CHAPITRE XIII
Invention de TAlgèbre moderne par Viète, et découverte des logarithmes par Napier.
Avec François Viète, sieiirde laBigotière, s'ouvre une ère nouvelle pour la Mathématique : l'Algèbre moderne s'édifie. Ses successeurs perfectionneront son œuvre, il est vrai. Ils remplaceront ses notations qui, nous allons le voir, sont parfois assez compliquées, par des symboles plus élégants ou plus généraux, mais les fondements de ses géniales méthodes resteront; et si notre siècle l'a quelque peu oublié, ses contemporains surent admirer ce « géant de la plus haute stature », qui, dans la marche du progrès, comme le dit avec raison de Billy, semble dominer tous les autres par ses vastes conceptions.
Né à Fontenay-le-Gomte, en i54o, cet illustre algébriste fut d'abord avocat au barreau de sa ville natale, et obtint parla suite une charge de conseiller au Parlement de Bretagne (1574.). Puis devenu maître des requêtes sous Henri III, disgracié ensuite quelque temps, il rentra dans les bonnes grâces royales en 1089, et fut enfin appelé par Henri IV au Conseil privé, fonction que sa mauvaise constitution lui fit résigner en décembre 1602. Mais les douceurs de la retraite n'étaient point faites pour lui. Il mourut peu après, le 26 février i6o3. Du moins il laissait une œuvre qui, elle, ne devait point périr.
En vue de remplacer l'Almageste de Ptolémée dont sa sagacité lui avait démontré l'insuffisance, il projeta son
loa HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES
llannonicum cœleste^ malheureusement égaré aujourd'hui. Pour venir à J)out de cette entreprise il fallait avant tout réformer la Trigonométrie, construire des tables plus étendues que celles alors en usage, donner aux astronomes des règles commodes pour la résolution des triangles, et leur apprendre à se servir des ' tangentes et des sécantes que Rhéticus venait d'imaginer. La lecture de son Canon malhenialicus (i^jg) montre quels services il a rendus à la science dans cette
f voie. C'est un recueil de tables trigonométriques où pour la première fois on voit en regard de Tangle correspondant la valeur des sinus, tangentes, sécantes, cosinus, cotangentes et cosécantes, calculée de minute
\ en minute pour un rayon égal à looooo. Le Liber
\ inspection um lui fait suite. Il renferme les formules pour la résolution des triangles plans et sphériques, ainsi que de nombreux résultats numériques.
Pour confectionner ces ouvrages, Yiète laisse de côté les laborieux procédés des Grecs, ou ceux plus perfectionnés des Arabes. 11 ramène la recherche du sinus
' fondamental de une minute à celle de la longueur de la (circonférence par la méthode des bissections suc-
! cessives d'Archimède qu'il rajeunit. En affranchissant
i la Trigonométrie de ses énoncés prolixes, il présente sous forme de tableaux les éléments connus et incon-
i nus (Vwn triangle, et constitue de la sorte les formules générales, expéditives, dont nous nous servons journellement. Toutefois c'est principalement la Trigo-
j nométrie sphérique qui a bénéficié de ses travaux.
' Al Batani avait déc'ouvert la relation permettant de trouver les angles A, B, C d'un triangle sphérique
I lorsqu'on connaît les trois cotés. Yiète fit de cett(^ expression le point de départ d(* féconds déveloj)j)(»ments. Il trouva les diverses formules de résolution sans passer par la décomposition en deux triangles rectangles. D'autre part, il se servit le premier des propriétés du triangle sphérique polaire ou supplémen-
FEANÇOBS VEETE
L'ALGÈBRE MODERyE io5
taire dans les calculs où cela peut avoir quelque intérêt.
