ARITHMÉTIQUE S U 1> É R I E L R E

La Mathématique est la reine des Sciences, et l'Arithmétique est la reine des Mathématiques, disait Gauss. (Commençons donc cette rapide esquisse par

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la Thcorie dos noinhres, si délaissée des époques précédentes et qui revint en faveur au conmiencenient de notre siècle, grâce à ce savant.

Ciiarles-Frkdéhic Gauss naquit à Brunswick, le \\o avril 1777, et fit preuve dès son enCanc^e des plus rares aptitudes pour le c^ahud mental. Aussi Hartels qui était alors simple surveillant à Técole où le jeune j)rodige faisait son éducation, le signala-t-il au duc (Iharles-Guillaume. Ce prince s'intéressa à lui, le })la(;a à ses frais au gymnase de la ville, et une fois ses études classiques achevées l'envoya à l'Université de Gottingue. La chaire mathématique était occupée par Kiestner, (h)nt renseignement n'enflamma guère notre étudiant (|ui, dès cette époque, se livra à des rechendies originales. 11 découvrit entre autres une méthode pour inscrire un polygone régulier. Ce succès l'encouragea à poursuivre ses spéculations sur la haute Arithmétique.

En 1798, il se rendit à IIelmsta?dt oii il fut bien ai;cueillipar Pfafl'et, après avoir consulté les bibliothèques de l'endroit, il retourna à Brunswick achever son fameux 'ouvrage : Dlsqulsil loues arlthmelica\ qui parui en 1801 et qui marque une nouvelle ère pour la théorie des nombres. Ce livre étonne par la foule (k^s théorèmes et par la profondeur des résultats. Parmi les découvertes les plus intéressantes qu'il renferme, notons le ' caractère d'abaissement pour les équations à deux termes. Si le degré d'une équation de ce genre est, en efïet, (exprimé par un nombre enli(M% on peut la (h^composer en d'autres dont h^s exposants soit respectivement les facteurs premiers (hi nombre, qui précède d'une unité ce nombre premier.

L'illustre auteur indiqua aussi un nouveau procé(K'' pour trouver les |)r()priétés (h'S nombres par la consi- (h'i'alioM (h^ la congrucncc ou rehilion i^xislant entre tous les nond)res (h)nnant h» ménje reste loi's(|u'on les divise [)ar un ternu' identique. Puis en passant (h*s congruences du premier ordre à celles (hi secontl, il

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ranu'iia à la théorie de ces expressions toute l'Analyse inilélerniinée. Ce ouvrage fut reçu avec enthousiasme dans le monde mathématique. Puis Gauss s'applicpia à d'autres objets qui répandirent son nom dans le ^rand |)id)li('. Piazzi venait de déctouvrir à Palerme, en 1801, la première planète télescopique, Gérés. Aussitôt le savant ih' Bruns\vi«"k s'em|)ressa de eahîuler ses éléments à l'aide de méthodes ingénieuses qui permirent de la retrouver quand on la vit reparaître après son passage au périhélie. L*année suivante, Olbers découvrit à son tour Pallas, et Gauss consacra également de longues veilles à l'étude de ses perturbations. Ceci lui valut d'être nommé directeur de l'Observatoire que le gouvernement hanovrien venait de fonder à Gottingue (1807). Dès lors sa vie s'écoula calme et paisible sans particularités bien saillantes. Seule, l'édition de ses travaux en marqua les étapes.

Prenant pour point de départ la loi de la gravitation universelle, le sagace astronome développa, dans sa Tlieoria motus corporum cœlestium (1809), des moyens simples pour calculer plus exactement toutes les orbites lies coçps de notre système solaire, sans en excepter les comètes dont la marche avait jusque-là déjoué l'attention des observateurs. Il y applique cette idée réformatrice, — la méthode des moindres carrés, — si usitée aujourd'hui par les astronomes ou les ingénieurs lors- (ju'ils ont à déduire des quantités inconnues, d'autres déterminées par l'expérience. En passant sous silence ses remarquables recherches d'Astronomie pratique et de Physique poursuivies sans relâche jusqu'à sa mort (i855), signalons encore un de ses plus importants mémoires Disquisitiones circa superficies curvas (1827) où se ren(!onlre son célèbre théorème : Quelle que soit ' la déformation subie par une surface flexible et inextensible, la somme de ses courbures principales en chaque point reste toujours identique.

