CHAPITRE XVII

Travaux de Lagrange. — Invention de la Géométrie descriptive par Monge (1800). — Œuvres de Laplace et de Legendre.

Génial créateur de méthodes analytiques devenues classiques aujourd'hui, Joseph-Louis Lagrange eut des vues profondes dans tous les domaines de la science qu'il a embrassés. Son style est clair, sa marche assurée. Dans son œuvre, pas de détours, pas d'artifices de calcul comme on en voit chez Euler. Combiner ingénieusement les équations fondamentales d'un problème , en déduire des résultats inespérés, en dévoiler la fécondité : voilà son but. A Lagrange les voies larges, spacieuses, où l'on circule aisément, où Ton avance sans fatigue ; à Euler les routes escarpées, les chemins semés d'obstacles, que l'habileté et le courage du voyageur doivent surmonter.

Cet illustre mathématicien naquit à Turin le 25 janvier 1736. Il descendait d'une ancienne famille de Touraine alliée à celle de Descartes. Son père, bien que ruiné par des spéculations malheureuses, lui fit donner une éducation soignée, et à dix-huit ans nous le trouvons professeur de Mathématiques à l'Ecole Royale d'Artillerie de sa ville natale. Ses premiers travaux datent de cette époque. Ils roulent sur la théorie des séries récurrentes, et sur le calcul des variations. Ce dernier avait principalement pour but de remplacer d'une façon avan-

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tageuse la inélhode différenlielle, dans les questions de maxima et de inininia d'intégrales. De plus, l'auteur en montre la nécessité dans la résolution des cas ardus où, d'après la nature du problème, les limites de l'intégrale sont elles-mêmes inconnues.

L'Académie des Sciences de Paris ayant proposé \ comme sujet de prix la théorie de la libration de la Lune, j il se mit sur les rangs*. Il s'agissait de trouver une explication de ce l'ait d'observation que la Lune, sauf d'insensibles variations, tourne toujours la même face vers la Terre. La^ran^ifc surmonta les difficultés du calcul et constata la justesse des vues théoriques émises par Newton à ce sujet. Son mémoire fut couronné. Ce succès encouragea le même corps savant à proposer une . question encore plus aride : la théorie des quatre satelj lites de Jupiter. Quelques années auparavant Glairaut, Euler et d'Alembert avaient donné une solution dans l'hypothèse oii le Soleil, la Terre et la Lune sont considérés comme agissant seuls. Mais ici il fallait examiner Faction de six corps : le Soleil, Jupiter et ses quatre satellites. Lagrange malgré son génie ne parvint à franchir qu'une partie des ol^stacles. Néanmoins le problème avait fait un grand pas. Laplace, vingt-quatre ans plus tard, devait forcer les derniers retranchements.

En 1766, il (h^nna la solution du proI)lème adressé par Feranat comme défi èi plusieurs mathématiciens anglais, à savoir : un nombre entier non carré étant donné, déterminer un nombre entier et carré tel que le produit des deux nombres ])lus i soit un carré. Wallis l'avait résolu à force de tâtonnements successifs, mais Lagrange en s'y attaquant recula les bornes du sujet et formula le principe d'une solution complète de l'équation indéterminée du second degré à (Unix varial)les.

Puis, abandonnant ces travaux pour quelque temps, il

(1) Maximiml.n Marik. Iliatoire des Sciences mathématiques et physiques^ \. IX, Paris, i8««.

Fig. JtG. — Poilniil de Lachanok ( i^JO- i8i3.) (D'après lu gravure anglaise de Rob. Harl).

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voulut rompre la luonotonif^ de la vie (ju'il menait à Turin en venant visiter l^aiis ou plutôt Condoreel, d'Alembert el Nalkjtr"aVéc lesquels il entretenait une active rorresponclance. Son séjour dans la Capitale l'ut d'ailleurs d'assez courte durée, car Frédéric! H l'appela pour remplacer Euler à la tête de l'Académie de Berlin. Le 6 novembre 1766, le nouveau directeur do la classe j)hysico-mathémati([ue était solennellement reçu par les mend)res de cette Société savante, et il conserva ses fonctions jusqu'en 1787.

