EU LE H

En Géoiiirlric, il aborda le problènie diu^cnîle laiiiçcnl à trois cercles donnés, il trouva la construction des axes d'une ellipse définie par deux de ses diamètres conjugués et plusieurs solutions du problème de la sphère tangente à quatre sphères lixées.

C'est Euler encore qui introduisit dans les formules ! trigonomélri(jues les abréviations dont nous nous servons aujourd'hui en désignant les angles d'un triangle par A, B, C et les cotés opposés par les lettres minus- ' cules corresponilantes «, b, c. D'autre part, en établissant d'une lacon définitive de nombreuses méthodes ofénéraies, il Iransl'ornja la (iéométrie analytique. Signalons les points intéressants dans ce genre : discussion de . Téqualion générale du second degré à trois variables, qu'on n'avait pas même amorcée avant lui, formules de transformation des coordonnées dans Tespace , définition des foyers des coniques telle qu'on la donne actuellement, théorie complète des courbes géométriques et leur classification en ordres, classes et genres.

La Théorie des nombres, d'un autre côté, lui doit de \ multiples accroissements, entre autres la démonstration de plusieurs théorèmes énoncés par Fermât, et qui avaient jusqu'alors résisté aux efforts des plus sagaces arithméticiens.

Enfin sa Thcoria motuum plaiietarum (1744) et sa Theorla motus Lunœ (17^3) le font ranger parmi les fondateurs de la Mécanique céleste moderne. Dans le premier ouvrage il sim|)lifia le calcul des perturbations planétaires en ramenant la question au problème des' trois corps dont il posa de la sorte très nettement la donnée. Trois corps s'attirant mutuellement selon les lois de Newton (c'est-à-dire en raison directe des masses et en raison inverse tlu carré de la dislance) sont lancés dans l'espace : trouver les orbites décrites, et déterminer les particularités de leurs mouvements. Dans le second \ livre il s'attaqua à notre satellite. 11 considéra le mouvement de la Lune comme la résultante de trois forces,

parallèles à trois axes perpendiculaires entre eux, qui se rencontrent au centre de cet astre et qui, euiportés pour ainsi dire avec lui autour de notre globe, gardent leurs parallélisnies respectifs. Mais si de cette façon il était relativement aisé de trouver les équations générales du problème, il n'en élail pas de même lorsqu'on les apj)li((uail aux phénomènes célestes : les équations se compliquaient alors singulièrement, et il fallut tout le génie du disciple de Jean Bernoulli pour arriver à déterminer ainsi la longitude et la latitude de la Lune. Qu'on ne croit pas que là se bornent les recherches d'Euler*. Resserré dans notre cadre, nous ne pouvons donner qu'une idée très affaiblie de son activité scientifique. Celle-ci d'ailleurs se prolongea plus d'un demi-siècle, car il cessa seulement « de calculer et de vivre - », le 7 septembre 1783. Reproduisons pour conclure ces quelques lignes de Lacroix ^ qui caractérisent fort bien son œuvre : a Successeur immédiat de Bernoulli, et continuant ainsi l'école de Leibniz, il s'attacha surtout à perlectionner la science du calcul, en écartant de plus en plus les considérations de pure Géométrie, (|ue les disciples de NcAvlon appelaient le plus souvent à leur secours. Le premier, il offrit l'exemple de ces longues déductions où les conditions du problème étant d'abord ex|)rimées à l'aide des symboles algébriques, c'est le calcul seul qui développe (^t surmonte toute la diiïiculté; mais pour en

(i) Leur simple énonc»' occupe plus de :to pages in-4» à la suite de son Eloge par Fuss. Saint-Pétersbourg. 178J.

(2) « Le 7 septembre 178!, après s'être amusé à calculer sur une ardoise les lois du mouvement ascensionnel des machines aérostatiques, dont la découverte occupait alors toute rKuroj>e, il dina avec M. Lexell et sa famille, parla de la planète d'Herschel et des calculs qui en déterminent lorbile ; peu de temps après, il fit venir son petit-fils, avec lequel il badinait en [)roniml quelcpies lasses de thé, lorsque tout à coup la jiipe qu il tenait à la main lui échappa, et il cessa de calculer et de vivre. » Condorcet. Eloge dEiiU-r. Strasbourg, 178G.

