I .■ PE EF

sur cette droite de laçon que -p^ =^ -pg- et si on mené la ligne BF, chaque transversale issue de P, telle que PK, sera divisée par BH dans le rapport ^^ ^ ^1^-.

Avec MÉNÉL.4US nous entrons dans une nouvelle phase de l'histoire mathématique, la Trigonométrie sphérique est érigée en corps de doctrine. Ce géomètre, qui florissait à Alexandrie à la fin du i" siècle de notre ère, avait écrit un traité intitulé Des sphériques, dont Toriginal grec ne nous est pas parvenu mais dont nous possédons une traduction latine faite par Halley sur des versions hébraïques ot arabes et publiée à Oxi'ord en ijSS. On y rencontre l'important théorème, fondement de cette partie de la Science chez les Anciens, à savoir la propriété des six segments déterminés sur les trois côtés d'un triangle sphérique, par un arc de grand cercle.

Pour démontrer la » règle d'intersection », comme les Arabes appelèrent cette proposition, Ménélaiis pro- ■éda par analogie, en s'appuyant sur le lemnie suivant de Ptolémée : quand une transversale coupe les trois côtés d'un triangle, le produit des segments n'ayant pas d'extrémités communes égale le produit des trois autres. Dans notre siècle, Carnot, en faisant de ce théi

S4 niSTOlRE BES MÀTMÉMATIQUES I

rèmi' la base de sa ihi-orie tleslransvcrsalos, lui a ilonniune réelle importance. ■

Nous ne nous appesantirons guère sur Nicomaque et | Théon, deux mathématiciens sans grande originalité. I Le premier naquit à Gérase vers l'an 5o, el son Intro- I ducUait arithmétique a joui pendant longtemps d'une 1 grande autorité. C'est un mémento des idées pythajço- 1 riciennes sur ce sujet. Remaniée et abrégée par Bokce, I cette compilation de connaissances acquises antérieure- I ment l'ut le yado-mecum de tous ceux qui, au Moyen I Age, se livraient aux études mathématiques. Parmi le 1 petit nombre des propositions qui semblent appartenir ] à l'auteur, on range ^la suivante : les cubes sont toujours I égaux à la somme des nombres impairs successifs. Par- 1 exemple, 8 ou a" égale 3 -f- 5 ; 2^ ou 3" égale 7 H- 9 1 + II, et de la sorte jusqu'à l'inSni. 1

Gomme son prédécesseur, Théon, né à Siujrne dans I la première moitié du 11' siècle de notre ère, nous 4 a laissé dans ses Choses qui sont utiles pour la lecture 1 de Platon, des études sur les nombres. Après un 1 discours sur l'Histoire des Mathématiques, contenant 1 divers préceptes aussi bien sur la Musique et la Géo- 1 métrie que sur la peste et les moyens de la l'aire dis- I paraître, l'auteur abordti l'Arithmétique, la n première I des sciences « à son avis; puis il entretient son lâe- J teur de l'unité. Il classe ensuite les nombres, et learfl découvre de singulières propriétés. Relatons-les, CQ^n l'historien doit non seulement parler des lirillantes4 découvertes, mais s'inquiéter encore des travaux oiseux.9 ou négatifs qu'il rencontre. I

Les nombres premiers sont dits indécomposables, J linéaires, euthymétriques et impairemenl impairs. NoUBfl glisserons sur ces définitions. Les a composés » mesu«J renl un autre nombre. On les nomme « plans » quandJ ils ont longueur et largeur. (Ex. : 6^2X3) et « solides KtJ lorsqu'ils possèdent les trois dimensions (Ex. :3o = aJ X 3 X 5). Si nous passons aux catégories, les nombreâfl

PAPPt/S ET DIOFBAlfTE pairs pourront être ii pairement pairs n (Ex. : 8= a X4) ou « pairement impairs » (Ex, : 6 =; a X'-i). Nous voyons encore les « jequaliter asqualibiis » (Ex. : 4 =^ ^ X ^). les « iiiœqiialiler ina?qiialibus » décomposaliles en nombres inégaux (Ex. :6 = aX 3). les nombres k altéra pars longiores a comme la dont la longueur 4 dépasse la largeur 3 de l'unité. Ceux-ci sont toujours pairs, car si l'une de leurs dimensions ne l'est pas, l'autre l'est. L'arithméticien d'Alexandrie donne enfin les formules pour sommer les ri premiers nombres pairs ou carrés, mais sans fournir aucune démonstration.

