CHAPITRE XIV
La Géométrie de Descartes (1637). — Les travaux de Fermât et de Pascal.
Pendant le xvi® siècle et les premières années du XVII® nous avons vu se dessiner une renaissance des Sciences. Les physiciens et les astronomes durent faire appel aux mathématiciens pour mettre en œuvre les riches matériaux qu'ils avaient accumulés grâce aux perfectionnements apportés aux procédés d'observation. Ce mouvement va s'accentuer encore dans la période que nous allons étudier. Descartes, en inventant la Géométrie analytique, Leibniz et Newton en découvrant le Calcul infinitésimal, ouvriront aux savants des horizons insoupçonnés. Fermât ira « plus loin que ses successeurs » dans ses recherches sur les nombres, et Pascal créera le calcul des probabilités. Quelle admirable succession de découvertes !
La conception de Descahtes renouvela la Oéométrie. Elle fournit aux mathématiciens des méthodes générales qui jusqu'ici leur avaient manqué et dont le défaut avait souvent frappé de stérilité leurs plus louables efforts. Cette idée fut en quelque sorte la préface nécessaire aux célèbres inventions newtoniennes.
Quelques lignes de biographie tout d'aborti.
René Descartes, seigneur du Perron, naquit à La Haye, petite ville située sur la rive droite de la Creuse, le 3i mars i596. Après des études brillantes au collège
ii6 HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES
(le La Flèche tenu alors par les Jésuites, il embrassa la carrière des armes, sans grand goût d'ailleurs, puisqu'il dit en proprés termes dans une de ses lettres qu'il a de la peine à la ranger parmi les professions honorables, « voyant que l'oisiveté et le libertinage sont les deux principaux motifs qui y portent aujourd'hui la plupart des hommes ». Il s'engagea d'abord dans les troupes du prince Maurice de Nassau, et deux années de paix lui permirent d'entrer en relations avec plusieurs mathématiciens hollandais. Puis, quittant le service des princes d'Orange (1619), il servit dans les troupes du duc de Bavière. C'était à vrai dire un singulier soldat : l'anecdote suivante est là pour l'attester. Rencontrant à Ulm le professeur Jean Faulhaber, il résolut plusieurs problèmes que celui-ci lui proposa, et charmé de sa compagnie il songea seulement plusieurs mois après à rejoindre son corps. Ensuite il se rendit en Bohême et arriva à Prague juste à temps pour participer à la célèbre bataille qui s'y livra le 7 novembre 1620. Enfin il passa en Hongrie l'année suivante, et abandonna une première fois l'uniforme pour visiter en touriste la Silésie, la Pologne et les côtes de la Baltique.
Descartes revint en France au début de 1622. Après une nouvelle fugue en Suisse et en Italie, la capitale l'attira encore. Il y séjourna en 1626 et 1627, fréquentant des savants comme Desargues, de Beaune, Mydorge ou son ancien condisciple le P. Mersenne, des littérateurs et des magistrats tels que Balzac et Hardi. Mais brusquement il s'arracha à cette vie intellectuelle pour aller guerroyer au siège de La Rochelle. Cette ville tombée aux mains de Richelieu, notre héros retourna à Paris pour régler quelques affaires, et alla se fixer définitivement en Hollande (1629), seul pays où régnait ah>rs la liberté. Il allait y trouver, durant vingt ans, le calme né(!essaire aux spéculations scientifiques. C'est à Amsterdam d'abord puis dans un petit castel près de Franeker et surtout à Egmond-de-Bineau qu'il composa
Porlrnil do Rknk Dks«:artks.
(D'après lo tnblcnu de Hai.s, Musée du Louvre.
LA GÉOMÉTRIE ASALY TIQl K i i<j
presque tous ses ouvrages. Enfin, pour terminer de suite ce qui est relatif à sa vie*, disons que la reine Christine l'attira en Suède (1649). '^ }' ^"^ vvvw magnifiquement, et logé à Tandiassade française de Stockholm. Mais sa santé débile ni> put supporter les rigueurs <lu climat. Il succomI)a à une fluxion de poitrine, le 1 1 février i65o.