(3) Lackoix. liiograpliie universelle de Mulmud. Nouvelle édit. Paris, iS43 et suiv.

EVLER 177

tirer ce parti, il fan! le» manier avec adresse, il faut en bien connaître les l'ornies, en reniar([iier et en retenir toutes les- çh^oon stances, afin dVn pressentir tous les résultats. Euler a fait |)reuve à cet é^ard d'une ^ éminente sagacité et d'un génie aussi profond qu'in- 1 ventif. S'il était permis de mettre en parallèle iU*\\\ hommes, qui se sont illustrés dans des genres très différents, on dirait avec raison que par son étonnante fécondité et sa facilité pour le travail, Euler doit occuper dans les Mathématiques la place que tient Voltaire dans les Belles-lettres. Celui-ci ne laissait échapper aucune des pensées, aucun des traits d'esprit qui s'ort'raient sous sa plume; celui-là ne perdait pas un seul des calculs qu'il essayait dans toutes les recherches qu'il entreprenait sur les sujets les plus variés. »

A côté de ce grand savant, la Suisse possédait Gabriel Cramer, dont Vlntroduction a VAnalyse des lignes courbes algébriques (ijSo) est l'ouvrage le plus développé sur ce sujet. On le consulte encore aujourd'hui. En France, Alexis Clairaut par la précocité et la profondeur de ses recherches, contribuait beaucoup, pour sa part, au progrès scientifique. Fils d'un professeur de mathématiques, il publiait à seize ans ses Recherches sur les courbes à double courbure, qui lui ouvrirent avant Tc^ge réglementaire les portes de l'Académie (1731}. Dans ce livre, il résolvait d'importants pro- f blêmes roulant sur les tangentes de ces courbes particulières. Leur rectification et la quadrature des cylindres qui les projettent sur les plans coordonnés y sont ^ traitées par la méthode encore en usage aujourd'hui.

Dans des domaines moins élevés, Clairaut rendit de grands services à l'enseignement par la publication de ses Kléments de (géométrie ,1740 et de ses Klémeuls d'Algèbre (1746) demeurés longtemps classiques. Son but constant dans la rédaction de ces cours est d'éviter toute démonstration ardue, toute pédanterie, tous détails inutiles, quitte à sacrifier l'exactitude rigou-

BOYKR. Hist, des Mnlh. la

reuse, car il veut surtout « intéresser à la fois et éclairer les commençants », ainsi qu'il Técrit dans la préface du premier volinne.

Comme Euler, il s'o(!Cupa de Mécanique céleste. C'est même sa Théorie de la Lune qui a fondé sa réputation. Le procédé qu'il employait pour expliquer les inégalités observées était simple. Il décomposait l'action perturbatrice du Soleil en trois forces dirigées respectivement suivant le rayon vecteur tracé de la Lune à la Terre, la perpendiculaire à cette ligne menée dans le plan de l'orbite et la parallèle à la droite tirée de notre Globe au Soleil. Sous l'attraction isolée de la Terre, notre satellite décrirait une ellipse invariable. Les deux premières composantes de l'action perturbatrice du Soleil déforment cette trajectoire, et donnent à son grand axe un mouvement direct; d'autre part, les accélérations imprimées à l'axe le laisseraient se déplacer dans un plan fixe, mais l'effet de la troisième composante est de faire varier, dans chaque lunaison, Tinclinaison du plan de Torbite sur celui de l'écliplique en même temps qu'elle imprime à la ligne des nœuds un mouvement rétrograde. Lagrange reprit plus tard le problème de ces perturbations.