Le savant mathématicien donna encore dans son Traité des sections angulaires d'autres formules tri^onométriques non moins importantes. Il exprime Sin //.r, Cos nx et Tg nx en fonction de Sin ,r, Cos x et ïg x, en déterminant les coefficients par des additions successives des nombres figurés de différents ordres. 11 parvient d'une façon analogue à l'équation générale de la corde de Tare simple en fonction de la corde de Tare multiple. Mais arrêtons là cette analyse écourtée de ses premiers travaux, car il nous reste à aborder la plus belle partie de son œuvre et à montrer qu'après avoir renouvelé la Trigonométrie des Anciens, il a su créer une science nouvelle.
Au XII* siècle, Léonard de Pise enseigna à l'Europe les rudiments de l'algèbre. 11 s'était inspiré lui-même des travaux arabes, et n'allait pas au delà des équations du second degré. En outre, les méthodes usitées pour obtenir la valeur de l'inconnue étaient basées sur des considérations presque exclusivement géométriques. Les quantités étaient représentées par des lignes droites, les données étaient toujours des nombres, et dans les calculs l'inconnue seule était désignée par un symbole. Tel était l'état de l'Algèbre au moment où Viète en aborda Tétude. Il commença d'abord par remplacer les connues comme les inconnues, par des lettres capitales. Les premières sont représentées par ' les voyelles A, E, I, O, Y, Y; les secondes par des consonnes B, G, D, F..., les puissances de l'inconnue par la même lettre avec un des indices ^, c (abréviations de quadratiini et de cubiis) combinés par addition des exposants. Mais afin de conserver dans les équations le principe de l'homogénéité, il indique les données par un signe de leurs dimensions formé des abréviations des moin planiun et solidiun et de leurs combinaisons.
Il se sert de -f- et — pour l'addition et la soustrac- ! lion. Pour la multiplication, il emploie la particule tw.
pour la division il séparé le dividende du diviseur au moyen d'une j)arre horizontale, et pour les racines il fait •usage des lettres / ou k.
Remarquons que quand il ignore la grandeur du terme à soustraire il le note par = {minus iiicertiim). Cette distinction paraît oiseuse aujourd'hui, mais s'explique du temps de Viète. Si son Algèhre comprend, en effet, toute la science des équations, elle repose seulement sur la considération des racines positives, et à l'exemple des anciens algébriste's il rejette les quantités négatives et imaginaires. Enfin comme l'homogénéité disparaît dans les applications, il représente alors l'inconnue et ses puissances par leurs indices.
Empruntons d'ailleurs à un mémoire de Ritter^ le tableau résumant sa nomenclature^ :
INCO.NNL'KS
X urne rus
Qundratnni
Cubus
Quad.
Qiiadra-
luni
Quad.
cubus
Cubuscubus
Théorie générale , .
Applic. numériques.
Equivalents modernes.
iQ
Ac
Af/(f
iQQ
A f/c I QC
Ace
I ce
COEIFICIKNTS HOMOGK.NKS
Lattis
P la nu m
Solidum
Pianoplan uni
Planosolidiim
Solidumsolidum
Théorie g('«nérale . .
Up
n pp
\^ ps
La science de bien trouver en Matiiémaliques »,
(i) V. RiTTEli. François Virle d'après des dovuments nouveaux dans In Revue {jeneralc des sciences, l. IV. Paris. i8()i. Voy. aussi doux nulros mémoires de ce savant sur le mùme sujet dans le compte rendu de V Association française pour t avancement des sciences. Congrès de Pau, iS«)ji.
(a) Ainsi dans la notation de Viole l'équation littérale .r' -f- a.r* — bx = d
L'ALGÈBRE MODERNE nyj
comme Viète nomme son algèbre, <;oniprond les quatre opérations arithmétiques appliquées aux polynômes, les règles générales pour réduire les équations à la forme canonique, ou, en d'autres termes, |)our les transformer de façon que les diverses puissances de l'inconnue se trouvent dans le premier membre, ordonnées selon Tordre croissant ou décroissant, que la puissance la plus élevée ait pour coefficient l'unité, que les quantités connues soient dans le second membre, et que ce dernier soit positif. Puis il résout à l'aide de ces principes une série de problèmes déterminés et indéterminés du premier et du second degré. Après viennent d'élégants procédés pour la résolution numérique des équations. Enfin il expose magistralement leur théorie générale. Là se reconnaît véritablement la griffe du lion. Ce n'est plus une ébauche de la Science, l'Algèbre s'élève tout à coup à une hauteur inespérée. On y trouve les méthodes usitées encore aujourd'hui, les relations entre les racines positives et les coefficients des équations du second et du troisième degré, parfois même d'un degré quelconque, les formules générales pour résoudre les équations du troisième et du quatrième degré, etc.
