PASCAL
roiios. Il y arrivîi après bien des tâtonneinents,^ d<»s diili(*ultés d'exéeulion sans nombre, car, ainsi qu'il récrit dans sa dédicace au cbancelier Pierre Sé^uier, « b»s artisans ont phis de connaissance de la praliciue de leur art, que des sciences sur lesqiudles il est fondé ». Néanmoins le modèle |)ut être réalisé, et est aujourd'hui dans les collections du Conservatoire des arts et métiers à Paris.
Au milieu d'infirmités survenues avant Tà^e, Pascal donna en i6.>3 son traité sur Le triangle aritliinétujue, destiné à obtenir rapidement les coelïicients des puissances successives d'un binôme. La loi de formation de ces derniers avait été trouvée par Vièle, et Xe\vton un peu plus tard en indiqua la formule. Dans un autre domaine scientilîque, le nom de Pascal est intimement lié à celui de Fermât parmi les inventeurs du Calcul des probabilités. 11 peut nu*»me en être regardé comme le véritable fondateur. En i6j4. 1^' chevalier de Méré lui proposa deux dilïicultés à résoudre :
D'abord de savoir en combien de croups on pouvait parier avec avantage d'ameiuM* sonnez avec deux dés, et deuxièmement de formuler une règle pour distribuer équitablementles mises à un moment donné de la partie, entre deux joueurs inégalement partagés, désirant se retirer avant le dernier coup.
A l'aide d'ingénieux raisonnements, il parvint à mesurer le degré mathématicpie dt^ croyance (|u'on pouvait attribuer à de sim[)les conjectures. Il posa les bases de la théorie des hasards, transformant ainsi la question oiseuse d'un mondain frivole en une mémorable découverte. Fermât, par une méthode différente, généralisa les résidtats, et au seul cas particulier envisagé par son devancier, il substitua un corps de doctrine parfaitement ordonnée. Dès lors une « science sans racines dans le passé ' », était fondée.
(i) GoiRALD. l/isdu're dit Calcul ilex itrobabiliiés. Pari», 1848.
i3.i HISTOIRE DES MATHEMATIQUES
Le dernier ouvrage mathématique de notre philosophe concerne la Cycloïde (i6^S). Cette courbe est engendrée par un point de la circonférence d'un cercle roulant sans glisser sur une droite fixe nommée base. On croit devoir attril)uer au cardinal de Gusa et à Charles de Bovelles (r5i i) les premières notions qui s'y rapportent, mais ils la considéraient comme un simple arc de cercle. Roberval reprit le sujet et Pascal résolut plusieurs questions relatives aux solides formés par la rota- ! tion de cette courbe autour de sa base ou de son axe, grâce à un nouveau procédé d'analyse présentant beaucoup d'analogie avec; celui de Cavalieri.
Panni les autres mathématiciens de cette époque, à coté des Descartes ou des Fermât et bien près d'eux par la perspicacité de son génie, se place Desargues, mé- (;onnu de son vivant, oublié après sa mort. Ce géomètre, dont un érudit moderne. Poudra, a remis en lumière la (Hirieuse physionomie, naquit à Lyon en i593, mais passa la plus grande partie de sa vie à Paris. Non content d'innover dans le domaine de la Science, il aurait voulu aussi la vulgariser. Sentant quelle portée sociale avait sa difïusion dans les classes laborieuses, il enseignait le soir aux charpentiers de la Capitale la Stéréotomie et la Perspective. Dans des leçons pleines de bonhomie il tâchait de leur en rendre familières les notions, si utiles ])our la prali([ue de leur nuHier. 11 est triste à dire qu'il n'eut pas le succès dont il s'était flatté, et que dépité de l'apathie des artisans parisiens il alla poursuivre ces cours dans sa ville natale.