Restons-en là. Cela nous suffit pour montrer, selon une expression contemporaine, « l'état d'Ame » des Pythagoriciens en ce qui concerne l'Arithmétique. On comprend alors pourquoi les géomètres grecs traitaient' avec tant de mépris la science des disciples de Pythagore, et si, comme le remarque avec juste raison M. Paul Taunery, la forme de Pexpo-sition est la propriété de ces deux commentateurs, elle constitue un irrécusable symptôme de décadence.

Abordons maintenant l'uBUvre du grand Ptolémée, de celui qui redonna quelque lustre à l'Ecole d'Alexandrie.

Comme il cultiva beaucoup plus l'Astrononiie que la Mathématique, nous n'aurons h nous occuper ici que de la plus faible partie de sou labeur, et cependant la mois son sera encore ample. Ce qu'on sait de sa biographie est court. Toutefois les historiens s'accordent pour fixer les premières observations rapportées dans son Almagesie, à l'an laS, et les dernières à l'an i5o. Il observait avec les instruments du Sïusée, qu'il perfectionna. Sans doute il emprunta pas mal à Hipparque et à ses prédécesseurs alexandrins; mais bien des idées neuves sur la Mécanique céleste lui sont dues. Voici le fondement de son système. La Terre occupe le centre de l'univers; les planètes et le Soleil tournent autour d'elle. Jusqu'à Copernic il régna avec une autorité incontestée. 11 fut pour les astronomes ce qu'Avis-

tote était pour les philosophes. Après on le décria, autant qu'on l'avait loué.

Nous pouvons être plus justes. Si ses hypothèses sont compliquées, elles sont marquées au coin de la plus grande originalité et il prépara les voies à Kepler qui les aplanit lui-môme à Newton. Au point de vue spécial des Mathématiques pures, il apporta d'importants perfectionnements à la Trigonométrie sphérique. D'autre part, si la méthode sexagésimale de division du cercle remonte aux Babyloniens, si Geminus et Hipparque s'en sont servis, le procédé de calcul, pour déduire des cordes de deux arcs les cordes de leur somme ou de leur difterence, appartient à Ptolémée. Il considéra le premier les trois axes rectangulaires que nous employons actuellement en Géométrie analytique pour fixer la position d'un point dans l'espace. En outre, on le regarde comme l'inventeur des projections sléréographiques et comme le pionnier des théories de la vision et de la réfraction atmosphérique. Résumons-nous donc. Ptolémée, quelle que soit sa part personnelle dans VAlmageste^ eut l'incontestable mérite d'a[)pliquer d'une façon métliodique la Géométrie et la Trigonométrie à l'Astronomie. Malgré cela, il n'eutpas d'imitateurs dans la roule qu'il avait si reniar([uablement ouverte. Un siècle et demi sera stérile, car les écrits d'Anatolius qui occupa la chaire de l'enseignement aristotéIi([ue à Alexandrie, et devint plus tard évoque de Laodicée, pas plus que ceux du philosoplie Plotin, de son discij)le Phorphyre et de son conlem])orain Jambli(|ue n'a|)j)ortèrent de contributions utiles à l'évolution des Malhéniati(|ues.

