Eléments (|iitr Ironqiu'is. 11h lui parvinrent au v" siècle, grâce à Borce, <|tii conlondru d'Hilleiirs W professeur ' d'Alexandrie avec le philosophe de Méfjraro et cctlo t;rreur subsistera longtemps. De plus, on supposait <]u'Euclide avait seulement laissé des dêlinitïiiiis. On regardait ThtSon comme l'auteur des démonstrations.

Ati xii" siècle, Athelard de Bath les traduira pour la première fois de l'aralx; en un latin harbare, car depuis Honeïn-hcii-Ishak, mort vers 870. les disciples de Mahomet possédaient dans leur langue les Eléments. Los Persans eux-mêmes, grâce à l'astronome Nasir-Ed-DLu, purent apprendre, dès ia6o, la Géométrie dans Euclide. '

Lors de l'invention de l'imprimerie, la populantéde ce livre ne fit que grandir. L'édition latine pvinceps fut publiée h. Venise en i482. Son auteur Erhard Ratholl annonce dans sa préface que la difficulté d'impression dee images avait été jusque-là un obstacle pour la circulation des ouvrages (le ce genre. Cet obstacle, dit-il, vient d'être heureusement vaincu, et on peut donner maintenant << les figures géométriques avec autant de facilité <|ue les caractères ». Toutes les illustrations sont, en effet, exécutées en marge, et, ce qui est curieux, semblent gravées sur métal. Le texte grec, accompagné du Commentaire de Proclus, parut pour la première l'ois à Bâle, en i553. gr âce aux so ins de ('■ryiueus.

Depuis cette époque, maintes éditions d'Éuclide succédèrent. Parmi les plus célèbres on cite celle ^e j Rome (1594), celle d'Oxibrd (lyoS), une tihas phia I luxueuses, et la gr e c q u e -1 r an ç a is^ati n e dePeyrard. imprimée à Paris en 1814, d'après un très ancien manuscrit provenant de la Bibliothèque du Vatican. Mais la plus intéressante et la plus correcte, scJentifiquemeat parlant, est celle récemment mise au jour, à Leipzig, par He iberg et Meuge {i88i-i8<)6).

Quant à Conon et Uositliée, les successeurs immê-

VÈCOLE D'ALEXANDRIE 3l

diats d'Euolide à Alexandrie, ils n'ont pas laissé grandes traces dans l'histoire des Mathématiques, et Tamitié d'Anchimf.de a siirLoiit sauvé leur nom de l'oubli. Ce f>Tand —homme, "dont les travaux vont nous occuper maintenant, a ouvert bien des routes dans le domaine seienlifique .Né en l'an aS? avant Jésus-Christ, il était, si nous en croyons Plutarque, apparenté à Hiéron, roi de Syracuse, Nous n'insisterons guère ici sur toutes les inventions plus ou moins fabuleuses qu'on attribue à sou puissant génie, ni sur ses découvertes relatives aux lois de l'équilibre des corps plongés dans des lluides, et nous parlerons encore moins des fantaisistes légendes mises sur son compte. Mais exposons rapidement, avant de passer à l'analyse de ses œuvres, les particularités les plus authentiques de sa vie.

Pendant le siège (ju'eut à soutenir sa patrie contre les Romains, l'ingéniosité d'Areliiinède se donna libre carrière, et il construisit des catapultes gigantesques pour détruire la (lotte ennemie qu'il aurait même fini par incendier. A ce propos, on n'ignore pas qu'en 1777 BufTon, suivant point par point la description du procédé imaginé par le sagaee Syracusain,' lit construire un miroir métallique, et répéta cette expérience. Il réussit â enflammer du bois à une distance de i5o pieds, et à fondre du plomb à 140.

Archimède ne put cependant empêcher les ennemis de s'emparer de la ville par surprise, et il mourut sous le fer d'une lirule soldatesque en aia. Ses compatriotes ne tardèrent pas à l'oublier, si bien que Cicéron, un siècle et demi après, alors qu'il était questeur de Sicile, eut grand'peine à découvrir son tombeau disparu sous les broussailles. Le philosophe raconte le fait dans ses TuscuUincs, et il ajoute mélancoliquement : « Ainsi la plus noble et jadis la plus docte des cités grecques ignorerait encore la place du tombeau du plus illirstre de ses enfants, si un homme d'Arpinum ne la lui avait enseignée n. Il l'avait retrouvésurmonté, conformément

3, IJISTOIBE DES ilATUEUATIQVES

aux ilésïrs tl'Ai-ohimède, d"un« sphère insrrite dans cylindre, aQn Ac schémaliser aux veux de« iirofanes sa défouverlc des rrlatioits res|iectîves entre les volumes 1 et les surfaces de ces deux ligures.