Laissant de côté son œuvre [)hilosophique, le principal écrit de Descartes est sa Géométrie (1637), où se trouvent consignées ses immortels travaux. Le géomètre tourangeau esquisse à ses successeurs la voie à suivre. 11 n'a pas voulu composer un traité didactique à leur usage, mais leur tracer simplement le cadre qu'ils auraient à remplir.
JLes courbes, découvertes par les Grecs au fur et à mesure des besoins, n'étaient reliées entre elles par aucune relation. Descartes sentit la nécessité d'apporter quelque ordre dans ce domaine. Il fallait d'abord arriver à définir ces figures, ou en d'autres termes poser les règles permettant de les construire. Tout se ramenait, somme toute, à fixer d'une manière précise la position d'un point dans un plan. Or celle-ci ne dépend que de deux éléments, ses « coordonnées ». Donc la définition d'une courbe, autrement dit son équation, n'est pas autre chose que la relation entre les coordonnées de ses points. 11 est facile alors d'établir des formules générales s'appliquant ensuite aux cas parti<*uliers.
Après avoir exposé l'idée directrice de la Géométrie^ passons à son examen.
L'auteur commence d'abord par établir les bases de son système de coordonnées (rectilignes). Il nu)ntre que dans un plan, un point AI est entièrement défini par ses distances MP et MQ à deux droites fixes jcox\
(i) Voir pour plus de détails : Baillkt. Vie de Detcaries, a vcrj. Pari», 1(191-93.
yoy' qui se coupent. Maintenant, si on trace une courbe quelconque sur un plan et que Ton considère les coordonnées de chaque point de cette lig'ne, à toute valeur de X correspondront une ou plusieurs valeurs de y^ celle-ci sera donc fonction de x et la relation y = /*(.r) caractérisant les divers points du lieu géométrique sera son équation. Descartes était parvenu à traduire en relations numériques des propriétés géométriqueiT.
Ensuite il divise les courbes en deux catégories : les premières ou « géométriques » peuvent s'engendrer par rintersection de deux lignes se mouvant chacune parallèlement à un des axes de coordonnées avec des vitesses j^ , commensurables (conchoïde ,
^ J jj cissoïde, par exemple); les se-
1 I condes ou « mécaniques », dont
/ / le rapport des mouvements qui
/p o^ les engendrent est inconnu (spirale, quadralice, cycloïde, etc.).
Fig. iT), Il ne s'occupe que de celles-là,
et nous verrons plus tard Leibniz modifier sa classification.
Descartes s'attache aussi dans sa Géométrie à fournir une règle générale du problème des tangentes. Puis, dans la dernière partie, consacrée exclusivement à TAlgèbre, il introduit Tusage des premières lettres de Talphabet- pour désigner les quantités connues, et celles de la fin i)our représenter les inconnues. 11 emploie les exposants tels que nous le faisons aujourd'hui, il simplifie la théorie de la transformation des équations données par Viète et il s'occupe de trouver les racines commensurables. Ensuite il aborde les équations du V et du 4*^ degré. Fournissant les règles nécessaires à leur résolution, il démontre qu'on ne saurait les cons- Iruire à l'aide seulement de la règle et du compas. Le premier il (it voir qu'il était aussi logique (h> représenter les grandeurs négatives que les quantités positives, et qu'il était suffisant d'établir un théorème dans
LA GEOMETH/E ASALYTIQVE \xi
un cas général pour qu'il se vérifie dans tous les cas particuliers.
D'autre pari, il énonce, au cours de ces pa^es, la règle si importante pour déterminer le nojnbre des racines positives et négatives. Enfin, en introduisant la méthode des coeflicients indéterminés, il pensait avoir donné un procédé absolument général pour résoudre les équations algébriques d'un degré (|uelconque ; mais l'avenir devait donner un démenti a sa trop grande confiance.
