AUGUSTO

Ducibus Saxoniae ÔCC.&C.&C.

PRINCIPIBUSJUVENTUTIS

dicata.

Cum S.Cdfired Majeftatù Êf TotentUJinii Elc^

LIPSIS^

Proftant apud J. GROSSIUM & J. P. GLETITT/HIUM.

Typis CHRISIOPHORI GuNTHF.Ri.

AaaoMDCUXUU. ^

ij^. ix. — l'ac-siinilc du frontispice des Acta Eiut/iioium, premier journal scientifique de l'Allemagne, fonde par Leibniz en i68i.

L ' A y . i L y s E I SFISI TK S /MALE i Çg

démon hc (|ue la <;oiirl)e cherchée est une lo^aritliiiii(|uc ordinaire, ses abscisses croissant en j)ro<»ression arilluuétwftteT^êr ses ordonnées en progression géoniélri(|iie. Il y donne en outre h» moyen de difï'érencier aussi bien les quaiililés rationnelles que fractionnaires, et ap|)li(|ue son |)ro<édé à un exemple assez dillicile lui permettant de bien indiquer la route à suivre dans tous les cas. Cette nuHliode générale laissait loin derrière elle celles de Fermât, de Descartes ou de Barro\v *.

Deux ans après, dans son De geometria recondita, il exposa les bases du Calcul intégral, et il montra que les problèmes des quadratures si péniblement résolus par ses prédécesseurs peuvent se traiter avec aisance grâce à ce dernier.

Envisagée en bloc, la doctrine leibnizienne repose sur les considérations suivantes. Déterminer les conditions dans lesquelles un phénomène continue à se développer, est toujours plus aisé que de rechercher des relations qui exprimeraient les lois de son accomplissement dans leurs moindres détails ; et cependant, pour assister à la production intégrale du phénomène, il suffira de connaître ses développements successifs, d'un état à un état infiniment voisin. Or la mise en équations difTérentielles d'un problème est simple, tandis que la recherche des équations en (juantités finies est souvent insoluble. Plus la question se complique, plus la disproportion entre leurs difficultés augmente.

Entre autres sujets intéressants que Leibniz inséra dans sa revue, il faut noter plusieurs formules courantes aujourd'hui, divers développenients en série, le premier usage du signe d'intégration / et des articles sur les jeux de hasard.

Ses travaux relatifs à la Mécanique sont importants.

Dans le Journal des Savants de 169.'^, il formula la

(i) B08SUT. Histoire générale (feu Mat/iémaiique», t. II. Paris, 1810.

iGo HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES

règle générale de la composition des mouvements. Il avait repris auparavant dans son recueil la théorie des déplacements planétaires. Par une heureuse inspiration il em|)loie le système de cordonnées polaires qui sim- ])lifie les formules.

Puis, tout en disputant avec les Cartésiens sur le principe des forces vives, il consacra principalement les dernières années de sa vie, à perfectionner et à étendre sa méthode. Des adeptes le secondaient du reste. En particulier le marcpiis de l'IIoimt.vl dont VA/ialijse des infiinnient petits (1696) révéla au grand public les mystères du nouveau Calcul, réservés jusqu'alors à (juelques privilégiés.

Comme en France tout finit, dit-on, par des chansons, on représenta à Paris une comédie : Les infiniment petits, où les nouveaux préceptes étaient tournés en ridicule. L'intrigue de la pièce n'était pas compliquée. La santé chancelante du marquis de l'Hôpital, et la répulsion de sa femme pour le progrès, en faisaient tous les frais. De lè\ des scènes de ménage faciles à deviner, et dignes d'ailleurs d'un vaudeville de bas étage.

Les adversaires de l'Analyse infinitésimale ne méritent pas de nous retenir beaucoup. Citons quelques-uns de ces retardataires. En Angleterre nous trouvons le philosophe Berkeley. En France, l'abbé de Catela>' dans sa Logistique universelle (1692) voulut remplacer le Calcul difi'érenliel par un procédé cpii n'en était qu'un grossier déguisement, et Michel Uolle, dont le Traité d'algèbre (1690) fit j)rogresser la théorie des équations, se posa en ennemi non seulement de Leibniz et de Newton, mais de Des(îartes. Toutefois dans son ouvrage on rencontre entre autres choses curieuses le théorème connu aujourd'hui sous son nom. C'est une généralisation de celui (pi'il énonce sous la forme suivante et avec sa terminologie parti(*ulière : lorsqu'il y a des racines effectives dans une cascade, les hypo-

A 'A y A L Y SE lyfiyj tksima le i6 I

thèses de celle cascade donnenl allernalivement l'une -fet Tau Ire — *.

En Hollande, Bernard Nieuwentyt faisait, dans ses Considerationes cirva atialysis (1694), des objections assez sérieuses au |)rinri[)e niènie. Il considérait celuici connue Taux, parce qu'on envisa<j;e connue é<^ales des quantités ayant entre elles des dillerences infiniment petites mais cependant réelles. Leibniz leva ces difficultés, et finit par le convaincre.

Mais les partisans du progrès furent de beaucoup les plus nombreux, et à leur tète il convient de placer les Hkhnoilli, parmi lesquels les |)lus célèbres furent les (\eu\ frères Jacoues cLIean -.