Quoi (ju'il eu soit de ces détails anecdotiques, Archi- ' mède, à son retour d'Egypte où il suivît les leçons de Conon et de Dosithée. commença ses travaux, et il rendît ' de précieux services à la Science, en créant la Mécanique i et la (jêoniélric Biipcrîeiire.

La plus iuiporlante de ses productions est son traité Dt Ut sphère et du cylindre dans lequel sr trouvent énoncés les principaux théorèmes relatifs aux rapports i existant entre le cylindre, te cercle et la sphère. En ] voici quelques-uns ;

La surface d'un cylindre droit quelconque, la base J exceptée, est égale à celle d'un cercle dont le rayon est \ moyen proportionnel entre le coté du cylindre et le diamètre de sa base.

La surface d'un cône droit quelconque, la base exceptée, est égale à celle d'un cercle dont le rayon est I moyen proportionnel entre le côté du cône et le rayon du cercle de base du cône.

La surface d'uuc sphère quelconque est quadruple de celle d'un de ses grands cercles.

La surface d'un segment sphérique quelconque «Bt égiilc H un cercle qui a pour rayon une droite menée j du sommet du segment à la circonférence du cercle qui J est la base du segment, etc.

Pour la démonstration de ces théorèmes, Archimède s'appuie sur quelques principes qu'il pose au début de son ouvrage. 11 montre d'abord que la ligne droite est i la plus courte de toutes celles qui ont les mêmes extrémités. II passe ensuite à la délînition des lignes et des J surfaces « concaves d'un même côté », puis il formule J les deux propositions suivantes : si deux lignes concaves d'un même côté |)ossèdent les mêmes extrémités ' et que l'une soit k comprise tout entière par l'autre »

L'ÉCOLE D-ALEXAyDR/E 33

I l'entourante est plus grande que Tentourée, Il en est I de même pour les surfaces : si deux surfaces com;aves I d'un niera© côté se terminent à la même ligne dans un [ plan, et que l'une entoure l'autre, l'étendue de la surface I enveloppante sera plus grande que celle de la surface I enveloppée.

A l'aide de ces principes qui précisaient nettement les figures courLes et qui tenaient Heu de définitions impossibles à donner sans faire intervenir les notions infinitésimales, Archimède arrivait aux plus fines démonstrations. Ces découvertes arrachèrent plus tard à Leibniz cet aveu : ic ceux qui peuvent comprendre Archimède admirent moins les découvertes des modernes. » Tel est le contenu du premier livre De la sphère et du cylindre. Le second renferme uniquement des problèmes du genre de ceux-ci :

Couper une sphère par un plan, de façon que les surfaces des segments aient entre elles une raison donnée.

Couper une sphère par un plan, de manière que les segments aient entre eux une raison donnée.

La solution de ces questions était fort ardue, vu les ressources qu'Archimède avait à sa disposition '. Cette dernière, entre autres, exigerait la résolution d'une équation du 3° degré.

Un auti'o de ses écrits Des conoïdes et des sphéroïdes, montre avec quel talent il savait manier les transformations de figures. Archimède nomme « conoïdes » les corps engendrés par la révolution d'une hyperbole autour de son axe transverse, ou d'une parabole autour de son diamètre, et « sphéroïde » le solide décrit par une ellipse tournant autour d'un de ses axes. Si la révo- I lution s'opère autour du grand diamètre, le sphéroïde ist dit a allongé »; si elle a lieu autour du petit on le 1 qualifie d' « aplati ". Plusieurs propositions de ce livre

(i) Ne83ELM*kn. du Jlgrbr.^ dcr Cnechea. Uorlin, 1842.

ItoxtR. liiBl. des Math. 1

sont souvent usitées, et Fune d'elles : Taire de l'ellipse esta celle du cercle circonscrit, dans le rapport du petit au grand axe, a de multiples applications en Astrononnie.

Mais le plus connu des ouvrages d'Archimède est le traité De la mesure du cercle qui renferme seulement trois propositions : il n'en a pas moins contribué à rendre immortel son auteur.

Le génial géomètre part de cet énoncé : un cercle quelconque égale le triangle rectangle dont un des côtés de l'angle droit a la même longueur que le rayon et dont l'autre cathète * est égale à sa circonférence. Voici en substance son raisonnement. Le cercle ne peut pas être supérieur au triangle rectangle dont un des côtés de l'angle droit égale la circonférence, et dont l'autre égale le rayon du cercle. 11 fait voir ensuite que la môme figure ne peut pas être plus petite, et il en déduit qu'en définitive le cercle et le triangle sont de même surface.

