CHAPITRE XV

Découverte de TAiialyse infinitésitnale par Ne-wton

et Leibniz.

La transition entre les œuvres de Uuy^ens et la (léeouverte Je l'Analyse inlinitésiniale ne saurait t^tre mieux établie (jue par Wallis, (|ui, après avoir achevé ses éludes à Cambridge, fut nommé professeur à Oxford (1649)^ iï TAge de trente-trois ans. 11 s'occupa principalement des sections coniques et inventa, dans son Ariihmélique des infinis (lô.'ïô), une méthode d'analyse (|ui constitue un réel progrès sur celles employées antérieurement par Cavalieri, Fermât, Roberval et Descartes. Les travaux de Newton ont fait oubiier les vues ingénieuses et les démonstrations générales mais parfois compliquées qu'on y rencontre. (hud(|ues résultats sont cependant restés acquis à la Science. Telles sont la détermination, au moyen de V interpolation^ de la nature d'une fonction, dont on connaît (juelques valeurs particulières, et la mise en évidem^e de ce fait que les dénominateurs d(''s fractions sont de véritables |)uissances à exposants négatifs. Son ami lord Bholxcker mérite aussi une mention : il trouva pour t: l'expression (pii donna naissance à la théorie des fractions continues*.

a 4- elc.

i42 HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES

Mais IsAAC Newton éclipsa tous sos conlcniporains par la prolondeiir de son génie niatliéniati(jiie. Il na(|uit à Woolstrope dans le Linoolnshire en 1642. Ses biographes s'aeeordent à lui reconnaître une intelligence très vive dès sa plus tendre enlancîe'. ()uoi qu'il en soit, il succéda à son professeur Barrow dans sa chaire de Cambridge (1669). Peu après, la Société Royale de Londres l'appela dans son sein, et il publia en 1687 ^^^ immortels Principia oîi se trouvent exposées la plupart de ses belles découvertes ^

Caractérisons d'abord ce livre par le jugement suivant d'un critique éclairé^. Malgré sa longueur nous citons ce passage, car il nous semble résumer très exactement la (juestion de priorité, si souvent débattue entre Leibniz et Newton.

« Le livre des Principes est, pour qui sait le comprendre, l'un des (^hels-d'œuvre et peut-être le plus grand efl'ort de la pensée humaine. La dignité des résultats est incomparable comme leur précision et leur certitude, et l'immense talent évidemment accessoire à ses yeux, que Ne^vton y déploie comme géomètre >porte sa grandeur au plus haut point. La théorie des fluxions y est indiquée rapidement dans une note que Newton nomme scholie^ mais elle pénètre et domine tout l'ouvrage, qui, aujourd'hui encore, en est comme la plus belle application. Lorsque parut le

(:) FoNTENELLK. Eloge (le ycivion. Œuvres, t. Vil, Paris, 171)-^; Brkwster. Me/noirs of... Isuac ye»<ton. 3" édit., Edinburg, 18G0; — Rolsk Ball. A short account of the History of Malhematics. Londres, 1888.

(2) Newton fut remplacé dans sa chaire d'abord par Whiston, auteur de plusieurs ouvrag'es sur l'Astronomie, auquel succéda en 17 Ji Nicolas Saun- DKHSON, né dans le Yorkshire en idSa. Ce savant bien i\uaveitgle dès l'âge de deux ans, sut s'initier aux mathématiques et les professer avec succès. Il avait inventé une planchette à calculer, son « arithmétique palpable » comme il l'appelait, au moyen de laciuelle il pouvait edectuer promptement tous les calculs, grâce au seul sens du toucher. Ses Éléments d algèbre, publiés en I7'i3, n étaient pas sans valeur, et ils eurent 1 honneur d'une traduction française en 175G. Saunderson était mort le ly août I7'i<), au Christ' Collège de Cambridge.

