CHAPITRE XI La fin du moyen âge et TEcole byzantine

En Occident, la fin du moyen Age marque pour les Mathématiques un certain renouveau du certainement à rinfluence musulmane. L'homme qui pour sa part y contribua largement lut ITlalien Fibonacci, plus connu sous le surnom de Léonard de Pise. 11 naquit vers iijj et voyagea en Orient où son père, régisseur des douanes à Bougie, Pavait engagé à se rendre. Alors il parcourut rÉgypte, la Syrie et la Grèce, afin de s'enquérir des connaissances scientifiques variées qu'y avaient importées les Arabes ; puis il retourna en Italie, et résolut, en publiant son Liber Abaci (1202) d'initier ses contemporains aux nouvelles doctrines. Comme il l'annonce dans sa préface, il a « tout accompagné de démonstrations afin que ceux qui désirent connaître cette Science puissent s instruire, et que dorénavant la race latine ne s'en trouve pas privée comme elle Pa été jusqu'alors ». Aussi dans les quinze livres où il expose le système de numération arabe, doïit il attribue l'invention aux Hindous, il fait ressortir ses avantages sur la notation romaine puis il montre comment la Géométrie et l'Algèbre peuvent se prêter un mutuel concours. F'inalement il résout quelques équations du second degré.

Au point de vue historique cet ouvrage est intéressant, car, ayant joui pendant longtemps d'une excès-

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sive faveur, il introduisit les chiffres aral)es dans toute la chrétienté. Dans sa Practica geometria (1220), on rencontre la formule de l'aire du triangle en fonction de ses trois cotés. Peut-être Ta-t-il empruntée aux auteurs mahométans, mais en tout cas elle y est démontrée d'une façon différente. Enfin, dans son Traité des nombres carrés retrouvé et publié seulement en iSj-, par lé prince Boncompa^^ni, il indique des formules pour résoudre certaines écjualions indéterminées du second degré et trouve, à Taide de méthodes graphiques, plusieurs propriétés générales des carrés.

Dans divers pays, le mouvement intellectuel commençait à se dessiner. A Paris, au début du xii" siècle Abelard avait enseigné avec éclat la philosophie ; nous avons vu, cent ans a[)rés, Jean de Sacro-Bosco professer avec non moins de succès les mathématiques, tandis qu'ALBEUT LE GiiAXD émettait sur \ infini des considérations assez curieuses pour être rapportées ici. Il dit en propriîs term'es : « Les mathématiciens n'ont pas besoin pour leur Science d'une quantité infinie en réalité, car ils n'envisagent pas la quantité réelle, mais la quantité imaginaire, et se règlent d'après la faculté de rimagination... Ils n'ont pas besoin d'un infini ([ui existe réellement, mais d'un infini qui se prête à l'imagination*. » Les calculateurs parisiens des xiii", xiv" et XV® siècles ont accumulé bien des théories sur la ([ua(b'ature du cercle, avant qu'on soit parvenu à jeter le pont entre les itléi^s d'Arcliimède et celles de Newton ou de Leibniz. Le célèbre Uaymonh Lllle s'y évertua «Ml 1299, alors qu'il occupait une (diaire au collège des Franciscains, et quelques-uns (k^ ses disciples partageaient déjà les idées que Cavalieri et Wallis devaient défendre plus tard. Us assimilaient le cercle à un polygone d'un nombre infini de côtés, et sa circonférence à une séi'ie de lignes (h'oiles infiniment petites. Enfin

(i) liiin.ioriiîqtK .NATIO.NAI.K, Pnns. Manuscrit latin n" '\'^', toi. i3.

ECOLE Jiyz.i.\r/.\E 8^

il y a lieu de se demander si Newton ne s'est pas inspiré des. i4ées émises par Jkan de Mûris, qui viv;ait à Paris au milieu du xiv* siècle. Il déclare, dans un ouvra«ce où il traite de la proportion dos vitesses dans les mouvements, que « la vitesse de deux cor()s subissant une impulsion du nièni(^ ^enre est proportionnelle aux espaces parcourus, et que les résultats des forces motrices sont proportionnels aux temps où ces forces s'exercent* ».