En terminant l'analyse des œuvres de Clairaut , marquées toutes au cachet de l'élégance, notons qu'il exécuta d'immenses calculs sur la comète de Halley; ceux-ci lui permirent d'annoncer assez exactement son passage au périhélie ^

L'étude de ces corps célestes était d'ailleurs aflectionnée par ce savant, puisqu'il y revint dans deux autres ouvrages. Malheureusement, la marche suivie était pénible. Jean Lp: Rond d'Alembert résolut de la

(i) 11 l'uvail prédit pour le .'» avril «7')»), mais comme il ne connaissait (luapproximativement les masses de Jupiter et de Snturne qui servaient de hase à ses calculs, le passage eut lieu '^3 jours plus tôt, le la mars. Maxi- MiLiFN Marie. Histoire des Sciences mathématiques et physiques, t. VIII Paris, 188G.

D'ALEMliERT 1-9

simplifier en appliquant les principes dont il s'élaiCdéjà servi pour les planètes. Ce fut uit^ine l'orif^ine d'une dispute assez longue entre ces deux mathématiciens. Cette querelle passionna les contemporains, mais cela n'a qu'un médiocre intérêt pour la postérité. Passons donc, sans plus nous attarder, à l'examen des monuments légués à la science par le (ils naturel du chevalier Destouches et de M""* de Tencin.

Comme son adversaire, d'AIemberl fut un enfant précoce. A vingt-deux ans, il composa un Mémoire sur le Calcul intégral^ et il entra à l'Académie des Sciences à vingt-quatre (1742). L'année suivante son Traité de dynamique avait consacré définitivement sa renommée, et « fait époque dans la mécanique * ». 11 y donna une méthode générale permettant de ramener toutes les lois du mouvement à des questions d'équilibre, en exprimant ([ue les forces données qui meuvent le système considéré équilibrent les forces qui déplaceraient les particules de l'ensemble indépendamment les unes des autres et quelle que soit la façon dont s'opère la translation. On peut représenter effectivement ces dernières en fonction des accélérations, re":ardées comme inconnues ; alors les conditions d'équilibre des deux systèmes de force fournissent la mise en équation du mouvement.

Peu après, dWlembert appliqua ces idées à l'étude de l'équilibre et du mouvement des fluides, et à la cause générale des vents. 11 parvint à d'intéressantes conclusions. Mais de grandes difficultés se présentaient dans l'intégration et il dut inventer le calcul intégral aux | différentielles partielles, dont il se servait dès 1744» 1 pour la célèbre question des cordes vibrantes '.

(i) Joseph Bertrand. D'Alembert, Paris, 1889.

[•1) L éfiuation à laquelle on arrive est -5— ■ = a -r— r. 11 en trouva l'inté-

trrale générale y = /^fx -{- at) -\- f^ix — at), f^ et /*, désignant deux fondions arbitraires.

i8o ///S TOI HE DES MATIIÉMATIQUES

Dans les huit volumes de ses Opuscules mathématiques il aborda de nombreux sujets soit de Science pure, soit d'Astronomie. Nous écartons les seconds et nous ne pouvons dire qu'un mot des premiers. On y voit les rudiments du calcul des quantités imaginaires, dont les géomètres ne surent tirer parti que bien plus tard, des perfectionnements sur divers points d'Optique, sur la Théorie des probabilités et sur laMéc^anique céleste. Enfin son influence sur la philosophie des Mathématiques fut des plus heureuses. Il rédigea le discours préliminaire et beaucoup d'articles de Géométrie dans l'Eucyclopédie qui se remarquent par leur discussion serrée et leur grande netteté.

Parmi les autres savants de cette époque accordons une mention toute spéciale à Jkan-Hemu Lambert, qui naquit à Mulhouse en 1738, mais passa la plus grande partie de sa vie en Allemagne. Ainsi que (rAlembert,ce mathématicien a fait des découvertes importantes. Il introduisit en Trigonométrie les fonctions hyperboliques et démontra le premier d'une façon rigoureuse que -est irrationnel (ijoi). On rencontre dans sa Perspective (1709) plusieurs propositions se rattachant à la théorie des transversales et son Traité des comètes renferme plusieurs propriétés des coniques, en particulier la proposition suivante qui conduisit l'astronome Olbers à la découverte de Pallas. Lorsque dans deux ellipses possédant le même axe on prend deux cordes égales, et qu'en outre les sommes des rayons vecteurs aboutissant à leurs extrémités sont aussi identiques, les secteurs limités par ces rayons vecteurs et les arcs d'ellipses, sont entre eux (!omme les racines carrées des paramètres. En appliquant ce théorème aux orbites planétaires, et en rem- [)laçant les secteurs par les temps ', il parvient à une formule très simple souvent usitée en astronomie. La