Pendant les vin^^t années de son existence à Berlin, Lagrange publia d'importantes recherches. Enumérons les principales.

Dans son mémoire Sur la figure des colonnes, il montra qu'au conoïde, — ayant sa plus grande largeur vers le tiers de sa hauteur et allant en diminuant vers les deux extrémités, — adopté par les architectes, il est préférable de choisir le cylindre, offrant le « maximum maximorum w de résistance '.

Son traité sur la Percussion des fluides a pour but de déterminer la résultante des pressions normales qu'exerce sur un plan fixe une veine liquide tombant perpendiculairement sur lui. Il conclut de la façon cijointe. Dans le cas du choc direct et si le plan est assez large pour que toutes les particules du fluide soient forcées d'en suivre la direction en le quittant, l'action contre le plan est égale au poids d'une colonne du fluide de la même grosseur que la veine et d'une longueur double de celle d'où un corps pesant devrait tomber pour acquérir la vitesse du liquide.

Dans ses travaux Sur la résolution des équations numériques * on rencontre la démonstration de ce théorème : toute racine in(!ommensurable d'une équa- \ tion du second degré à coefficients entiers, dévelop- i

(•) Miscellanea Taurinen.iia, t. V (1770-73) ; Hœff.r. Histoire des Matluniatiqttes, 3« édit. Paris, i88(».

(•i) Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin, t. XXill el XXIV, i7(i9-70.

i88 IIISTOIHE DES M AT II É M. in QUE S

péc on rra('tioii conliiuM», donne naissance à un quotient j)ério(li(jue. Euler avait l)ien ol)servé avant Lagran^e que la .racûne carrée d'un nombre entier se réduit toujours en une fraction périodique, ce (|ui est \\n cas particulier du précédent. D'autre [)art, dans wna note il donna un principe aisé pour réduire les équations en suites infinies. Ce procédé s'a[)pli(|ue également aux équaticins transcendantes renfermant des logarithmes et des arcs de cercle.

La Théorie des nombres Fattira aussi. Dans cet ordre d'idées, il démontra la pro})osition suivante que Bachet de Méziriac; avait découverte. Tout nombre^ entier non carré est toujours décomposable en deux, trois ou quatre carrés entiers. 11 s'attaqua encore à ce théorème dû à AVaring. Si il est un noml)re premier, le produit I. 2. 3. 4--- ('? — 0 4" ' ^^^ toujours un multiple de n. Enfin dans divers mémoires publiés de 1773 à 1770, il parvint à plusieurs résultats nouveaux en arithmétique.

Vers ce tem[)s également, il fournit \\\w théorie complète et très originale pour calculer les variations séculaires des éléments d'une planète. H avait eu dans cette direction de nombreux prédécesseurs, mais il considéra le problème à \\\\ point de vue beaucoup plus général. Au lieu de combiner comme eux les or])ites i\e\\\. à deux, il les envisagea dans leur ensemble et il tomba sur l'équation intégrale résolvant complètcMuent la (juestion.

Mais l'œuvre capitale de Lagrange est sa Mécanique ((nalylique^ composée aUrs cpi'il était à Berlin mais imprimée à Paris. H déduisait tout son livre du principe de d'Alemberl, combiné avec celui des vitesses virtuelles, qui fournit les moyens de l'utiliser. L'élégance d'exposition de cet ouvrage est assez grande pour que sir\\'illiam llowan llamilton Tait considéré comme « uno espèce de poème scientifique ' ».

(i) « A kind «»/* avicntific poem , » d'après Fi.orian Cajori. A lliitlory oj Mathrmaticn. New-York, 1895.