Si ses contemporains ne surent pas le coniprendre et se(!onder ses vues, la postérité lui a rendu justice. Que i\v litres d'ailleurs ses méthodes si fécondes ne lui donnent-elles [)as ? Dans son Brouillon projet (rnne atteinte (Il IX événements des rencontres d'un cône avec un plan (1639), perdu pendant le xviii" siècle et retrouvé seulement par Chasles en i845, il développe celte idée que les différentes sections coniques (cercle, ellipse,
DESARGUES i35
hyperl)ole, parabole, système de deux droites) sont 'des j variétés d^ine iiiênie courbe, et au lieu de les étudier j séparément, comme les Anciens l'avaient fait, il envi- ' sage sur le cône les diverses positions du plan sécant, I sans utiliser le triangle par Taxe. j
Ce livre débute par la considération suivante et ses ' conséquences : plusieurs droites parallèles entre elles concourent en un même point situé à l'infini. Comparant ensuite les systèmes de droites aux courbes. Desargues \ découvre l'intéressante relation des segments déterminés par une conique et par les quatre cotés du quadrilatère inscrit sur une tranversale quelconque tracée dans | le plan de la courbe et qu'il nomme « involution des j six points », désignation consacrée depuis par l'usage.
Notre époque a montré combien de théories étaient contenues en germe dans ce beau théorème. Servois Ta reproduit le premier en i8o5, Brianchon l'a pris pour base de son curieux mémoire sur les lignes de deuxième ordre (1817), le général Poncelet n'a du qu'à lui la découverte des propriétés des figures homologiques ; sans parler des secours que Simson, Newton et Chasles ont su en tirer.
Desargues a laissé encore une Méthode universelle de mettre en perspective les objets donnés réellement^ oii se trouve ce principe souvent appliqué depuis : si deux triangles, situés dans l'espace ou dans un même plan ont leurs sommets placés deux à deux sur trois droites concourant en im même point, leurs côtés se rencontrent deux à deux en trois points situés en ligne droite, et réciproquement.
Nous n'insisterons pas sur les autres écrits du grand géomètre lyonnais, relatifs à la coupe des pierres, et au tracé des cadrans. La place nous manque pour relater les nouveautés qu'ils renferment, et surtout la généralité des résultats qui y sont exposés. Aussi le surnom de « Monge de son siècle » lui a été justement décerné, car entre Tauteur de la Géométrie descrip-
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tive et Desargues il y a plus i\\u\ trait de ressemblance.
Indépendamment de ces Maîtres, vivaient qiielcjues savants de moindre importance. L'un d'enx, Mydorge, conseiller au Ghâtelet de Paris, avait publié, en i63i, deux livres sur les Sections coniques^ composés à la manière des Grecs. Il ne s'y préoccupe guère que de simplifier les démonstrations, sans essayer comme Pascal ou Desargues de déduire les propriétés de ces courbes de celles du cercle, soit au moyen de la Perspective, soit par la considération constante du cône qui les engendre. Un autre Français, Gilles Personmer de RoBERVAL, lié lui aussi avec Descartes et le P. Mersenne, imagina un principe général pour résoudre le problème des tangentes aux courbes. 11 y arriva en introduisant en Géométrie les règles cinématiques que Galilée venait d'appliquer tout récemment en ^lécanique. Mais il ne sut pas étendre la doc^trine métaphysique qui présidait à ce procédé, et en tirer toutes les conclusions qu'en partant d'un point de vue analogue le génie perspicace de NcAvton devait découvrir. Sans un moyen analytique unilbrme, comme celui des « fluxions » par exemple, il était impossible pratiquement de la mettre en valeur. « La conception de Roberval était à la même hauteur que celle de Descartes et de Fermât *. » Elle leur cédait seulement par Faide puissante de l'Analyse qu'ils surent appeler à leur secours.
Roberval examina encore, dans son Traité des indivisibles^ diverses questions relatives à la (juadrature (h» l'hyperbole et de la parabole proposées par Fennat. L'italien Cavalieri l'avait précédé dans cette voie. Toutefois, dans une lettre de i644i adressée à Torricelli, Roberval se vante d'être en possession de sa méthode depuis longtemps. Mais on ne peut juger que sur des docuimenls ; or son livre ainsi que ses autres nu'»moires, parurent seu-
(i) CliASLKs. Apctxii /ii.sli>n'(/nv sur / (uiginc cl le (Icfeloppemcnl des tuet/nxien en Géométrie, 3« édit. Paris, i88y.
