CHAPITRE XYI

Les mathématiciens anglais de la première moitié du XVIIF siècle et les recherches d'Euler.

(hiittons le continent pour revenir dans la patrie de Ne\vlon où, [)en(lant la première moitié du xviii" siècle les Malhémali([ues se maintinrent à un niveau très élevé. Commençons par le plus enthousiaste admirateur de rimmorlel Anglais, |)ar Bhoor T.vyloh, qui naquit à Edmonton, dans le Middlesex, le 18 août i685. Après une éducation encyclopédique, il se livra aux spéculations scienti(i([ues, et devint membre de la Société Royale de Londres en 1712. Outre plusieurs mémoires sur le mouvement des projectiles, la capillarité, le centre (ros(!illation et un traité New principles of linear pers^ peclive^ il (!()m[)()sa vux grand ouvrage intitulé Melhodus incrcineiitoriun directa et iiiK'crsd (171 5-17). La première partie de ce dernier livre renferme Texposé de sa doctrine des « in(îrémenls » qui se rapproche assez du cal- (ud des difl'érences finies. Il y exalte les découvertes de Ne^vlon en crih(juant injuslement Leibniz et les Bernoulli dont les méthodes, d'après lui, manqueraient d(^ précision, (iomme points intéressants on y trouve» la démonstration de la relation bien connue dite : « fornude (h' Taylor ' » et le |)roblème (hi cdiangement de varial)h' indépendante y (»st abordé, (hiant à la seconde

(,) /•(.,+/,) = /(.r, + hr{.r) + -^ r i^) +•••

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parlic, elle concerne l'application de ce procédé an nioiivenient des cordes vibrantes. Il arrive par de lon<rs détours au nombre de vibrations exécutées par se(!onde. D'Alenibert et La^rano^e reprirent à nouveau ce sujet, mais s'ils rectifièrent c(»rtaines in(M)rre(!tions de détail, j leurs recherches démontrèrent Texacaitude du résultat; de leur prédécesseur.

Enfin Taylor réussit à obtenir récfuation différentielle représentant la trajci^oire d'un rayon lumineux à travers un milieu hétérogène et, dans l'hypothèse où la densité de la couche d'air varie seulement selon sa distance à la surface de la terre, il (construisit par une ((uadrature la l'orme aj)prochée de la ctourbe.

On peut ran<^er dans Técole anglaise de cette période Abhaham dk MoivitK. S'il naquit, en ell'et, à ^ itry, comme il était d'une l'aniille protestante, il dut (juitter la France lors de la révocation de l'Edit de Nantes (i685), à peine «Agé de huit ans, et passa la |)lus grande partie de sa vie à Londres où il se lia avec Newton et Ilalley. Ces précieuses amitiés lui permirent d'entrer fort jeune à la Société Royale.

Ses travaux ont contribué surtout à édifier la Trigonométrie des ([uantilés imaginaires dont plus tard Lambert s'occuj)a à son tour. Les deux princij)aux théorèmes qu'on lui doit sont relatifs à la formule donnant sin m.v\ et cos m.v en fonction de sin x et de cos .r* et aux fadeurs binômes de .r^° — 2 r/a*" -f- i. Mais le plus important de ses livres est sa Doctrine of chances [i"^ 16) complétée par plusieurs mémoires qui ouvrirent une voie nouvelle au cah'ul des probabilités. Bernoulli avait montré que le ra|)port des événements de différentes natures, fourni en observant une longue suite i d'épreuves, s'approtdie d'autant plus du rapport exact/ des possibilités respecctives de (res événenuMits, que les r observations sont plus multipliées. De Moivre fit faire j

( 1) Cette foriniilo est : (Cosx-f- V — 1 Sin j-)" = Cos w x -j- V — i Sin m x.

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un pas (]e j)Iiis à la (|iieslion : il trouva une oléo^ante expression inalhéinali(jue de la probabilité que la dilféren(!e de ces deux rapports est renferniée entre eer- (aines limites. Puis, poursuivant ses investigations, il découvrit les séries ré(!urrentes dont la sommation risée lui permit (rabré<j^er bien des calculs et tl'introduire dans la théorie générale des suites infinies des principes féconds. D'autre part, il a démontré par (ringénieux raisonnements que la proba])ilité d'un événement composé est le produit des probabilités des événements simples qui le composent, et enfin il parvint cà des formules concises relativement aux probabilités de la vie humaine.