Le premier se distingua dans la théorie des courbes. Parmi ses découvertes, la plus remar([uable est celle relative à la spirale logarithmique. Il démontra que sa développée, sa causti([uc par réfraction et sa (caustique par réflexions ont de nouvelles spirales logarithmiques égales à la proposée mais tournées d'un certain angle autour du |)ole. H en l'ut tellement enthousiasmé qu'il lit gra-

(1) R«)IIe appelle « racines effeclives » d une t'fjuîitioii ses racines positives. 11 nomme « cascade » une équation /*(x) = o dans laquelle f{x) est un polynôme entier, et il donne le même nom aux équations /*' (.r) = o /"' \x) = o... Les « hypothèses » dune cascade p (x) z= o sont pour lui les racines de l'équation /*' "^ * (x) = o et en même temps une limite supérieure des racines de /**' (x) = o. Il appelle enfin première, deuxième, troisième... cascade, les cascades du premier, deuxième, troisième... degré. Voir pour plus amples détails sur sa méthode, notre petite note sur le théorème de Rolle, insérée dans V Intermédiaire des mathématicien», t. Il (i8gS).

(a) Comme plusieurs membres de cette famille se sont illustrés dans les Mathématiques, nous croyons intéressant de donner ici la généalogie des Bernoulli, originaires d'Anvers, mais réfugiés en Suisse. Nous l'empruntons ù M. Floria.n Cajori. (.1 llislory of Mutliemalics. New-York. i8<j3.)

Nicolas Hbrxouu.i, le père.

Jacques Nicolas Jiak (1667-1748)

Né à Bile CD lC3i, mort eu i70o | |

Nicolas ( 1 687- « 75^»; Nicnuvs ( 1 60-5- 1 726)

|)\MKL, né à (îroainguc en ITOO, mort à Itûlc en 1782 J«A!« (l7IO-t7îH))

Dakikl Jkjin (I74i-I807) Jacqcbs (1738-1789) BoYER. Hist. des Math. il

i62 HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES

ver (îctle fio^iire sur son toiiilicau , avecî celle devise eiiiblèiiie de la résurretîtion : Eaclem immutala resurgo. D'autre part, dans son étude de la courbe isochrone paracentrique^ on rencontre pour la première ibis le mot « intégral ». Leibniz appela d'abord sa méthode « calcul sommatoire » mais après entente avec le savant suisse il adopta définitivement la dénomination proposée par celui-ci. En 1693, Jacques BernouUi énonça son fanunix problènu^ des isopérimètres ^ clause de sa querelle avec son frère Jean, car ce dernier commit quelques erreurs dans la solution, erreurs qu'il rectifia par la suite. Son mémoire sur la chaUielle ou courbe théorique d'équilibre d'un fil sans épaisseur, pesant, homogène, flexible et inextensible, est important. Toutefois Leibniz avait déjà découvert ses propriétés etdonné son équation '. Jacques Bernoulli étendit la question à des cas plus compliqués tels celui oîi le fil est de densité variable, puis inextensible, puis sollicité en chafjue point par une force dirigée vers un centre. Il montra également la déformation que subit une lame élasti([ue fixée à l'une de ses extrémités et courbée par un poids attaché à l'autre. Dans le nu'^me ordre d'idées notons ses recherches sur î la Unlêaire^ fornu^ prise par un linge soutenant un li- ' quide, et sur la figure d'une voile enflée par le vent. En outre, dans ^o\\ Ars conjeclainU^ publié seukMuent après sa mort en 171 3, il précisa les notions émises j)ar Pascal et Fermât sur les probabilités. Enfin et surtout on lui est redevable du Calcul expoiieiUiel^ cette partie de l'analyse devenue si féconde. Il est basé sur la relation Log .r" = // Log x et sur ce fait (pu* la différentielle d'un logarithme, d (log r) est égale à ^— , Il montra d'aiitre part ([ue les courbes exponentielles, algébriques et tran(!endantes, ont entre elles des j)oints de ressemblance.

(i) H. Drocakd. IVofvs de lublioi^raphie des courbes géoméditiues. Bnr-lc- Duc, i8y:-yy.

L'AXALYSE INFINITÉSIMALE i63

Jean Bernoiilli, haineux et vindicatif, ne sut s'accorder ni avec son frère, ni ^vec son fils. Mais heureusement sa scient^ elâit au-dessus de son caractère. Outre les travaux (|ue nous avons déjà cités, il poursuivit d'heureuses investigations sur la brachistochrone ou courbe (jue doit suivre un corps pesant pour descendre tl'un point à un autre dans le moindre temps possible. 11 avait accordé vers la fin de 1696 un délai de six mois aux géomètres pour répondre à ce problème. Leibniz, Newton et son frère Jacques le résolurent par des méthodes particulières, et démontrèrent que la cycloïde était le chemin cherché. Antérieurement on avait déjà reconnu à cette courbe, surnommée pour cette raison « curva descensus aMjuabilis », la propriété du tauto- ^ chronisme. Lagrange devait plus tard, grâce à son calcul des variations, embrasser complètement ce sujet, que Jean Bernoulli avait seulement ébauché.

Mais ses principaux titres de gloire sont d'avoir contribué à répandre parmi ses contemporains l'analyse infinitésimale, et d'avoir su former de nombreux disciples au rang desquels figure le grand Euler.

Au sein de l'Académie des Sciences de Paris se trouvait également un intelligent défenseur des mêmes doctrines, l^iERRE Vahignox. Dans sa Nouvelle Mécanique imprimée seulement après sa mort, en 1725, on rencontre de nombreuses simplifications de démonstrations. Beaucoup de propositions importantes même lui sont dues : tels sont la théorie des moments pour les forces concourantes et l'énoncé général du principe des vitesses virtuelles.

Si Varignon chercha toujours la clarté dans l'exposition de la science, il n'en était pas de même d'ANTOiXE Parent dont les Eléments de Mécanique et de Physique sont remarquables cependant sous certains rap|)orts. Entre autres sujets (pi'il y aborde se voient les équations de la sphère et du plan, le calcul des ordonnées maxima et minima dans différentes sections de la sphère, et la