Peu de temps après l'apparition de la (jéométrie^ comme Descartes avait omis « beaucoup de choses qui pouvaient y être ajoutées pour la commodité de la |)ralique », ainsi qu'il l'avoue dans sa préface, de Beaune l'annota afin d'en faciliter l'accès aux moins savants. Il y réussit fort bien puisque son illustre ami lui-même tenait ce commentaire en grande estime.
Parmi les autres livres de Descartes, YOptique et les Météores appartiennent plus à la Physique qu'aux Mathématiques. Quant à son Explication des luachines, de curieuses vues y sont exposées. Dans ce court aperçu, il s'efforçait de mettre en lumière que l'invention des « engins par l'aide desquels on peut avec une petite force lever un fardeau », repose sur le principe suivant : La même force qui peut soulever un poids « de loo livres à la hauteur de deux pieds, en peut aussi lever un de 200 livres à la hauteur d'un pied, ou un de 4oo à la hauteur d'un demi-pied. » Descartes appelle donc force ce que nous dénommons aujourd'hui travail. D'autre part, il pose le principe de la conservation de la quantité de mouvement, et arrive à quelques lois relatives à la théorie du choc ; mais les exem[)les qu'il donne semblent un peu confus.
La grande dé(!ouverte cartésienne fut le signal d'une rénovation algél)rique. Dk Beau.nk, un des premiers qu'elle enthousiasma, fixa les limites supérieure et inférieure des racines réelles ; Pascal, dont nous élu-
(.lierons plus loin les remarquables recherches, imagina f son triangle arithmétique pour calculer les coefïicients du développement d'un binôme élevé à une certaine puissance. De Sluse perfectionna le mode de construction des racines des équations algébriques par ( rintersection des courbes, et Wallis se servit des exposants fractionnaires et négatifs. Enfin, la méthode \ des indivisibles apparut. En quelque sorte, ce procédé peut rendre les mêmes services que le calcul intégral tel que nous l'appliquons aujourd'hui, mais limité à rintégration des fonctions différentielles^ On en est redevable au savant jésuite italien Gavalieri, qui professa longtemps à Bologne. Sa découverte se trouve rapportée dans sa Geometrla Indlvlslblllbus contlnuorum nova quadani ratlone proniota (i635), et il Ta perfectionnée par la suite dans ses Ejcercltatlones geonietrlcœ (1647). Bien qu'elle soit oubliée aujourd'hui, elle est curieuse, car elle jette le pont entre la méthode d'exhaustion d'Archimède et l'Analyse infinitésimale de Newton .
Gavalieri imaginait le continu comme une infinité de parties insécables, termes ultimes de sa subdivision en tranches parallèles. « L'indivisible » devait changer de nom cinquante ans plus tard, et s'appeler « l'élément différentiel ». Grâce à ces considérations, la grandeur relative de deux surfaces ou de deux solides se trouvait alors aisément par la sommation d'une suite de lignes ou de plans. Soit à comparer, par exemple, un triangle au j)arallélogramme ayant même base et même hauteur ; il sufïira de décomposer les deux figures au moyen de parallèles aux bases, équidistantes entre elles. La comparaison du tétraèdre au parallélépipède de même base et de même hauteur s'établira d'une façon analogue en les décomposant en éléments j)ar des plans parallèles aux bases. Au moyen de ce procédé, le géomètre milanais put résoudre un certain nombn^ de problèmes proposés par Kepler, entre aulres celui r(dalif à la mesure
Fig. i(i.
Portrait de Fermât, d après la gravure placée on t«ne de ses (JEupres.
Toulouse, 1O79.
FERMAT laS
des fuseaux paraboliques et hyperboliques. Aussi, malgré les vices de raisonnement qu'on rencontre dans les applications, il eut une féconde inllucnce sur le progrès de l'Analyse.