(3) JusKPii Bi-KTKANO. Les fondateurs de r Astronomie moderne. Paris, s. d.

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Fig. i8. — (D'après le frontispice de son Optique, édition latine de Lausanne et Genève, 1740.)

r.iy.iLysr: i.sfimtêsimale \\%

livre des Principes^ cette théorie inventée mais -non publiée vingt ans avant par Newton n'était plus nouvelle pour les géoniétr(»s. Leibniz avait publié, en i()84, dans les Acta eruditorum une note de 6 pages cpii contient sous une autre forme des j)rineipes é([uivalents.

Newton lui-ménuî Ta reconnu d'une manière expresse. Rien ne semble donc plus simple et plus clair que l'histoire de cette double découverte, sur lacjueHe cependant on a tant discuté... Quoique la publication de Newton ait été postérieure à celle de Leibniz, il est prouvé qu'il ne lui doit rien ; mais tout porte à croire qu'il ne l'a aidé en rien. En l'absence de preuve positive, qui oserait soupçonner Leibniz, lui si sincère et si dévoué à la vérité, d'avoir dissimulé les secours qu'il aurait reçus d'un rival ? Sa vie tout entière, tant de lois et si minutieusement étudiée, le justifie d'une telle imputation...

Leibniz et Newton partagent donc la gloire d'avoir inventé le Calcul différentiel, et quoique différemment illustres, chacun d'eux doit être tenu pour honoré de s'être rencontré avec un tel émule. Bien qu'ils soient complètement d'accord sur le fond, on retrouve dans la forme qu'ils ont adoptée, l'empreinte de leurs génies si dissend)lables. L'un, plus préoccupé des lois de l'Univers que de celles de l'esprit humain, semble voir surtout dans ces nouvelles méthodes l'instrument de ses elforts pour pénétrer la nature, et, leur assignant un but élevé, en a mieux montré toute la portée. L'autre, qui mettait sa gloire à perfectionner l'art d'inventer, a plus nettement marqué la route, et nous suivons encore aujourd'hui It^ traces lumineuses qu'il y a laissées. Le premier, ne produisant ses découvertes qu'après en avoir longuement mûri la forme, a pu donner à ses travaux ([uelque chose de plus achevé et de plus ferme, et faire jaillir de sa pensée toutes les vérités qu'elle <!ontient.

Le second, plus habile à inar(|uer les grands traits, se plaisait à remuer les cpiestions les plus variées, en

BoYER. Ilist. des Math. lo

i/,6 lIISTOIIiE DES MATlIEMAriqUES

éveillant dos idées justes et fécondes, qu'il laissait à d'autres le soin de suivre et de développer. ^\nvlon se croyait rarement obligé de renoncer à la règle avant d'en faire l'application ; Leibniz, au contraire, aimait à donner des préceptes, et se montrait plus em[)ressé à proposer de beaux problèmes qu'à suivre le détail de leurs solutions. Si NcAvton plus diligent avait publié dix ans plutôt sa théorie des fluxions, le nom de Leibniz resterait un des plus grands dans l'Histoire de l'esprit humain ; mais tout en le comptant parmi les géomètres de premier ordre, c'est à ses idées philosophiques et à l'universalité de ses travaux que la postérité attacherait surtout sa gloire. Si Leibniz au contraire, al)ordant plus tôt l'étude des ^lalhématiques, avait pu ravir à son rival l'honneur de leur commune découverte, on n'admirerait pas moins dans le livre des Principes, avec la majesté des résultats obtenus, rincomparal)lc éclat des détails ; et en perdant ses droits à l'invention de la méthode qui s'y trouve employée avec tant d'art, ^'e^vton resterait placé au rang qu'il occupe aujourd'hui parmi les géomètres, je veux dire à coté d'Archimède et au-dessus de tous les autres. »

Analysons maintenant les trois livres des Principes. Nous suivrons pour cela la traduction faite par la marquise du Ghatelet, la célèbre amie de Voltaire. Les àvwx volumes qui la composent ne parurent qu'aj)rès la mort (h^ cettc^ savante, (mi 1759, et ils sont enrichis d'un commentaire très estimé.