Il nous faut arriver à Pappus pour rencontrer un homme de ([uehjue envergure scientifique. Les renseignements biographie] ues le concernant sont très suo <!incts. On sait sini|)lement qu'il vivait à Alexandrie au IV® siècle, l'n seul de ses ouvrages, les Collections matliématiqups^ nous est parvenu et, autant qu'on peut

PAPPCrS ET DIOPSAXTE 5^

juger par la lecture, le hiit qiril se propose était d'iliilier, grâce à des commentaires, les géomètres de son époque aux travaux antérieurs les plus arides. Huit livres, dont le premier et uue partie du second, sont aujourd'hui perdus, les composaient.

Parmi les propositions y insérées, citons le théorème connu aujourd'hui sous le nom de Guldin parce que ce savant jésuite le redécouvrit au xvii" siècle : le volume engendré par la révolution d'une courbe plane complètement située d'un même côté de son axe de rotation, égale le produit de la surlacc plane génératrice par la circonférence que décrit son centre de gravité. Puis la recherche des propriétés de la quadrtitrice de Dinostrate l'occupe aussi. Il donne à ce propos deux modes de construction de cette courbe, dont voici le premier. Soit une hélice tracée sur un iCylindre droit circulaire. De chaque point de celle-ci ©n abaisse des perpendiculaires sur l'axe du cylindre. On forme ainsi la stu'lace héliçoïde ranipanle. Un plan passant par une de ces droites et faisant un angle convenable avec la base du cylindre, coupe la surface héliçoïde suivant une ligue dont la projection orthogonale .sur la même base est la quadratrice cherchée.

Un peu plus loin il étudie encore la spirale sphérique obtenue par le mouvement uniforme d'un point sur un grand cercle de la sphère, ce dernier tournant lui-même autour de son diamêlre. Il exprime l'aire de la portion de surface comprise entre cette courbe et sa base ; c'est donc Pappus qui donna le premier exemple de la quadrature d'une surface courbe.

Notons qu'on rencontre dans les Collections ntathématiqiies la relation fondamentale tlu rapport anharmonique de quatre points, devenue entre les mains de Chasles la base des théories modernes de l'honiographie et de l'involution. Une autre question, célèbre dans l'antiquité et à laquelle Newton et Descartes ont redonné plus lard un regain d'actualité, s'y trouve

HISTOIRE DSS MATHÉMATIQUES

ni, Oii la désig

sous le nom

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(troilt's ùlant données, trouver le lieu géométrique d'un point te! que les perpendioulaires (ou d'une fat-on plus générale les obliques inclinées sous certains angles) satisl'assent à la condition que le produit de oertaineB 1 d'entre elles soit dans un rapport constant avec le produit! dt! toutes les autres. Ce théorèiuc, qui se rultache à la | théorie des transversales, avait été résolu par Euclîdc f et Apollonius seulement dans le cas de trois ou quatre | droites. Le lieu est alors une conique. Il découle de ce \ résultat la propriété rcmarquabb^ de ce genre ile courbe : J quand un quadrilatère quelconque est inscrit à une-4 conique, le produit des distances de chaque point (Icj celle-ci à deux cotés opposés du quadrilatère, est aul produit des distances du même point aux deux autresJ côtés, dans un rapport constant. Cette proposition a très-l utilement guidé Pascal et Desargues, et elle est regar— i dée par Chasles comme » la plus universelle et la plus J féconde de toutes les propriétés »' des coniques.

Bien d'autres sujets sont envisagés au cours des Cot- 4 lecUons inatIuUnatiques, mais nous sommes l'orcés d'yfl renvoyer le lecteur. Signalons toutefois, pour terminer^f un exposé très net du but de l'analyse et de la synthèse.l L'auteur donne parfois deux solutions du même pro-s Llème, par l'une ou l'autre de ces méthodes.

Avec Pappus disparait le dernier grand géomètre dé^ l'antiquité. Une longue période s'écoulera avant quc^É la Géométrie ne fasse de nouveaux progrès. Nous aper-J cevrons çà et là quelques commentateurs des Euqlidef ou des Archimède, mais pas de découvertes originales^-J Cependant cette suite de siècles ne sera pas complète-tJ ment stérile dans toutes les parties des Matliématiques, T puisqu'une nouvelle science va naître avec Diopha.ntk.

