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répaniiit bientôt dans toute la chrétienté. Mais les moines et les seigneurs voisins, jaloux de sa renommée, portèrent contre les mœurs de Gerhert d'odieuses accusations. Celui-ci dut fuir devant Forage et se retirer en Allemagne qu'il ne tarda pas à quitter de nouveau pour la France, rappelé par Tarchevôque de Reims.

Par son intelligence il sut redonner quelque lustre à l'université de celte ville où ses cours de Mathématiques et d'Astronomie attirèrent de nombreux disciples. Aussi Grégoire V voulant récompenser son mérite lui donna le siège épiscopal de Ra venue. Enfin, à la mort de ce dernier pontife, et grâce à l'appui de l'empereur Othon 111, il devint à son tour chef de l'Eglise catholique, sous le nom de Sylvestre II (999). Quatre ans plus tard il décédait. Malgré les hautes fonctions qu'il occupa, Gerbert trouva le temps de composer de multiples ouvrages scientifiques. 11 s'y montre plutôt disciple de Boèce, que continuateur des Arabes. Les principaux sont le De numerorum dUdsione et la Régula de abaco cornpull où il emploie un système de numération différent de celui des Latins, alors seul usité. C'est en somme la notation décimale moins le zéro, et on désignait ce procédé sous le nom d'abaque.

Dans sa Geometrla il donne d'abord les premières définitions, en commençant toutefois par celle du corps solide, puis il passe à la nomenclature des mesures romaines dont l'usage s'était conservé. Il en énumère un certain nombre : le dlgllus, le palinus (quart du pied), la pertlca (d'où est venu la perche), la leuca (d'où dérive notre lieue), etc. Aux chapitres suivants il étudie les triangles rectangles en appliquant les méthodes grecques qui fournissent des nombres rationnels pour les côtés; mais il utilise concurremment d'autres règles conduisant à des nombres fractionnaires.

Parmi les questions intéressantes qu'il y traite se • trouve la suivante : la surface et l'hypoténuse étant

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donnés, trouver les deux côtés. Ce problème est assez remarquable pour Tépoque, puisqu'il répond à une équation du second degré. L'auteur aborde ensuite la Géométrie pratique. Il passe en revue les moyens propres à déterminer la profondeur d'un puits, la hauteur d'un monument, la distance d'un objet inaccessible, etc. La fin de son livre est moins heureuse, car, dans ses formules relatives aux aires des polygones réguliers, il répète les erreurs des agrimenseurs romains.

On considère comme ses élèves quelques mathématiciens du môme siècle, entre autres Adalbolde, Berlinus et lïeriger. Mais leurs ouvrages, reflets des doctrines du Maître, ne méritent guère d'être tirés de la poussière des bibliothèques.

Vers la même époque, il faut placer Franco>', écolatre * de Liège, qui composa un opuscule De Quadratura circuit (io5o) où il expose une solution nécessairement fausse de ce problème dont la difficulté ne reff"raye pas. On y rencontre toutefois certaines considérations assez nettes. Il montre, par exemple, que l'expression en termes rationnels, môme à l'aide d'une série de substitutions, de la racine d'un nombre entier non carré parfait, comme i54, est impossible.

En Russie, les études mathématiques commençaient à se poursuivre, mais elles se bornaient à l'arithmétique et à l'arpentage. Le moine Kirique, de Nijni-Novgorod, nous a laissé un Traité des ccilculs chronologiques et du coinput (i i34), où il cite d'autres amateurs de la théorie des nombres ^

La particularité la plus curieuse, constatée dans ces auteurs slaves du moyen âge, est le penchant qui les pousse vers les spéculations arithmético-algébriques, — trait de ressemblanc^e avec les Hindous, et cependant ceux-(îi n'eurent aucune relation directe avec l'empire

(i) Revue f^enérale internationale scientifique, n" i5 (septembre 1897). (a) L'Enseignement mathématique. Paris, n» du i5 murs 1899.

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des Czars. Leurs premiers maîtres furent mt>me les

Grecs. __^— —-""'' —

GepnrdaTît leur numération était assez rudimentaire. Au XI'* siècle elle allait jnscpTà lo ooo, puis au sircle Suivant on la prolongea jus(ju'à lo ooo ooo; enliii du xiiT' au xvi" siècle elle se développa de loooooooo juscju aux unités du jo" ordre. Le domaine embrassé i)ar leur calcul s'élargissait donc lentement. Puis ils arrivèrent à exprimer d'une manière nuHhodique les multiples des diiréi*enles unités |)ar des lettres.

Dans le livre deKiricpie on trouve en particulier sous la dénomination « d'heures fractionnaires » les subdivisions de rheure écrites d'après le système quinaire.

Durant les cinq cents années qui suivirent, les premières écoles fondées par le clergé gréco-bulgare furent peu florissantes au point de vue des études scientifiques. On n'y apprenait même pas à calculer. Les Russes qui désiraient ac(|uérir des connaissances nuithématiques étaient obligés de le faire dans des institutions privées. Ces établissements, dirigés par des laïques, vivaient ignorés de TEtat comme des popes, et d'après les rares documents qui nous restent sur leur fonctionnement, on voit (ju'on y enseignait à peu près ce qu'on nommait dans le monde latin du moyen âge les « sept arts libéraux », c'est-à-dire la Grammaire, la Dialecti([ue, la Rhétorique, la Musique, l'Arithmétique, la Géométrie et la Cosmographie.