L'ouvrage débute par des définitions déjà (^onnues qu'il commente aj)rès les avoir formulées, puis viennent des axiomes également adoptés par ses prédécesseurs. Lne fois ces premiers jalons posés. Newton, avec le premi(M' livr(\ aborde le fond mém(^ dw sujet en exposant ses grandc^s déc()uv<Ml(^s (mi Dynamique. Raj)|)elons les j)rinci|)ales, en tète le faiiKMix <( théorème des aires ». Dans les mouvements <*urvilignt^s des corps, les aires décrites autour d'un centre immobile

Fig, 19. — Portrnit de Nicolas Saundersox, aveugle qui prorcssa les

Mnthcinntiqucs ù l'Université de Cambridge de 171 1 ù x'Vj.

(D'après une gravure du Gentleman Magazine de Londres, n» de s?pl. i7:'»4.)

L ' A y A LYSE IS FI SITE S I MA LE 1 49

sont dans un môme plan immobile, et sont proportionnelles an temps. Il démontre réciproquement que la ibree est dirigée vers le centre dans tout mouvement quelconque où la loi s'applique, puis il cherche la J^ ibrce accélératrice dans l'hypothèse d'un mouvement elliptique où la loi des aires est rapportée au loyer, et par un simple calcul il voit que la variation de cette force doit être en raison inverse du carré du rayon vecteur. Pour envisager enfin la question sous toutes ses laces, il suppose un mobile attiré par un centre {\xi\ suivant la loi de l'inverse du carré de la distance, et il arrive à cette conclusion que la trajectoire décrite sera | une conique. Si la marche adoptée par Xe^vton dans cet endroit est remarquable par son élégance et sa logique, il serait injuste d'oublier que Huygens avait défriché la route par ses recherches sur la force centripète dans le mouvement uniforme.

Puis l'auteur termine ce livre en étudiant le mouvement des corpuscules attirés par toutes les parties d'un corps quelconque. Il découvre un certain nombre de propositions qui lui permettront d'établir sa théorie de l'émission.

LMnlérôt décroît au second livre, dans lequel il expose le mouvement des corps dans un milieu résistant. On y rencontre à l'état embryonnaire quelques éléments de la théorie des fluxions. Mais occupons-nous du morceau capital des Principes^ celui où il applique au système du monde les théorèmes précédemment énoncés.

i^our étendre au Soleil, aux planètes et à leurs satellites les préceptes découverts, et arriver à déterminer leurs masses, il considère les corps secondaires comme de simples molécules vis-à-vis des corps principaux. Voici à titre d'exemple comment il fixe le rapport entre celles du Soleil tit de la Terre. Connaissant l'accélération de Mercure, qu'il calcule grâce à la durée j de sa révolution et au rayon de son orbite, il en déduit

i5o UISTOIIIE DES MATHÉMATIQUES

au moyen de la loi dos variations d'attraction selon la distance, Taccélération que le Soleil communiquerait à un corps situé à sa surface. D'autre part, sacliant Taccélération imprimée par la Terre à un corps placé dans les mêmes conditions sur notre globe, il en (conclut aisément celle qu'elle donnerait à un corps distant de son centre d'une longeur égale au rayon du Soleil. Mais précisément le rapport des deux accélérations imprimées par le Soleil et la Terre à un même corps, à des distances égales de leurs centres, est celui de leurs masses.