A regard de Roger Cotes, professeur d'Astronomie à l'Université de Gambrigde , rappelons ([u'il apporta des perfectionnements aux méthodes d'intégration alors dans l'enfance, principalement à ceux relatifs aux différentielles rationnelles. On connaît surtout son nom dans l'enseignement actuel, par son théorème concernant les racines imaginaires de l'unité. Cependant on lui est redevable encore du théorème suivant, non moins utile, exposé dans son Harnionia mensLirarum. Si d'un point P pris dans le plan d'une courbe de degré m on trace une droite qui coupe la courbe en /// points. A,, A,, ,...A,„ et (ju'on prenne sur cette sé(!ante un point ^1 déterminé parla condition que l'inverse de la distance PM soit moyenne arithmétique des inverses des distances PA, PA^... PA,„, le lieu géométri([ue (hi point M quand la transversale tourne autour (bi j)()intP, est une ligne droite. La démonstration (U^ ("et énoncé, trouvé dans les papiers de (À^tes après sa mort, (ut donnée |)ar son cojnpalriote Maclaurin à (|ui la généralisation du théorème de Newton sur les asymptotes servit de fondement pour son De lincdrum geoinclricdium proprietalibus generalibus (1720).

Ce traité se (U)ntinue par des applications de ces dvu\ piincipes aux courbes du second et du troisième degré. On y rencontre entre autres les propriétés les

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|)liis importantes de la division hannonicpie des sécantes, le théorème sur le quadrilatère inscrit, et la belle propositioiT s'uîvanle. Quand un quadrilatère a ses quatre sommets et les deux points de eoneours de ses cotés opposés sur une courhe du 3" de<j^ré, les tangentes à celle-ci, menées par deux sommets opposés, se coupent sur la courbe.

Sa Geometria organira, j)ul)liée un an auparavant, avait pour but d'employer les (tourbes simples à la génération des courbes complexes. C'était le développement méthodique de cette question indiquée par Newton : lorsque deux angles de grandeurs constantes tournent autour de leurs sommets respectifs, de manière que le point de concours de deux de leurs côtés décrive une ligne donnée, l'intersection des deux autres tracera une courbe dépendant de la première. L'auteur des « Principes » avait montré que si i la ligne donnée est une droite, l'autre sera une conique, , et que si la ligne donnée est une conique, l'autre sera en général {\u 4" degré.

Son System of the fluxions (1742) est, au dire de Lagrange, un chef-d'œuvre. Maclaurin s'y appli((ue à faire ressortir les analogies entre la méthode d'Archimède et celle de Newton. On y voit la fornude * au moyen de laquelle il développe une fonction quelconque selon les puissances (u*oissanles et entières de la variable. C'est un cas particulier de celle indiquée précdemnient par Taylor. Quant à son Exposition des découvertes philosophiques, elle constitue un panégyrique « ad majorem Newtonii gloriam », au délrinu^nt de Descartes et de Leibniz. Nous ne saurions donc nous y arrêter.

Parmi ses élèves, citons Mathieu Stkwart que ses General theorenis placent à un rang très honorable parmi les mathématiciens anglais du temps. Ce livre ren-

i;'i HISTOIRE DES MATHEMATIQUES

ferme plusieurs résultats de la Géométrie moderne relatifs au cercle, à la ligne droite, à la théorie des transversales et à Tinvolution. Dans ses Tracts physical and malhcmatlcal il exposa d'une façon très claire le fameux problème des trois corps, et étudia diverses autres questions de Mécanique céleste avec beaucoup de sagacité.

V\\ géomètre russe, Joseph La>'den, qui naquit à Saint- Pétersbourg en 17 19, mérite aussi une mention, (!ar un de ses théorèmes concernant les arcs de l'hyperbole et de l'ellipse, a inspiré Euler et Lagrange.