(i) Charles. Apei

\ !• édit. Paris, 1889.

PAPPl'S ET DIOPHANTE Sg

Mais pour prenilreson merveîUeuxessur, ralgùLrt* devra attendre que le génie des Viête, des Descaries, des Leibniz el des Newton Tait fécondée.

L'inventeur de ce puissant instrument de progrès, mourut à Alexandrie au commencement du v" siècle de l'ère chrétienne. U était âgé de 84 ans. Ala vérité, Ahmes, dans le papyrus conservé au British Muséum de Londrt's, employa, selon le mol de Nesselmann, iinti « rhétorique algébrique » ', il raisonnait au moyen de mots sans faire usage de symboles, Pappus se servit de-ci de-là de quelques notations oit le savant professeur <le Heidelberg TkL Moritz Cantor veut voir l'embryon de l'algèbre. Dans un papyrus grec très ancien on trouve des signes de l'addition et de la soustraction, et d'autre part, au dire de corlains érudits, Diophante n'aurait eu que le. facile mérite de systématiser des connaissances familières aux mathématiciens de son temps*. Il est donc peu commode de choisir au milieu de tant d'opinions contradictoires, et de fixer avec précision le degré d'originalité de son Arithmétique. Constatons donc qu'il s'y sert d'une nouvelle langue, qu'il en fil usage non seulement pour les questions déjà connues, mais qu'il sut également l'appliquer à de nombreux problèmes insolubles avant lui. Malgré cela, ses écrits eurent peu de vogue de son temps. Après sa mort on les oublia duraal de longs siècles, et en 1460 seulement Régiomontanus les révéla au monde savant, une fois qu'il eut pris connaissance des fragments conservés dans un manuscrit du Vatican. Depuis lors on l'étudia, on le traduisit à plusieurs reprises, et le grand Fermai lui-même le commenta.

Contrairement à ce qu'à la vue de son titre des lecteurs modernes peuvent supposer, V Arithmétique est presque uniquement consacrée à IWlgébre, et en voici

(I) Nebb

(ï| CossALi. Orlgln,

ftnafii, t. I, Leipiig, 1

HISTOIRE DES MÂTBÈMATIQVES ' génc-rale. D'altord sa nolalîon tlîffère «le la

uôdc. l'oiii" représenter la ([iianlité îmonnue il s« sert du symbole î' ou s"' et il la nomme ô àoiSjioi;. Il appelle son oari'é ôûvaifJi'.î et son ciibo, xiiSo;, Dans les ralcnls ces derniers sont désignés par leurs initiales 3 et x combinées avec la seconde leltr»? j surmontée d'une barre horizontale et ainsi de suite jusqu'à la sixième puissaoce, l'auteur n'allant pas plus loin. Ci-joinI le lableaii résumant t'es abréviations :

Une quantité déterminée est locmée, d'après Dïo-1 phante, d'un certain nombre d'unités (ijLOvàoËï) et il \ note par le symbole }ji.°. Les coelBcienls des incoD-l nues sont toujours des nombres. Il les place immédiatement après la quantité qu'ils multiplient. Aujourd'hui nous procédons d'une manière contraire. Quant aux sî^es des opérations, ils nu ressemblent pas non plus aux nôtres. Pour indiquer l'addition de deux termes on 1rs juxtapose simplement. S'il s'agit, de les soustraire on place entre les deux une sorte de '|i renversé qui se rapporte à toutes les quantités qui le suivent. Les multiplications et les divisions n'ont pas d'indications propres; pourtant les Grecs metlaieni fréquemment le dividende et le diviseur sous forme de fraction; enitn l'égalité se représente comme dans la ligure particulière qu'on voit ci-dessous.