Pour ce qui nous regarde, le programme des études comportait peu de chose : les opéi*ations sur les nombres, le calcul des fractions, certaines notions de métrologie, l'arpentage. Quant à l'Astronomie et au com[)ut, ils formaient l'objet d'études complémentaires. Mais en i49'-i, " la lin de la période pour laquelle les calculs relatifs au calendrier avaient été efl'ectués, on sentit la nécessité de les prolonger plus loin, et plusieurs savants indigènes s'en tirèrent à leur honneur.

Le métropolite Zossima se chargea des vingt pre-

UOYEK. llist. des Malh. 0

mières années, et Philopé, évêqiie de Perm, vérifia son travail, puis rarchevêque de Nijni-Novgorod, Ilennady, le continua pour soixanle-dix ans.

Mais, somme toute, la science slave jusqu'à Pierre le Grand ne compte guère. Au moyen âge d'ailleurs celle de l'Europe ne la dépassait pas de beaucouj). Dans l'Université de Paris, la plus ancienne et la plus en renom, on commentait Boèce, on exécutait des calculs soit au moyen de Vabacus^ soit avec le vieux système des Jetons représentant chacun une unité, soit selon la nouvelle méthode introduite par Gerbert, à l'aide de jetons numérotés. En Géométrie on était peu avancé. On enseignait des règles et des énoncés de théorèmes sans démonstrations.

Revenons à l'ouest de l'Europe et quelque peu en arrière. L'Ecole arabe va faire sentir sa bienfaisante influence et secouer la torpeur intellectuelle du monde romain. Les connaissances mathématiques s'implantèrent d'abord en Espagne où les Maures s'étaient lixés dès 747- Après trois siècles environ de barbarie ces peuples fondèrent les Universités de Grenade et de Cordoue, pâles reflets de celle de Bagdad. Puis dans la première moitié du xi® siècle naît à Séville un astronome de talent Gebeh-ibx-Aphla. Par son traité de Aslroiioniia il rendit aisée à ses contemporains la lecture de l'Almageste, en simplifiant les méthodes et en démontrant ce que Ptolémée avait formulé d'une manière trop concise.

Son compatriote Arzachel, ([ui florissaità Tolède vers 1080, crut reconnaître l'excentricité des orbites planétaires, mais cette opinion fut combattue comme contraire aux doctrines admises jusque-là.

Au siècle suivant un moine anglais, Adklhahd, vint en Esj)agne se perfectionner dans la Science, et traduisit {)our la })remière fois les Eléments d'Euclide d'arabe en latin. Un rabbin de Tolède, Ahu.vhvm bex Ezha, contrii)ua aussi pour sa part à répandre en Europe les

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ouvrages des iiialhéinaticions iiiiisulmans. Comme livres orit^inaux, il^jnau« a laissé quelques tables aslroiioiniquos et une arithmétique. 11 vint mémo professer jusqu'à Rome où il mourut en 1097.

D'autre part, au xii® siècle Gérard de Crémone, Platon de Tivoli et le juif Jean d'Espagne publièrent des traductions latines de la plupart des auteurs arabes. Ils s'occupèrent aussi de Yalgorillime^ ainsi appelé du surnom de Mohammed-ben-Musa qui en donnant à chaque signe numéral de zéro à neuf une valeur déterminée par sa position, opéra une grande réforme arithmétique, bien que cela nous paraisse aujourd'hui si simple et si enfantin !

Mais passons à un savant d'une plus grande envergure, à Jean de Sacro-Bosco qui naquit à Holywood dans le Yorkshire *. Après avoir lait ses études à l'inversité d'Oxford, il vint les terminer à Paris. On ne sait du reste pas grand'chose sur son existence, sinon qu'il enseigna les mathématiques avec le plus grand succès dans un collège de la ^lontagne Sainte-Geneviève, et ([u'il mourut probablement en i:>56.

Son Algorithme renferme tout ce qu'on savait sur le nouveau système de notation arabe. Les quatre règles s'y trouvent formulées, et il applique à diverses ((uestions pratiques les principes de proportion. Le livre se termine par difl'érentes formules algébriques propres à résoudre les problèmes les plus communs de la vie courante.

Nous reproduisons ci-après, en fac-similé^ la première page d'un manuscrit de ce'traité conservé à la Bibliothèque Nationale de Paris. Cette gravure est curieuse car on y voit (ligne 26) la forme de nos chiffres à celte époque. Le 5 et le 4 sont seuls assez notablement modifiés.

(1) Sacro-Bosco, dans le lutin du moyen ùgc, est la traduction de Iloly wood.

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Fi^'. 10. — .MiiiHi^cril (Ir \ Al-.'iithinus de .Ii.a.n m. SAt.i;u-l;...st;o, {liibiiyt/itf/Hc yatitma/e </c Paris, fonds laliii n" 7KJ{, xiv» siôcle. C»'lte pn^e truituiil de In nuuu>ratioii montre (ligne 2()) lu forme de nos chiffres ù celle époque.)