PASCAL

La plus célèbre de ses propositions arithmétiques est la suivante : , -

La sommé ouTa différence de deux cubes n'est jamais un cube, ou d'une manière plus générale au-dessus du carré aucune puissance n'est décomposable en deux puissances de ménu> nom *.

Enfin Fermât participa à une autre découverte de son temps, le Calcul des probabilités ; mais pour éviter des redites, nous en parlerons seulement plus loin, lorsque nous analyserons les œuvres de son promoteur Biaise Pascal.

Le magistrat de Toulouse fut donc un des plus grands noms de l'histoire des Mathématiques. Malgré le peu de temps que ses fonctions lui permettaient de consacrer à la science, il sut comme Viète se créer une place à part. En appliquant TAlgèbre à la Géométrie, il se fit l'égal de Descartes. Qui pourrait dire si Leibniz et Newton ne doivent pas à ses vues le trait de lumière qui les a guidés vers l'analyse infinitésimale? Avec l'auteur des « Provinciales » il fut un des pionniers de la théorie des hasards, et surtout s'il a des rivaux dans les autres branches, ses découvertes sur les nombres lui assurent une supériorité unique. Dans ce domaine, on chercherait en vain son émule. Géant sublime, sphinx impénétrable, il s'est frayé des routes qu'aucun savant n'a encore pu retrouver malgré les ressources modernes. C'est un privilège sans exemple dans les annales de la Science.

Avec Blaise P.vscâl qui naquit à Glermont le 19 juin 1623, l'Arithmétique, la Géométrie, l'Algèbre et la Mécanique vont s'enridiir tour à tour, et le Calcul des probabilités va naître. Dès son jeune âge, notre futur savant montra les plus rares aptitudes au travail. Aussi son

(1) Eli daulrcs termes, l'équntion j-« -)- y" = z" ne peut être satisfaite pour aucune valeur entière de .r, y, z, si n est supérieur à a. Cette proposition dite théorème de Fermât nu été démontrée que pour des valeurs particulières de n.

père, président de la Cour des aides, ahandonna-t-il sa charge en i63i pour venir à Paris se consacrer exclusivement à Téducation de son enfant dont il voulut être le premier et Tunique maître. Mais poussant son fils beaucoup plus vers le grec et le latin que vers la Science, il lui avait craché tous les livres malhéniatiques de sa bibliothèque. Une rencontre extraordinaire, racontée par sa sœur en ces termes, allait cependant le déterminer à développer les goiits du jeune Biaise dans cette voie, e*^ nous la rapportons ici car elle nous montre l'éveil d'un génie précoce : « Mon père était homme savant dans les Mathématiques, et avait l'habitude par là avec tous les habiles gens en cette Science, qui étaient souvent chez lui^; mais comme il avait dessein d'instruire mon frère dans les langues, et qu'il savait que la Mathématique est une Science qui remplit et qui satisfait beaucoup l'esprit, il ne voulut point que mon frère en eut aucune connaissance, de peur que cela ne le rendît négligent pour la langue latine et les autres sciences tlans lesquelles il voulait le perfectionner, ^lon frère voyant cette résistance, lui demanda un jour ce que (^'était que la Mathématique, de quoi on y traitait : mon père lui dit en général que c'était le moyen de faire des figures justes, et de trouver les proportions (pi'elles avaient entre elles, et en même temps lui défendit d'en parler davantage et d'y penser jamais. Mais cet esprit qui ne pouvait demeurer dans ces bornes, dès (ju'il eut cette simple ouverture, que la Mathématique (h)nnait des moyens de iaire des figures infailli])lement justes, il se mit lui-même à rêver sur cela à ses heures de récréation; et étant seul dans une salle où il avait coutume de se divertir, il prenait du charbon et faisait des fiirures sur (b^s carreaux, cher-

(i) Enlro autres, le P. Mcrscnnc, Robcrvnl, Mydorge cl Carrnvi. qui s'assemblaioiit ôgalcuienl au couvent des Miiiinirs, place Royale, chez le P. Mcrseimc. (]cs cnnfcrciicos furent nuMue lorigine de l'Académie des Sciences, l'ondée seulement en i(»(Jo.

l^Lm^^mJc

Fig. !•

(D'après une gravure du xvii* siècle, tin-o du cabinet de M. Guerrier de Bezanee, alors mai Ire des Requêtes.)