GuLDiN critiqua la méthode des indivisibles, mais à Taide d'objections peu intéressantes. Cavaliehi lui répondit en démontrant l'important théorème de son détracteur relatif au centre de gravité, précisément à l'aide des principes objets du litige. H eut été difficile d'être plus spirituel. D'ailleurs, Tobscurité du Ceiitrobary' tica^ où cette proposition se trouve établie, a contribué à faire oublier son auteur, qu'il faut souvent deviner.
Fermât, « le premier homme du monde » au dire de Pascal, suivit dans l'application de l'Algèbre à la Géométrie une route assez différente de celle adoptée par Descartes. La renommée de l'un n'obscurcit pas la gloire de l'autre. Mais le premier, génie peut-être plus profond, laissa dans toutes les branches des Mathématiques une note personnelle. Né à Beaumont-de-Lomagne, près de Montauban, en 1601, sa vie uniquement consacrée aux travaux intellectuels n'offre guère de particularités. Il était fils d'un marchand de cuir qui, jouissant d'une honnête aisance, put lui donner une éducation soignée. Le jeune Fermât, après avoir terminé ses études de droit à Toulouse, devint conseiller au Parlement de cette ville, fonction qu'il remplit jusqu'à sa mort (12 janvier i665).
Voici comment Lagrange \ un juge compétent, caractérise l'œuvre scientifique de ce précurseur.
« Dans sa méthode De maximes et minimis il é<rale l'expression de la quantité dont on recherche le maximum ou le minimum à l'expression de la même quantité dans laquelle l'inconnue est augnu^ntée d'une quantité indéterminée. 11 fait disparaître dans celte équation les radicaux et les fractions, s'il y en a, et, après avpir
(1) Lagrange. Le^-ons sur le calvul des fonctions. Paris, 1806.
luG HISTOIHE DES M AT/ZÉ M ATIQ CES
effacé les termes coniinims clans les deux membres, il divise tous les autres par la quantité indéterminée qui se trouve les multiplier ; ensuite il lait cette quantité nulle, et il a une équation qui sert à déterminer Tinconnue de la question. Or, il est facile de voir au premier coup d'œil que la règle déduite du Calcul différentiel, qui consiste à égaler à zéro la différentielle de l'expression qu'on veut rendre maximum ou minimum, prise en faisant varier l'inconnue de cette expression, donne le même résultat, parce que le fond est le môme et que les termes qu'on néglige comme infiniment petits dans le Calcul différentiel, sont ceux qu'on doit supprimer comme nuls dans le procédé de Fermât. »
Celui-ci du reste ne se donnait même pas la peine de publier ses inventions, aussi plusieurs de ses travaux ont-ils été perdus, ou il faut en rechercher la trace dans sa correspondance, mise à jour seulement après sa mort, en 1679. 11 se bornait à appliquer son procédé à des exemples, lluygens et Barrow devaient plus tard le présenter sous une forme plus pratique. Parmi les applications originales imaginées par Fermât, il faut noter la détermination de l'aire de la parabole et de l'hyperbole d'un degré quelconque et du centre de gravité d'un paraboloïde de révolution.
La théorie des nombres, délaissée depuis tant de siècles, fut reprise seulement au xvii*' siècle par Fermât et l^ascal. Le génie du premier se complut . surtout dans cette étude, et ses idées à ce sujet semblent avoir été très particulières. Plusieurs de ses théorèmes, après avoir exercé la sagacité des Euler et des Legendre, sont même restés sans démonstration. C'est au cours de re(;herches exécutées en vue d'une nouvelle édition de Dio[)hante, ((u'il se tourna de ce coté et sut, grâce à une méthode dont nous ignorons le secret, « s'avancer plus loin (|uo ses successeurs »'.
1) LiBRi. Iii Itei'iic (/es Deux-Mondes (mai 184"»).