L'œuvre de Viète fut donc des plus fécondes. On ne peut le comparer pour son génie d'invention qu'à Newton, et si, comme il le dit modestement dans une de ses lettres, il n'était pas un « mathématicien de profession », il sut néanmoins, en a faisant des malhénialiques ses plus chères études », s'y placer au tout premier rang.
A la môme époque, Simon Stevin, né à Bruges en i548, cultiva avec succès bien des branches de la science, et sut se distinguer dans chacuine d'elles. Dans L<7 Z)/A7/^e (i585) se trouve décrit pour la première fois le traitement méthodique des fractions décimales, et il montre
s'écrirait Ac -|- B in kq = D/> in k^i'q Djf F -j- bs et 1 équation numérique x^ -{• 4 j»* — 6x = 5i se représenterait par iG -f- 4Q — **>N = 5i.
io8 IIISTOIHE DES MATHÉMATIQUES
les avantages crun système décimal de poids et mesures, devançant de plus de àe\\\ siècles la division réalisée en France sous la Révolution seulement. Sa notation ^st toutefois un peu encombrante car il remplace la
! virgule par un zéro et il écrit par exemple le nombre 5,678 de la sorte : 5 [o] 6 [i J 7 [2] 8 [3].
Ce sont prol)ablement ces symboles qui le conduisirent à imaginer la représentation des diverses puissances par des exposants numériques entiers et fractionnaires. 11 les plaçait d'une façon à peu près analogue
I à la nôtre. Ainsi il écrivait 3.r- + 4-^ + ^ ^^ cette
\ manière : 4 [2] + 3 [i] + 5 [oj.
Dans sa Pratique géoniélrique on rencontre plusieurs propositions ou constructions originales, telles la génération de l'ellipse à l'aide d'un cercle dont on fait varier dans un rapport constant toutes les ordonnées. Cependant ce sont SCS Principes de statique et ^cï hydrostatique qui ont surtout fondé sa réputation.
Depuis les mathématiciens de l'école d'Alexandrie jusqu'à la fin du xvi" siècle, la Mécanique demeura stationnaire. En 1677 seulement l'Italien Guido Ubaldi perfectionna un peu les lois de l'équilibre des. corps solides, en introduisant la considération des moments dans la théorie des macîhines simples. Mais il était réservé à Stevin d'aperc^evoir la possibilité de représenter les forces par des lignes droites, et de ramener alors les propositions de mécanique à de sim|)les théo-
I rèmes géonuHriques. En parti(!ulier il a enseigné la
I règle du parallélogramme des forces, base de la Statique moderne. On aHril)ue souvent cette découverte à Varignon, ce savant l'ayant énoncée sous la forme qu'on lui donne aujourd'hui ; mais il la déduite comme consé- (|uence du théorème formulé parle savant I)rugeois.
Stevin a résolu aussi un problènu» longtemj)s agité parmi ses prédécesseurs : le rapport de la puissance au poids sur un plan incliné. Il y parvint en imaginant un chapelet composé de douze sphères également distantes
Fig. I 5. — Portrait de Napikb.
(D'nprrs l'original du Cabinet des estampes de la Itib/iothùt/uc
de Paris.)