BoTER. Ilist. des Math.

PASCAL, iji

rhanl dos moyens défaire, par exemple, un cercle |)ariailemenl rond, un trian«;le dont les côtés et les angles fussent é^aux, et autres choses semblables. Il trouvait tout cela tout seul; ensuite il cherchait les proportions des (i<j^ures entre elles. Mais comme le soin de mon père avait été si grand de lui cacher toutes ces choses, il n'en savait pas même les noms. Il fut contraint de se faire lui-même des définitions : il appelait un cercle un ron<I, une ligne une barre, et ainsi des autres. Après ces délinitions, il se lit des axiomes, et enfin il lit des démonstrations parfaites ; et comme Ton va de l'un à l'autre dans ces choses, il poussa les recherches si avant, (ju'il en vint jusqu'à la trente-deuxième proposition du premier livre d'Euclide (la somme des angles d'un triangle est égale à deux droits). Gomme il en était là-dessus, mon père entra dans le lieu où il était, sans que mon frère l'entendît; il le trouva si fort appliqué, qu'il fut longtemps sans s'apercevoir de sa venue. On ne peut dire lequel fut le plus surpris, ou le fils de voir son père, à (!ause de la défense expresse qu'il lui en avait faite, ou le père de voir son fils au milieu de toutes ces choses. Mais la surprise du père fut bien plus grande, lors([ue, lui ayant demandé ce qu'il faisait, il lui dit <|u'il cherchait telle chose, qui était la trente-deuxième proposition d'Euclide. Mon père lui demanda ce qui l'avait fait penser à chercher cela : il dit (jue c'était qu'il avait trouvé telle autre chose ; et sur cela lui ayant fait encore la même question, il lui dit encore quelques démonstrations qu'il avait faites .; et enfin, en rétrogradant et s'expliquant toujours par les noms de rond et de barre, il en vint à ses définitions et à ses axiomes. Alors son père lui donna les Éléments d'Euclide pour les lire à ses heures de récréation. Il les vit et les entendit à lui tout seul, sans avoir jamais besoin d'aucune ex|)lication ; et pendant qu'il les voyait, il composait et allait si avant... qu'à l'âge de seize ans il fit un traité Des Coniques qui passe pour un si grand effort

i32 HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES

(rosprit, ((iron disait que dopuis Archiniède on n'avait ricMi vu de celle force *. »

Ce petit opuscule où se trouvent en germe les méthodes de géométrie moderne, fut mis au jour en 1640, il ne l'ut à nouveau tiré de l'oul^li (ju'en 1779, lorsque Bossut pu])lia son édition des Oeuvres du célèbre mathématicien. C'était le canevas d'un ouvrage où étaient exposées les découvertes de Pascal sur ce sujet. On y rencontre le théorème sur « l'hexagrannne mystique » qui, énoncé comme lemme au début de l'ouvrage, sert à déduire le reste. Sous ce nom, il désigne la propriété fondamentale que possède tout hexagone inscrit à une conique d'avoir les trois points de concours de ses cotés opposés en ligne droite. Cinq points suflisant à déterminer une conique, cette proposition fournit une relation de position d'un sixième point quelconque de cette courbe par rapport aux cinq autres. A l'aide de ce principe, il arrive à démontrer la relation , suivante due à Desargues : Le produit des segments compris sur la transversale entre un point de la conique et deux cotés opposés du quadrilatère, est au produit des segments compris entre le môme point de la (ionique et les deux autres cotés opposés du quadrilatère, dans un rapport qui est égal à celui des produits semblablement faits avec le second point de la conique situé sur la transversale. Desargues dénomma ce théorème « involution des six points ». Les nombreuses conséquences que les géomètres modernes en ont tirées montrent assez sa fécondité.

Deux ans après, Pascal inventait la Machine ariUuné' tique, remarquable conception et entreprise hardie, la Mécanique prati(|ue étant alors fort peu avancée. Il se proposait de remplacer « toutes sortes de supputations » par des mouvements et des combinaisons de

(i) M""» Périkr. Vie de Biaise Pasval. Paris, iG05. Postal éUiil mort à Paris, le kj auùt iGOs.