Les deux lignes suivantes montrent, en ell'et. la même équation, écrite dans la notation de Diophante et en caractères algébriques actuels ;

Ce qui précède, indique combien la langue algébrique a du subir de pcrfectionnemenls avant de devenir le clair et simple langage d'aujourd'hui.

Dans son Arithmétique, Diophante constate aussi qu'un nombre négatif multiplié par un autre nombre négatif donne un nombre positif. II applique ce principe à la multiplication Aq x — i par.r — 2 par exemple; cependanlil ne concevait pas un nombre négatif existant par luimôme. Ainsi il considérait comme un non-sens la différence i a: — 5 dans laquelle 3 ,r aurait été moindre que 5, D'autre part, il ne formule pas son procédé de résolution de l'équation du second degré, il no semble pas s'être rendu compte de la double racine car il rejette toujours, dans ses réponses, une quantité irrationnelle ou négative ; enfin, parmi les i3o problèmes qui nous sont parvenus, quelques-uns sont dètcrniinés du premier ou du second degré, mais le plus grand nombre est indéterminé. Quant aux solutions, Diophante les obtient d'ailleurs à l'aide d'artilîces de calcul, et il n'a pas en vue la généralisation des méthodes.

Tel est dans son ensemble VArilhmttique de Diophante qu'HïPATii avait commentée. Malheureusement L ce travail ne nous est pas parvenu. Au dire des anciens, K celte paraphrase ainsi que les notes écrites parla savante B sur les Coniques d'Apollonius étaient remarquables. Fille de Théon, notre mathématicienne vit le jour à Alexandrie vers l'an 3^5 de notre ère'. Après avoir appris de son père la Géométrie, et des professeurs du Musée les rudiments des autres sciences, elle se rendit à Athènes où l'enseignement publie jetait ses dernières lueurs, puis revint en Egypte professer dans la chaire qu'avait occupée Plotîn. Son éloquence, son talent, sa beauté et ses vertus groupèrent autour d'elle

tde nombreux disciples venus de tous lés points du tnonde. Malheureusement, elle eut une fin tragique. :

(1) Rebière. Lis fem

6a IIIsrOIRF. DFS JI.ITHFM.tTlQl KS

Au iV siècle Alexandrie ôtail partagée en Irois camp» rivaux : les païens, les juil's et les clirt^tiens dont la victoire commençait seulement à se dessiner. Hypatia était païenne. De là naquit une lutte entre le patriarche (Cyrille et le ppéfet nommé Oreste qui, admirant son génie, suiviiit souvent ses conseils. Sur ces entrefaites, au mois de mars 4<5, un certain Ilîêrax, maître d'école chrétien, périt de mort violente, et ses amis répandirent le bruit cju'il avait été tué à l'instigation de la philosophe et du gouverneur. Alors des fanatiques ayant ii leur tète Pierre, Ie<'teur d'une église, arrachèrent un jour Hypatia de sou char et la trainèrent dans Césarée oit, aprèi l'avoir dépouillée de ses vêtements, ils la lapidèrent portant ensuite ses membres sanglants au Cinaron.

Ainsi mourut le dernier professeur qui illustra h chaire de Mathématiques de l'école d'Alexandrie. J partir de cette époque, leur enseignement va se coiti centrer à Athènes. Quelques noms seuls émergent ds celte foule de compilateurs.

Proclus, le chef de l'école néo-platonîcienne, écrivilj sur le premier livre d'EucUde, un commentaire précietua pour l'histoire de la Géométrie chez les Grecs. 11 floria^ sait vers le milieu du v" siècle. Parmi les successeurs dt ce philosophe, qui cultivèrent la Science, un seul aua< certaine importance : c'est Eutocius dont les annotatioat sur Apollonius et Archiniède nous révèlent Texistenet d'auteurs plus anciens, et nous ont permis (t'en parler Quant à Aiithémîiis, Tarchitecte de l'église Saint Sophie Je Constantinople, né à Trallès en Lydie, oi croit qu'il professait les ^lathématiques quand Tempe reur Jiistinien le chargea de construirele monument qti devait le rendre plus célèbre que ses leçons.