Sationale
LES LOGARITHMES lu
et disposées sur un support triangulaire. Appliquant ces lois à ré(|uilibrc tles licpiides, il démontra le paradoxe hydrostatique : un lluide peut exercer sur le fond du vase qui le contient, une pression bien supérieure à son poids, principe dont on l'ait honneur à Pascal. En outre, Stevin était un in<:jénieur fort distingué. Ses travaux de Ibrtificalions niililaires Favaient surtout rendu très populaire parmi ses compatriotes. Quelques-unes de ses méthodes de travaux hydrauliques sont même encore suivies par les entrepreneurs modernes.
L'emploi des chiffres arabes et des fractions décimales avait beaucoup simplifié les procédés de calcul. A la suite de Stevin, Joost Biirgi ou Byrge, mathématicien suisse, et Jean Hartmann Beyer, géomètre allemand qui publia en i6o3 une Logistica Décimalisa utilisèrent ses méthodes.
De son coté l'Angleterre, avec Thomas Hahriot, contribuait honorablement aux progrès de l'Algèbre. Ce savant perfectionna l'œuvre de Yiète, et dans son Artis analyticiB praxis (i63i), il donna une exposition systématique des préceptes qu'il avait inventés ou simplifiés. Ses découvertes sont intéressantes. Ainsi il eut l'idée de faire passer dans un seul membre tous les termes d'une équation ; il montra que toutes les équations d'ordres élevés sont des produits d'équation plus simples ; il se servit des signes > et < pour désigner qu'une quantité est plus grande ou plus petite qu'une autre ; il écrivit à' pour aa, a^ pour aaa, etc. Dans un autre ordre d'idées, ayant accompagné Walter Raleigh dans son exploration américaine, il leva d'une façon aussi exacte que possible pour l'époque, la carte de la Virginie et de la Caroline du Nord. C'est une des premières opérations géodésiques exécutées d'une manière scientifique.
Mais il était réservé à son illustre compatriote John Napier, baron de Merchiston, d'apporter à la pratique mathématique un de ses plus féconds instruments : les
na HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES
logarithmes. Gomme pour Viète, la science n'était qu'un passe-temps pour ce noble anglais, occupé à gérer ses propriétés, à étudier la théologie et à batailler dans les luttes acharnées que les puritains d'Ecosse soutenaient contre la royauté.
Les découvertes astronomiques de Copernic et de Tycho-Brahé avaient dirigé l'attention des calculateurs vers les moyens d'abréger les opérations trigonométriques, vu la grandeur des nombres qui entraient dans les formules. Quelques auteurs avaient donc orienté leurs recherches de ce côté. Werner, de Nuremberg, imagina, en i522, la u prostaphérèse », destinée à remplacer les multiplications et les divisions rencontrées dans la Trigonométrie sphérique par des additions ou des soustractions. Tycho-Brahé paraît s'être servi d'une méthode analogue dans les calculs de VAstronomia instaurata. Puis Michel Stifel, en comparant les progressions géométriques et arithmétiques, constata la relation fondamentale de la théorie des logarithmes ; mais il ne sut pas en déduire les conséquences que Napier allait en tirer.
Le mathématicien écossais décrivit sa découverte dans ssi Logarithmoruj7i canoiiis descriptio (i6i4), mais sans exposer les moyens qu'il avait employés pour y parvenir. Il devait, dit-il dans sa préface, les indiquer ultérieurement. La mort vint empêcher la réalisation de cette promesse. Heureusement son fils nous les a dévoilés, en publiant quatre ans plus tard le manuscrit inachevé de son père, intitulé : Mirifici logarithmorum canonis description.
Son procédé, fort ingénieux d'ailleurs, n'indique pas une connaissance des Mathématiques aussi profonde qu'on le croirait. Il n'avait certes pas entrevu, comme
(i) Cet ouvrage fut imprimé ù Lyon, on i6ao, chez Barthélémy Vincent. Il était devenu presque introuvable quand l'éditeur llermann, de Paris, l'a réimprimé en 189J. Cette édition e»t un fac-siinilc page pour page de l'édition l'originale du xvii» siècle.
LES LOGARITUMES i\\
plusieurs historiens se sont plu à le répéter*, les analogies entre ses logarithmes et les aires de Thyperboh^ équilatère comprises entre cette courbe et ses asymptotes.