Une fois ce résultat acquis, il établit qu'un cercle est au carré construit sur son diamètre à peu près comme II est à 14. Enfin, serrant le problème de plus près, il arrive au but : la circonférence d'un cercle est égale au triple du diamètre réuni à une portion du diamètre, qui est plus petite que le septième do ce diamètre et inférieure à ses — . 11 parvint à cette valeur en traçant deux polygones de 96 côtés inscrits et circonscrits au même cercle. Comme la circonférence doit être naturellement comprise entre eux deux, il établit empiriquement la longueur de cette courbe en calculant leurs dimensions respectives, c'est-à-dire ses limites inférieure et supérieure. C'était un remarquable procédé pour un savant qui vivait près de deux mille ans avant les Leibniz et les Xe^vton !

(i) Le mot cathète désigna pendant longtemps le côté de Fangle droit d'un triangle rectangle. On le trouve employé encore dans certains traités mathématiques du xvii« siècle.

ECQLS D'ALEXAlfBRIE

Archimède trouva ainsi le rapport approi^liO de la rirronférence au diamètre, et montra qu'en choisissant celui-ci comme unité cette courbe est plus grande que 3-^ et plus petite que 3-^ . Malheureusement nous ignorons le mode de calcul employé par Archimède pour parvenir à ce résultat. A-t-il procédé par tâtonnements dans l'extraction des racines? Tout porte à le croire puisqu'il se contente simplement d'énoncer les diverses racines des nombres sans fournir de plus amples explications sur les moyens de vérification de sa formule.

Dans un autre champ de rcclierches le savant syracusain fut moins heureiLx.

Conon, s'était principalement occupé de rechercher les propriétés de Vké/ice^ mais il décéda vers 220 avant Jésus-Christ, sans démontrer les théorèmes qu'il avait formulés. Aussi un des premiers soins d'Archimède fut-il de compléter l'œuvre inachevée de son ami. Il donna d'abord la définition précise de la courbe. L'hélice est engendrée par un point qui se déplace sur une droite d'un mouvement uniforme, la droite tournant ellemême d'un mouvement identique autour d'un de ses points. Quantaux démonstrations qu'il fournit elles sont compliquées, et les procédés géométriques employés actuellement ont permis de les rendre beaucoup plus simples. Si donc les solutions sont originales, elles ont beaucoup diminué d'intérêt.

Un livre plus remarquable est celui Z)e Vêqililibre des plans ou de leur centre de gravité. Arcliimède s'y révèle !e véritable créateur de la Mécanique. Non seulement les centres de gravité d'un grand nombre de figures géométriques simples y sont déterminés, mais on y trouve ceux plus compliqués des segments de parabole à une ou à deux bases. Le tout est démontré avec concision, et s'appuie sur certaines propriétés insérées dans l'ouvrage sur la Quadrature de la parabole. Il parvint à cette dernière découverte, comme il l'explique lui-

BISTOtRE DSS MÂTBSMATiqVBS intime dans sa dédicace à Dosithtie son maître, au moj'en de deux mùthodoB : lime indirecte ou mécanique, l'autre géoraélrique. Nous insisterons sur celle-ci, la meilleure à notre avis. Après un rappel de quelques propriétés « établies par l'eux qui ont vécu avant lui », il inscrit dans la courbe un triangle ayant pour base celle du segment et pour sommet le point di' contact de la tangente parallèle à la base. Ce triangle est plus grand que la moitié de ce segment. Puis il en inscrit un autre dans chacun des segments fractionnels. I! en résulte qu'en continuant de la sorte cette bissection, la figure polygonale obtenue diil'érera d'aussi peu qu'on le dési- Q rera, du segment. D'autre part

ayant démontré que ABC = 4( AÏX2 H- BEC) et ainsi de suite, il en conclut que chaque triangle est quadruple des deux secondaires suivants. Or comme la somme des triangles inscrits tend vers la surface de la parabole, celle-ci se compose donc du triangle inscrit, du quart de celui-ci, du seizième du même, etc. Tout revient alors à sommer une progression géométrique dont la raison est un quart. La parabole est on définitive les y du triangle inscrit. Aujourd'hui cette démonstration nous parait aisée, une simple application d'une formule algébrique; il n'en était pas de même du temps d'Archimède, et pour avoir l'occasion d'admirer une fois de plus son habileté, relatons la méthode générale à laquelle il eut recours pour y parvenir.

Soient par exemple A, B, C, D... des grandeurs dont chacune est un carré ayant pour côté la moitié du précédent. Supposons P, F, P"... représentant respectivement le tiers de B, C, D... alors P + B sera le tiers de A ; F + C celui de B ; P" + D celui de C, etc. D'où B-f-C-l- D-I-...-I- P-hP' + P"H-... égalera le tiers de A -H B + C +... ; mais P + P' + P"+... étant le tiers

Fig. (

■tiyon serait égal â la