Les mathématiciens athéniens de ce temps occupas donc une bien petite place dans l'histoire.

Les Mathématiques chez les Romains.

Pendant longtemps les Mathématiques no pénolrérent pas chez les Romaina. Les conquérants du monde n'avaient guère le loisir de s'arrêter aux spéculations .scientifiques. Pline ou Varron nous donnent seulement quelques lignes sur leur numération daelylique. Par ditrérentes combinaisons des doigts et des phalanges de la main gauche, ils comptaient jusqu'à 99. Les mêmes signes répétés par leur dcxtre devenaient des centaines. Ainsi le petit doigt et l'annulaire repliés vers la paume de la main gauche, représentaient 2, à la droite il signifiait 200, et ainsi de suitu. C'était là toute leur Arithmétique. La Géométrie enseignée dans les écoles de Rome ne s'élevait guère plus haut. Elle se bornait aux notions nécessaires aux arpenteurs [tigri- ■inensores). Les Italiens qui voulaient pousser plus loin leurs études dans cette voie, devaient se rendre à Alexandrie. C'est pourquoi nous ne nous appesantirons pas beaucoup sur les ouvrages relatifs à cette période. Ils ne nous sont il'ailleurs parvenus qu'en petit nombre ; età quoi bon surcharger de noms obscurs une Histoire ■dans laquelle nous nous inquiétons avant tout de la hliatiou des idées et des méthodes? Nous ne signalerons donc aucun mathématicien avant Cassiudore, né vers âyo à S(juillace (Calabre). Il devint successivement ministre de plusieurs rois de.s Oslrogoths, et se dîstrava des

UISTOIItE DES

l-ir/QlES

affaires publiques en écrivant un Iraîlû De institutione dif'inarum lilttrarum, oii exposé des règles «leiiseigneuienl ilu Iriviiiiii iiiraniniaire, lïhétoriquo. Logique) et du quatliivuim [Arithmétique, Géométrie, Astronomie et ilusiqui'). Co livre sans grande valeur sricntilique a cependant été le vade-mcciiin di? beaucoup d'étudiants au moyen âge. Quant aux. Martiantis Capella, aux Vietonus et aux Priscicn, nou» les mentionnerons siniplement sans nous y arrêter.

Les travaux de Boèce dont nous allons nous occuper maiuteaant, offrent plus d'ïntérél. Il appartenait à une des plus anciennes familles de Taristocratie romaine. Aprèe^ avoir commencé ses études à Rome, il alla les continuer à Athènes, et devint à son tour membre du Sénat. Lors de l'entrée de Théodoric dans la Ville Éternelle, il sut gagner ses bonnes grâces, et devint un de ses (avoris.

Tout eu remplissant les charges les plus iiiiporlanles, il étudiait les ouvrages d'Aristote et de Platon. Mais soa érudition, sa haute culture morale, bien au-dessus de son époque, ne pouvait être apprécié de ses barbares contemporains, et ses rivaux l'accusèrent de comploter avec l'empereur Justinien pour ruiner la domination des Ostrogoths, et affranchir Rome de leur joug. Théo" doric, plus intelligent que ses conseillers, résista quelque peu, mais il finit par leur céder. Boèce fiU emprisonné à Pavie, et étranglé en 5:^6. Sa feninuï avait partagé son exil, comme le prouve une épitapfae conservée à Saint-Pierre de Roukî '.

Parmi ses œuvres, soa. Arithmétique n'est qu'une copie, mal digérée d'ailleurs, de celle de Nîcomaque. Son Ars geomeliiœ, dont nous donnons ci-contre le fac-similé d'une page, est plus curieux. C'est lui qui fit connaîtra aux Latins la science euclidienne. 11 débute par une traduction littérale ou peu s'en faut des déGnitions des quatre premiers livres du mathématicien grec, mais les

(i) Heilbuu^

:. Leipiig, 174a.