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La^range «^ônrralisait le throrrinc de son (IcvaiicîtM', t'I on donnait la dénionslralion. Sa niélliodc consistait, (Ml soniiueT-^è-Teifleriner toutes les conditions d'équilihre i\\\\\ système matériel dans celle-ci : la somme des |)roduits de toutes les fontes qui y sont appliquées multipliées par les déplacements de leurs points (rap|)lications respectifs est nulle, pourvu que ces translations ne soient pas incompatibles avec les liaisons du systénu^ considéré. Mettre en équation n'im|)()rte qiud problème de Dynami(|ue devenait alors chose aisée. Il sullisait d'égaler à zéro la somni(^ des moments virtuels des forces appliquées à l'ensemble, et des forces égales et contraires à celles qui déplaceraient séparément les divers points du système s'ils se mouvaient efre<!tivement.

Toutes ces remarquables découvertes avaient mis Lagrange très en relief, et comme à la mort de Frédéric il avait quitté Berlin, Louis XVI l'appela à Paris et le logea au Louvre. Plus heureux que Bailly, Lavoisier ou Coiulorcet, l'orage révolutionnaire l'épargna. La Convention le nomma même président de la commission chargée d'établir le nouveau système des poids et mesures. In décret de la Constituante lui maintint sa pension, et le Comité de Salut Public le dispensa d'obéir au décret qui exilait tous les étrangers. L'Empire lui continua les faveurs de la Royauté et de la République, et quand il mourut, le lo avril i8ii5, il était comte, sénateur, membre de l'Institut et grand-croix de la Légion d'honneur.

Son enseignement à l'Ecole Polytechnique où il avait été appelé dès la fondation, fut l'origine de sa Théorie des fonctions analijtiques (1797), qui couronna dignement sa carrière. Son i)ut était de substituer au calcul différentiel un ensemble de propositions basées sur le développement des fonctions algébriques en série. La première partie est consacrée au théorème de Taylor et h ses conséquences théoriques, et la dernière à son

emploi en Mécanique. Les Leçons sur le calcul des fondions^ l^rofessées en 1799 et publiées deux ans après, lui servent (le commentaire et de supplément. I La Géométrie était depuis longtemps stationnaire ; I mais nous allons la voir briller à nouveau. Son his- I toire, peut-on dire, comprend trois périodes: sa créai tion par les Grecs et ses développements successifs '■' jus((u'à la fin du moyen âge, puis la période de transformation avec Descartes et Fermât, enfin son évolution moderne, qui date des recherches de Pascal et Desargues sur les sections coniques. L'abstra(!tion et la généralité caractérisent Tesprit de cette phase de son renouvellement. Monge et Garnot en établirent définitivement les assises, au début du xix*' siècle, sur des méthodes aussi générales que fécondes. Gettc continuation de l'Analyse géométrique des Anciens, tout en ayant le même objectif, en différait notablement à cause de Tuniformité de ses conceptions. Ses principes applicables à tous les cas remplaçaient avantageusement les problèmes particuliers et sans liaison entre eux, qui formaient uniquement la Science anticjue.

Gaspard Moxge, le génial auteur de la Géométrie descriptive^ vit le jour à Beaune, en 1746. Son père était un marchand ambulant, ([ui, en s'imposant de multiples privations, put placer son fils chez les Oratoriens de sa ville natale '. Intelligent, avide de s'instruire, celuici s'y dévoila sujet délite; puis il entra à l'Ecole de Mézières où se formaient les officiers du Génie. Peu après, ayant été remarqué par ses maîtres, on le nomma répétiteur du cours qu'y professait Bossut, un savant qui, entre autres livres, a laissé un Cours complet de Mathémati(|ues(lont le succès fut grand à ré|)0([ue. Dès 1768, il songeait à rédiger Touvrage qui devait établir sa réputation ; mais les autorités lui interdirent de publier ses méthodes, car il m» fallait pas « aider les

) FRA.Nrois Araco. Œtirres, t. H, Paris, i85.i.

Portrait de Gaspard Monge, inventeur de la Geotnctne tlcsciipttie.

(D'nprès le médaillon de David d'Angers.)