Il étend ensuite sa méthode à une planète possédant un satellite, et il trouve d'une façon analogue l'accélération qu'elle transmet à ce dernier; il en déduit l'accélération qu'elle imprimerait à un corps situé à une distance de son centre égale au rayon du Soleil. D'un autre côté, comme il a déterminé l'accélération communiquée par le Soleil à un corps placé à sa surface, il n'a qu'à prendre le rapport entre ces deux grandeurs pour obtenir le rapport entre les masses de la j)lanète et du Soleil. Ce procédé ne permet pas de déterminer les masses des satellites ; toutefois pour la Lune, Newton a résolu le problème à l'aide de l'observation des marées.

Cet immortel ouvrage donnait donc toutes les lois de la gravitation universelle, la plus sublime généralisation que le cerveau humain ait enfantée, puisqu'elle règle le cours de tout le système solaire.

Les difiicultés qui liérissaient à chaque page les Principes^ empêchèrent leur diffusion ; peu de savants étaient à même de les comprendre, encore moins de les juger, mais cette œuvre apporta au géomètre la fortune. Nommé en 169;") inspecteur de la Monnaie de Londres, Newton en devint bientôt directeur (1699). Cette situation lui valant !5o 000 livres, aomme considérable pour ré|)o(jue, il put continuer la |)ul)lication de ses travaux sans s'iiKjuiéter du lendemain.

.'Pa/^cki-^ Petit r-u^e^sT *'^r£tcip4Af' ji:^c>r U^ AriUA44^<*Vyr

Fig. ao. — Porlruit de la marquise du Ciiatklet, traductrice de Newton. ^D'après une gravure du temps.)

L'AXALySE lyFiy/TJ-SIMALE i53

Son Optique^ mise au jour en 1704, regarde surk>ut l'histoire ile la Pliynique. Il y montre la eom|)osition de la lumière blanche, et expose la théorie de rémission. Bien que cette dernière ait été renij)lacée par c!elle des ondidations, on peut dire qu'il paiia<^e avec lluygens l'honneur d'avoir introduit les raisonnements matliémaliques dans un livre didactique sur les pliénomènes naturels. A ce volume étaient joints deux petits traités dont un Sur les lignes du tioi^ième ordre ^ semble n'avoir pour objet qu'un exercice de (iéométrie analytique. Les courbes y sont classées d'après leurs é(|uations, en algébriques ou transcendantes : les premières sont rencontrées par une ligne droite en un certain nombre de points réels ou imaginaires égal au degré de la courbe; tandis que les autres peuvent être coupées par une droite en une infinité de points. Il y indique ensuite que la plupart des propriétés des coniques ont leurs correspondantes dans la théorie des cubiques. Le second opuscule roule sur la Quadrature des courbes. On y voit apparaître pour la première fois les indices littéraux et Textension de sa Tormule du binôme au cas d'un exposant quelconque ; mais surtout il contient d'intéressantes applications des principes exposés dans sa Méthode des fluxions, publiée seulement en ijiiG.

\'oyons comment il est parvenu à (;ette conception.

Après avoir donné le développement en séries des quantités fractionnaires ou irrationnelles, il énon<H^ les deux problèmes relatifs au mouvement, qui l'ont conduit à imaginer sa méthode. Ce sont :

La longueur de l'espace décrit étant connue à chaque instant, déterminer la vitesse du mouvement à un moment quelconque.

La vitesse du mouvement étant donnée, trouver la longueur de l'espace parcouru.

(>eci j)osé. Newton l'ait le raisonnement suivant. Si dans l'équation y = .r% y exprime l'espace parcouru au temps /, temps mesuré par un autre espace x, s'accrois-

i54 HISTOIRE DES M ATII K M ATI QUE S

sant d'une vitesse uniforme Xy x' exprimera la vitesse avec laquelle dans le mémo momeni Tespace y sera parcouru, et vice versa. Considérant alors les grandeurs comme décrites d'un mouvement continu, il cherche à les déterminer d'après les vitesses des mouvements ou accroissements [fluxions], tandis que les grandeurs engendrées sont les fluentes. « Les flux'ions sont, dit-il, d'aussi près que possible proportionnelles aux accroissements des fluentes, engendrés dans des intervalles du temps, égaux et aussi petits que possible ; elles sont dans la raison première des accroissements naissants, et peuvent être représentées par des lignes qui leur soient proportionnelles. » Gomme notations il se sert, pour les fluxions des grandeurs j", ?/, ^..., des mêmes lettres surmontées d'un point. Ces fluxions étant à leur tour des variables, leurs fluxions seront notées par des lettres identiques surmontées de deux points. Enfin il a soin de réserver aux quantités connues les premières lettres de l'alphabet r/, h, c... etc.*.