(1) Ce (|iii peut se faire. Newton «yniil élahli que le temps est proportionnel à la surface du secteur décrit, divisée pnr la racine carrée du paranièlrc.

U'ALKMBERT l8i

notion de « travail » et de « force vive », dont il démontra l'iin|)oiianee^„a été également introduite |)ar lui en Mécanique.

Enfin, indépendamment de recdierches ori<rinales sur rOptique et l'Astronomie, il a ébauché dans ses OljsefVftilons (/na/ijti(/iies (1771) la théorie des fonctions, et aplani les voies à F^agrange. Certes il n'a pas rendu à la Sc^ience des services comparables à cviw des Leibniz et des Newton, mais la profondeur de ses vues et le talent qu'il déploya dans tous ses travaux en adaptant des nu'thodes appropriées à chaque problème, sulliront toujours à le distinguer.

Ijien loin derrière lui, nous pla(!erons la mathématicienne milanaise Mahie Agnesi, dont les Instiluzioni analiticlie (174^) n'étaient cependant pas sans valeur*, puisqu'ils eurent les honneurs de traductions française et anglaise. Elle y signale en particulier une courbe connue de|)uis sous le nom de cubique d'Agnesi -.

L'algébrisle Etienne Bezout a joui longtemps d'une grande po[)ularité en France, à cause de son Cours de MatJicnidtiques^ dont la première édition date de 1770, et dans lecjuel plusieurs générations apprirent les éléments de la science. Cependant sa Théorie générale des équations [lyjg) est un livre qui mérite plus d'attention. 11 y enseigne la méthode d'élimination dite des coedicients indéterminés, le calcul des détermi- 1 nants esquissé dès 1771 par Vandermonde et les moyens ' de réduire au minimum le nombre des équations d'une (jueslion donnée. De son contemporain JaC(>i"es Coi'sin, qui professa au collège de France et mourut sénateur en 1800, nous retiendrons seulement les Leçons de Calcul différentiel et intégral [lyy 2) où se rencontrent

(1) Voir pour les détails relutifH û la vie et aux travaux de cette savante, la notice que nous lui avons consacrée dans le Pt>/iutar Science MoiUlily (New-York), t. 'lî, juillet i8«j8.

(a) Agnesi avait appelé cette courbe l'ersiera. Consulter ù ce sujet un article de M. Gino Lokia, dans la liibliutheca mathcmatica. Stockholm. Nou- Telle série, 1897, n» a.

i82 HISTOIRE DES MATIIÉMAriQUES

plusieurs simplifications relatives aux procédés d'intégration.

Quant au marquis de Gondorcet, la Philosophie plus que la Mathématique, a le droit de le récdamer. Toutefois son mémoire sur les Séries récurrentes^ et son ouvrage sur V Application de l'Analyse à ht probabilité des décisio/is rendues à la pluralité des ce)/. r, dénotent des idées originales mais peut-être plus brillantes que solides. Le dernier n'en avait pas moins ouvert un champ intéressant à la doctrine du hasard, champ que le suisse Trembley devait quelque peu mdtiver. ^lais ses travaux sur les équations dillerentielles sont oubliés depuis longtemps. Il en est de même du Calcul des dérivations d'AiiBOGAST, qui voulait supplanter l'analyse infinitésimale. Les résultats obtenus par l'auteur sont parfois curieux, mais les signes qu'il emploie sont nouveaux et compliqués, aussi rendent-ils dillicnle l'intelligence de son traité.