Napier formait sa progression géométrique de la façon suivante. Chaque terme égalait le précédent! diminué de sa n° partie, et une simple soustraction ' permettait de le trouver. Donc à mesure que le nombre : devenait plus grand, son logarithme décroissait. Du reste, ce livre ayant pour principal objectif de venir en aide aux calculateurs qui résolvaient des triangles, on n'y rencontre que les logarithmes des sinus de minute vn minute de o à 90<>, et comme le sinus du quart de «•ercle forme souvent le premier terme des proportions auxquelles conduisent la résolution des triangles, il éirale à zéro le lo«:arithme du sinus total. En outre, pour établir sa table, il se basait sur ce théorème : Log. sin A est compris entre (i — sin A) et (cosec A — i). Pour! calculer alors cette valeur il lui suffisait de prendre la • moyenne géométrique entre ces deux limites. Enfin il n'a aucune idée de ce que nous appelons aujourd'hui « base » d'un système de logarithme. Sa découverte n'en constituait pas moins une des plus grandes acquisitions de la Science au xvii" siècle.
Le grand astronome Kepler, en publiant sa Chiluis Logarithmorum [i^i^], fit beaucoup pour la propagation en Allemagne de la doctrine népérienne ^.
(i) M. Napier. Memoirs of John yapier of Merchtston. Edimbourg, 18J4.
(a) Son œuvre astronomique est de beaucoup lu plus importante. Mai.s elle «ort de notre cadre. Rappelons ses fameuses lois relatives aux mouvements des planètes, qu'on trouve exposées dans son Astronomia nova (i(io<j). On rencontre dans son Hannonice miintli (iOkj) d intéressantes considérations sur les polygones étoiles. Enfin dans sa Stereinuetria doliorum tiù il s'occupe de la cubuture des solides engendrés par la rotation des coniques autour d'axes contenus dans leurs plans, on voit plusieurs formules inexactes. Ces quelques taches ne sauraient d'ailleurs obscurcir sa gloire, car, selon la belle image de M, Jot>eph Bertrand, « elle est écrite dans le ciel ; les progrès de la science ne peuvent ni la diminuer ni l'obscurcir, et les planètes, par la succession toujours constante de leurs mouvements réguliers, la raconteront de siècle en siècle ».
BoYER. Hist. des Math. 8
ii4 HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES
Boiijamin Ursinus et son i^ondre Barlscli le secondèrent. Un processeur du Greshani's Collège d'Oxford, Henry Biuggs, ne tarda pas à se rendre compte de tout le parti qu'on pouvait tirer de cette invention. Il fit même un voyage pour conférer avec Napier à ce sujet (i6i4)? et probablement lui suggéra le choix de lo comme base. Quoi qu'il en soit, Briggs publia en 1618 sa TAH/aritlimoruni Cliilias prima où cet important perfectionnement était appliqué pour la première fois aux nombres de i à i 000 avec i4 décimales. Six ans plus tard, dans son Arithmelica logaritJnnica , il compléta cet essai en donnant les logarithmes de i à 20000 et de 90 000 à 100 000.
Plusieurs autres mathématiciens suivirent encore l'impulsion donnée. Ed. Gunther, le collègue de Briggs, avait mis, dès 1620, son précieux Ccinoii of triangles entre les mains de tous les calculateurs. Gavalieri, dans son Directorium universale uraiwmetricum, révéla à l'Italie ces principes. Le mathématicien français Henrion publia, en 1626, un excellent Traité des logarithmes^ et peu après le géomètre hollandais Adrien Vlacq comblait la lacune des tables précédentes. Dès lors, les logarithmes avaient droit de cité dans tout l'univers civilisé. Les astronomes étaient en possession de merveilleux instruments : Napier venait de leur donner les logarithmes pour abréger leur calcul, et Galilée, en les dotant du télescope, agrandissait démesurément leur champ d'observation.