Si l'Angleterre et l'Allemagne marchèrent à la tète du progrès pendant la belle période des ^lathématiques modernes, la France n'avait eu à opposer aux grands noms des Leibniz et des Newton que des savants de second ordre. Mais la (in du xviii'' siècle lui apportera le (M)mmencement de sa revanche. Quant à la Suisse, elle va continuer à fournir son brillant (U)ntingent. L'éclat des découvertes de I^éonahd Elleu é(!lipsera môme les travaux (h^s Bernoulli.

Cet illustre algébriste naquit à Bàle, le i5 avril 1707, d'un père (pii remplissait les fonctions de ministre protestant. Son professeur fut Jacques Bernoulli. Après avoir passé sa maîtrise es arts en 172.5, il remporta, Irois ans plus tard, un accessit, au concours proposé par rA<;a(lémie de Paris sur la théorie mécani(|ue de la mAture (U's vaisseaux. Puis, grûc-e à la protection de Nicolas Bernoulli, son condisciple, il l'ut nonuné par l'impératrice (Catherine I'*' de Russie, membre adjoint (U> l'Acach'^mie de Saint-Pétersbourg. C'est vers cette époque qu'il publia sa Mechanicn ^ premier traité (li(la('ti(|ue où l'Analyse ait été a|)pliquée à la Science (bi mouvemenl.

L'excès de travail, joint sans doute aux rigueurs du cliinal, (h'iermiiui chez lui une ophlalmie (pii lui lit ])erdre un œil. Aussi à la mort de Biren, le tyranni(|ue favori d'Anne Ivanowna, il quitta sans regret ce pays

ELLE H i:i

(raulo<;ralos, vl sur lt»s instances du roi de; Prusse se rendit à Berlin (174») pour présider l'Acradéniie. FtHé non seulement [mtt les savants, mais bien accueilli par le beau sexe, Eiiler donna des leçons à la princesse

tr. -^

Ï.EONHARD EUl^ER.

(D'après la gravure contcinportirne de C. T. Riodel, publiée â Loipzig.1

d'Anhalt-Dessau. Il composa même à son intention ses Lettres sur quelques sujets de PJnjsûjue et de Plulosophie^ où il se révèle vulgarisateur de talent. Ce livre eut autant de succès que les « Entretiens sur la pluralité des mondes », de Fontenelle. On Ta souvent réédité.

Outre quelques mémoires sur les intégrales définies.

l'intégration des équations d'ordres supérieurs, la balistique, la théorie des isopériniètres, insérés dans diverses publications allemandes ou françaises, il composa peu après une Théorie nom'clle de la lumière (1746). La doctrine de rémission, universellement adoptée depuis Newton, y était soigneusement examinée. Il en releva les contradictions, et se déclara partisan de la théorie des ondulations si génialement édifiée par Iluygens. Soumettant alors au calcul les phénomènes observés en supposant que la lumière se propage par Tintermédiaire d'un fluide impondérable et élastique, Téther, il réussit à enrichir la Dioptrique de formules analytiques dont la généralité égalait la simplicité. Souvent, au cours de sa carrière, il revint sur ce sujet, et toutes ses recherches optiques ont été réunies en trois volumes, sous le titre Dioptrie a (1771).

Catherine 11 l'appela à nouveau en Russie, en 1766. Il était alors devenu presque aveugle, ce qui ne rempècha pas de produire jusqu'à sa mort. Ses plus importantes découvertes sont relatées dans sa Methodus inveniendi liiieas curvas (1744)^ son Introdiictio in Analysiii infinitoruni (1748) et ses Iiistituliones Calculi différent ici lis (1755). Sans songer à rendre compte de ces grands traités, indiquons-en la substance en montrant de quels notables progrès les diverses branches des Mathématiques sont redevables à Euler.

En Analyse, il donna la solution générale du problème des isopérimètres ébauchée dans un travail précédent, et la théorie des intégrales dites « eulériennes ». Il imagina l'identification des fonctions circulaires et des fonctions exponentielles, apporta de multiples perfectionnements à l'étude des séries et à celle des fonctions elliptiques, en apercevant la comparabilité d*un arc d'hyperbole à la somme de deux arcs d'ellipse. Il fournit les équations dilFérentielles du mouvenuMit d'un corps libre soumis à des forces quelconques, et la théorie de la rotation d'un solide autour d'un point fixe.