DESARGVES li;
leiiionton 169.5, dix-huit ans après sa mort. S'il a « iiirnt1<^('' les oreilles des gronietres » afin d'avoir sur eux une « Au|)ériorilé flatteuse », eoiiiine il l'avoue in<^énunient, il s'est privé aux yeux de la postérité du hénéliee de celle invention.
()uoi (|u'il en soit, la découverte àw Calcul iiifiiiitésinuil était dans l'air. Un jésuite belge, trop ignoré aujourd'hui, Ghkgoihe de Saint-Vincent, aplanissait le (!heniin en publiant sa Quadratiira circuli et sectiouiun coni {i64'jj' En opérant la quadrature de l'hyperbole il j démontra que la surliu'e entre les asymptotes croît en | progression arithmétique tandis que l'abscisse augmente en progression géométrique ou en d'autres termes ((ue j les aires sont les logarithmes des abscisses. 11 perfectionna aussi, grâce à un procédé particulier, la méthode dVxhaustion d'Archimède. A ce propos, il considère le petit triangle diflerentiel formé par la parabole et deux côtés consécutifs de l'un des (h>ux « polygones à échelles » (inscrit et circonscrit). Cette figure peut avoir conduit Leibniz et XcNvlon à leur sublime invention. Cela soit dit sans penser à amoindrir la gloire de ces immortels génies.
L'Histoire des Sciences vérifie à chaque pas -le fait] (jue les plus remarquables progrès s'opèrent rarement 1 par des divinations subites, mais ne sont que l'évolution logique du persévérant labeur de plusieurs générations.
Si les chercheurs travaillai(»nt beaucoup dans (!es nouvelles directions, la Géométri{î> à la manière des Anciens n'était pas délaissée entièrement. Philippe de Laiiime traitait des Sections coniques (i685j envisagées de la sorte. Pour en«fendrer (!es fijifurt^s (»t déterminer leurs principales pro|)riétés, les Grecs nuMiaienl dans le cône un plan normal au triangle par l'axe. Trois cônes j diflV'rents leur étaient alors nécessain's pour avoir 1 Pellipse, l'hyperbole et la parabole. Lahire voulut abréger ce moyen en le remplaçant |)ar une méthode plus facile et plus logique. 11 prit comme point de départ les
i38 niSTOIHE DES MATHÉMATIQUES
propriétés du cercle qui devaient se retrouver dans les sections coniques. Si la marche synthétique qu'il suivit se rapprochait de la doctrine ancienne, elle en différait donc assez notablement. Ses contemporains Taccueillirent du reste très favorablement. Enfin dans son Mémoire sur les épicycloïdes (1694) il détermina géométriquemont la forma des engrenages utilisés pour la construction des roues dentées.
Le hollandais Christian IIuygens fut à la fois mathématicien, physicien, chimiste et dans chaque partie des sciences qu'il a cultivées il se révéla novateur original. Né à La Haye en 1629, il termina ses études à l'université de Bréda où plus tard il devait se faire, comme le professeur van Schooten, le vulgarisateur de la géométrie cartésienne. Dès i65i il rectifiait, dans ses Tlieoremata de quadralura Jiyperboles, ellipsis et circiili, quelques erreurs de Saint- Vincent et en i656 il publiait son De ratiociniis in ludo aleva, le premier ouvrage complet sur le calcul des probabilités dont Pascal et Fermât venaient de poser les premiers jalons. L'année suivante paraissait son Horologium oscillatorium ouvrage capital qui ne peut être comparé qu'aux Principes de Newton. Ce (k^rnier admirait d'ailleurs beaucoup les travaux de celui qu'il avait surnommé « Summus Hugenius ' ». Entrons donc dans quelques détails au sujet de ce traité.