Parmi ses autres publications, VArlthméliqiie universelle renferme d'importantes contributions à la théorie des équations, entre autres son théorème sur la somme des puissances des racines. Telles sont les principales découvertes de NcAvton. Nous n'avons pu signaler les inventions de moindre importance qui figurent dans ses œuvres; ce que nous en avons dit suffit à montrer quelle ardeur scientifique il a déployée,* et quel sillon profond il a creusé dans le champ mathématique.

Son émule Gottfried Guillaume Leibniz partage avec; lui le litre de créateur de l'Analyse infinitésimale. 11 naquit à Leipzig le 3 juillet 1646. Son père, habile professeur, guida ses premières éludes, puis il apprit avec Thomasius la Philosophie, et avec Kuhmius les Malhémati([ues. D'ailleurs il ne borna pas à ces sciences son bagage intellectuel. L'Archéologie, la Littérature et

(1) Ldg-rangc a substitué ù ces symboles les suivants : .r\t/', r'... x", y", z"

Fig. 21. — Poptruit de Leibm7. ( 1640-1 7 1(>|. (D'après une gravure allemande du xviii* siècle.)

L'A SA L YSE ISFISITESIMA LE i j;

lo Droit le passionneront également. Vers l'Acre de vingl-einq ans il put, grâce à une mission ((ue lui donna le baron Boineburg," se rendre à Paris (jui attirait à lui tout ce que l'Europe comptait alors desavants. Il s'y lia avec Huygens. Peu après il se dirigea vers l'Angleterre où Newton, Boyle, Wallis et les autres membres de la Société Royale de Londres raccueillirent avec honneur. Mais à quelques mois de là, la mort de Télecleur de Mayence le privant de sa pension, le força à abréger son séjour. Il dut songer à reprendre le chemin de l'AUemagne, non sans toutefois re|)asser par Paris où il demeura encore plus d'une année. C'est à ce moment qu'il s'adonna aux mathématiques, se mettant au courant de toutes les nouvelles découvertes, et construisant sa machine arithmétique.

D'ailleurs sa situation pécuniaire s'améliora bientôt, car le duc de Brunswick le nomma vers ce temps conseiller à sa Cour, en l'autorisant à rester à l'étranger. Puis, en 1676, il quitta notre pays pour voyager à nouveau en Angleterre et en Hollande, enfin il retourna à Hanovre, ville qu'habitait son protecteur. Ses soins se portèrent alors sur l'organisation d'une bibliothèque et d'un cabinet de physique pour le duc de Brunswick, très curieux du mouvement intellectuel de son époque. L'activité de Leibniz était toujours en éveil, aussi ne tarda-t-il pas à fonder avec Mencken (1682) le premier journal scientifique de l'Allemagne, les Acta eruditorum * (fig. 22), le pendant de notre Journal des savants . he'ihmi prit une part importante à sa rédaction. Dès l'année même de sa fondation il y inséra des articles, et au mois d'octobre 1684 sa Nova methodus pro maximis et minimis y parut. Dans ce mémoire il résout, au Uioyen du Calcul did'érenliel, le problème ci-après proposé par de Beaune : Trouver une courbe dont la sous-tanirente soit constante. Il

(1) Ce journal paraissait mensuellement ù Leipzig.

i58 IIISTOUiE DES MATIIÉMATIQI'ES