D'autre part, les études mathématiques étaient assez fortes dans l'Université de Pra<riio fondée en i384. On exi<^eait tlu candidat au grade de bachelier une connaissance approfondie des ouvrages astronomiques de Sacro-Bosco et ch» Ptolémée, des six livres d'Euclide, et des notions d'arpentage. Dans les écoles de Leipzig et de Cologne, on attachait peu d'importance à ces questions. Celles de Bologne et de Palerme étaient très florissantes, mais cette dernière surtout en Médecine. A Padoue et à Pise, les programmes se rapj)rochaient d<^ l'enseignement suivi en France ou en Autriche. On remplaçait toutefois les leçons sur TAlmageste |)ar des cours astrologiques. A Oxford et à Cambridge, jus((u'au milieu du xv" siècle, on se contenta des deux premiers livres d'Euclide et des éléments de la numération.

A Constantinople, pendant la durée (Ui Moyen Age on s'occu[)a plus de controverses llu ologiques ou grammaticales que de spéculations scientiliques". Aussi, dans la liste des auteurs byzantins, nous retiendrons seulement deux noms montrant la parfaite ignorance mathémathiquc des savants de la nouvelle Rome.

il) HlBi.lOTHK<iLl-: NATIONALF, Pju'is. Manui^iiit latin n» 'Xfyo. De movenlibun et mutis, fol. ^â.

{■jt) Leshiïitoriens intitulent liabitu«>ll«>int'nt : « Kccjle byzantine », une li»l« de quelques auteurs séten<iant jusqu'au milieu thi xv siècle, tels que Psellus, Xirolas de Snjyrne, le moine Argyrus, Plunude, Paehymère et les deux autres savants dont nous analysons les u-uvres. Nous croyons fjue leurs travaux ne mentent pas un tel honneur, mais nous avons conservé cette dénomination en tète de ce chapitre, pour nous conl'oruier à l'usage.

Le premier, Barlaam, originaire de la Calabre, mourut vers le milieu du xiv® siècle. C'était un moine appartenant à Tordre de Saint-Basile. Très intelligent, il fut envoyé comme ambassadeur près du pape, qui résidait alors à Avignon, afin d'examiner la possibilité de réunion des Eglises grec(jue et latine. Pendant cette mission il enseigna, dit-on, le grec au poète Pétrarque. Puis, à son retour à Gonslantinople, il s'ac([uit une juste réputation en couvrant de ridicule les prétentions saugrenues, les idées baroques et les sots préjugés des religieux quiétistes du Mont-Athos, qui avaient à leur tête Palmos.

C'est au milieu de ces discussions qu'il écrivit sa Logistique^ consacrée à l'exposition des principes de calcul des Grecs, en particulier de leur laborieux procédé relatif aux opérations sur les fractions.

Au siècle suivant, Moschopoulos, dont M. Tannery ' a récemment édité l'ouvrage sur les Carrés magiques, /^ D est le seul matbématicien quelque

peu original de cette période.

Qu'entend -on d'abord sous ce nom? Soit un carré A B C D. Divisons-le par des parallèles aux côtés en petites cases égales, et inscrivons dans chacune un nombre entier. La figure A B C D sera un « carré magique », si la somme des nombres suivant chaque ligne horizontale, chacpie colonne ou chaque diagonale, est toujours identicjue. Tel est le tableau ci-dessus où la « somme magique » est constamment 1 5.

On rencontre cet amusement mathématique (huis l'Inde et chez les Arabes. Les Byzantins les ont-ils reçus par l'intermédiaire de ces derniers, ou est-ce simplement une ancienne tradition qui des (irecs d'Orient

""fv

Currc juagiquo.

(i) Paul Tannery. Le traité manuel Je Moschopoitios sur les carres magiques. Le Puy, i88C.

ECOLE BrXASTiyE

passa aux disciples de Mahomet? Eiii^ine difficiie à percer. Cecu^sous de futiles apparences, se rattache du reste à une considrrahon plus haute : quel (!e<^ré d'originalité faut-il attribuer à l'Islamisme? N'a-t-on pas fait honneur à ses sectateurs de trop d'idées a[)parlenant à la civilisation hellène ? Leur <yénie d'invention était-il si puissant? Problème plus ardu à résoudre (ju'à poser! ()uoi cpi'il en soit et jusqu'à nouvel onlre, nous attribuerons la paternité de cette petite découverte à Moschopoulos qui indiqua les propriétés générales des carrés magiques et les règles de leur formation '. Son livre ne porte en eflet aucun cachet arabe. 11 ignore en particulier la signification symbolique (|u'on leur attribuait dans tout l'Orient. Mais pour trancher la difficulté il faudrait trouver dans un auteur plus ancien une allusion à ce sujet. Ce débat de priorité serait intéressant. Avis aux érudits.

(i) Voir, sur les Carrés magiques, la 3» partie du livre de M. E. Fourrey. Récréations arithmétiques, Paris, iSyg.