Le premier chapitre est consacré à la description des horloges à pendule, une de ses plus utiles inventions. Dans le deuxième il étend la découverte de Galilée, concernant l'accélération des graves tom])ant librement sous l'action de la pesanteur ou glissant sur des plans iiudinés, aux corps (|ui se nuMivent sur des courbes ; (h)Hnées. 11 trouve alors (|ue la (-ycloïde jouit de cette reinar(|ua])le propriété d'être lauloclirone (U\ns le vide. ' On rencontre dans la troisiènu? partie, la théorie des développées qui eut par la suite tant d'usages heureux.
(i) Hœifr. Histoire des Mathématiques, 3« édit. Paris, «880.
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Il avait surtout en vue Tapplication de la « oooluta * »' à la rectilicalioii des «ourhes. V\\ peu plus loin, il résout le problème des centres d'oscillation, proposé par Mersenne, en applicpiant une des rè<j^les les plus fécondes de la Mécanique, celle dite aujourd'hui principe de la (conservation des forces vives. Puis dans la dernière [)artie outre une nouvelle construction de ses horloo^es, il donne plusieurs théorèmes sur la force centrifuge et le mouvement circulaire. Grâce à l'utilisation de (;es dernières propositions dans la recherche du déplacement' de la Terre autour de son axe et de celui de la Lune autour de notre globe, Newton put découvrir les lois de gravitation de ces corps célestes.
Parmi les autres travaux d'iluygens, dont beaucoup sortent de notre cadre, tels que la découverte des anneaux de Saturne par exemple, il nous faut donner un moment d'attention au Traité de la lumière (1690) car c'est la première application véritablement rationnelle de la Mathématique à la Physique érigée en corps de doctrine. Là se voit exposée la théorie des ondulations, qui, après avoir eu de nombreux adversaires au cours du xvin" siècle et dans le nôtre, est actuellement triomj)hante, grâce aux travaux des Fresnel et des Foucault. L'auteur s'appuie sur le remarqua))le principe qui a conservé son nom. Il consiste à admettre que le mouvement de Téther en un point quelconque d'une onde lumineuse, occupant une certaine position, est la résultante des vibrations qu'y enverraient toutes les parties de la même onde considérée dans l'une de ses positions antérieures.
Uuygens en déduit la sphéricité des ondes et la loi de la réflexion pour un milieu homogène. 11 se base ensuite sur ce théorème pour étudier la réfraction. Lorsque des rayons parallèles entre eux tombent sur une surface plane, si l'on imagine un plan perpendiculaire a
(i) C'est ainsi qulluygcns noiuinc hi développée.
I io niSTOIHE DES M ATII É M ATI QV E S
la direction an faisceau et que de chaque point de la surfaire diriniante, pris pour (!entre, on décrive une sphère dont le rayon soit proportionnel à la distance de ce point au plan (h' Tonde incidente, ces diverses sphères auront pour enveloppe la surCac'c de Tonde rélVac^tée el les l'ayons lui seroirt normaux. D'autre |)art, pour rendre compte des phénomènes de la double réfraction dans le spath d'Islande, il remarque simplement que le milieu étant hétérogène, Tonde n'est plus sphérique, par conséquent le rayon lumineux ne sera j)lus perpendiculaire à celle-ci. Seulement la résistance sera identique dans les dire('tions éo;alement incdinées sur Taxe optique du cristal. 11 arrive enfin à cette constatation importante : pour le spath, Tonde correspondant au rayon réfracté extraordinaire est un ellipsoïde (h» révolution. Fresnel devait compléter plus tard ces remarquables résultats, vérifier expérimenlalement cette théorie et découvrir la polarisation, à^ieine entrevue par le célèbre Hollandais.
Ajoutons pour terminer, que lluygens fut attiré à Paris par les libéralités de Louis XIV. Nommé membre de TA(îadémie des Sciences dès sa fondation (1666), il quitta la France, en 1681, aux premières persécutions dirigées contre les protestants, et dès la révocation de TEdit de Nantes jusqu'à sa nu)rt (1695) il ne voulut même plus (correspondre avec la docte compagnie.
La caractéristique de la majorité de ses découvertes est qu'elles ont été faites au moyen de l'ancienne Géométrie, (pioique sur la fin de sa vie il se mit à étudier les nouvelles doctrines.