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rtran«j^ors à dcvonir hahilcs dans l'art des (-onstruclions ». Elles no dt'vaioiit i^tn» dividgiiéos qireii 1800. C'était d'un patriotisme mesquin. Monge sut se venger en grand homme, de ce mutisme forcé. II traita les questions géométri(|ues, qu'il avait résolues |)ar les projections à l'aide de l'Analyse transcendante. Ce fut l'objet de ses premières et très remarquables productions. Celles-ci lui ouvrirent les portes de l'Académie des Sciences en 1780, et lui valurent, trois ans plus tard, la place d'examinateur des élèves de la Marine.

La Révolution le j)orta vers la carrière politique. Le 10 août 179-^, le lils du (!oI[)orteur bourguignon devenait ministre. Toutefois, il conserva peu de temps son portefeuille. Bien que décrété d'accusation, il échappa par la fuite au Tribunal révolutionnaire, devint membre de l'Institut dès sa fondation (1795) et avec Berthollet il recruta les savants chargés d'accompagner l'expédition d'Egypte où lui-même suivit Bonaparte. Revenu en France, il entra au Sénat, et il reçut peu après le titre de comte de Péluse. Mais revenons à son (LMivre maîtresse.

L'auteur a soin d'indiquer au début les deux objectifs de la (léomctrie (iescriptii'c : « Le premier est de donner les méthodes pour représenter sur une feuille de dessin (|ui n'a que deux dimensions, savoir : longueur et largeur, tous les corps de la nature qui en ont trois, longueur, largeur et profondeur, |)ourvu néanmoins que ces corps puissent être délinis rigoiu-eusement.

« Le second objet, est declonner la manière de reconnaître, d'après une description exac^te, les formes des corps, et d'en déduire toutes les vérités qui résultent et de leur forme et de leurs positions respe(;tives...

< Mais aussi, de même qu'en Analyse, lorsqu'un problème est mis en équation, il existe des procédés pour traiter ces équations, et pour en déduire les valeurs de chaque incronniu^ de menu» aussi, dans la Géométrie descriptive, il existe des méthodes générales pour cons-

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194 HISTOIRE DES MA TIIÉMA TIQ UES

Iruiro loul v.o qui résulte de la forme et de la position respective des eorps.

« Ce n'est pas sans objet que nous comparons ici la Géométrie descriptive àTAlgèbre ; ces deux sciences ont les rapports les plus intimes. 11 n'y a au(;une construction de Géométrie descriptive qui ne puisse être traduite en Analyse, et lorsque les questions ne comportent pas plus de trois inconnues, chaque opération peut être regardée comme Técriture d'un spectacle en Géométrie. Il serait à désirer que ces deux sciences fussent cultivées ensemble : la Géométrie descriptive porterait dans les opérations analytiques les plus compliquées l'évidence qui est son caractère, et à son tour l'Analyse porterait dans la Géométrie la généralité qui lui est propre ^ »

Nous n'analyserons pas c^e traité, car il renferme les matières enseignées aujourd'hui dans les écoles. Son ordre ne difï'ère même pas essentiellement de celui que suivent les professeurs de mathématiques, mais il présente une particularité intéressante bien qu'on la passe souvent sous silence. L'auteur indique toujours la relation ([ui unit les opérations de la (Géométrie descriptive à celles correspondantes de l'Algèbre.

La Mathématique doit encore à Monge, outre de nombreux mémoires dispersés dans les recueils scienti(i([ues, iXtnx-s. ouvrages importants : Application de l'Algèbre à la Géométrie (i8o5) et de V Analyse à la Géométrie (1807) ([ui mirent le sceau à sa gloire. Ses recherches ont apporté beaucoup de lumière dans î le sujet si ardu de l'intégration des équations aux différentielles partielles. Avant lui on n'était guère iixé sur le degré d'incKHermination qui doit peser ! sur l'intéiifrale m'^néraU' d'une relation de la sorte.

j Monge édaircit beaucoup ce point épineux sur lequel d'Alembert et Euler avaient (U'jà longuement discuté.

(i) Monge. Geomcti ic (h'scn'jjtii'c, Puris, un Vil (1800).

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