Si Gauss, par la date de ses publications, appartient à la

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période contemporaine, Tuniversalité de son œuvre doit le faire classer plutôt parmi les mathématiciens de la fin du xvm" siè(île, à cîoté des Euler, des Lagrange et des d'Aleiiiberl. La spécialisation^ cette caractéristique de notre temps, n'apparaît, en effet, dans aucun de ses Mémoires. « Nous aurons un tableau du développement des Mathématiques, si nous imaginons une (thaîne de montagnes élevées représentant les hommes du xviii*' siècle, terminée par une cime imposante — Gauss, — puis une large et riche contrée, formée de collines moins élevées, mais remplie de nouveaux éléments de vie \ ))

Un autre savant allemand, Jacobi, que nous retrouverons lorsque nous nous occuperons des fonctions, poursuivit aussi d'intéressants travaux sur la haute Arithmétique, entre autres sur la théorie des résidus. Ce sujet fut repris par son compatriote Le.ielxe-1)iuiciilet, né à Diiren en i8o5. Après avoir fait son éducation à Bonn, puis à (Pologne, celui-ci vint à Paris en i8:>2, attiré par la célébrité des matliématiciens français de Tépoque, les Laplace, les (^aucdiy et les Legendre. Trois ans ])lus tard il présentait à l'Académie des Sciences un premier mémoire sur l'impossiliilité de certaines équations ïndvterminées du 5*^ (h'gré. Puis il retourna en Allemagne, lut nommé, en i8:>.j, professeur à Breslau, ensuite à Berlin (1831)5 (diaire (ju'il (|uitla seulement en i855 ])our remplacîcr Gauss à Gôttingue. Pendant ses années de professorat, il s'efforça dans une série d'études (U^ sim-

(i) Félix Kli:in. Con/'f/cnccs sur les Mat/n'/natit/ucs, tnuluction L. Lavgel. Paris, Librairiu Horiuanii, i8()8. Pour ce chapitro. nous ferons plusieurs einj)runls à cet ouvrage. Voiei, d'autre j)art. les principales sources que MOUS avons ulilis«'«es, et que nous citons ici une fois pour toutes ; Mkrriman et WoonwAlU). llifrltcr Matiu-mattcs, ch. Xl. /liston/ of nuxlcrn Mut/irmatiis, par David Elgkm: Smith, New-York, i8()<): Cajoiu. Uistort/ of Mathematics, Xew-York, iS^î ; IlousK Hall. A short accounl of tlic llistonj of Mathemaliis, Londres, i888; articles de la liibliotheia luatlienuitica de .M. EnkstrôM. Stockholm 1887 *'*• suiv. ; collection «lu Zvitschrift fitr Mtithematik itmi Physih, Ilisloriscit-literarische AbtlivUttii^ i\\v\^\; par .M. -MouiTZ Cantor. Leijjzi^r, 187.5 et suiv. et surtout lexcellent livre de M. Gi.no Loria, Il passato ed il présente ilelle principali teorie geometriche, a* édil. Torino, 1896.

ARITUMETiqUE SUPÉRIEi'RE iii

plilirr les notations souvent ptni intelligibles de (iaiiss, et dans ses Leçons sur la théorie des nombres^ rédi<^ées |)ar Dedekiiul, il arriva, grâce à une lucidité parfaite, à rendre accessibles aux débutants et su<^<^es!irs aux lecteurs plus avancés, les priiu!ipes ardus de cette partie de la Science.

Parmi ses continuateurs, outre Cauchy dont nous parlons ci-après afin d'éviter des redites, nous citerons les suivants. Tchkiiyciiki-f, professeur à l'Université de Saint-Pétersbourg, dans son mémoire Sur les nombres premiers (i85o}, fixa les limites entre lescjuelles doit être I renfermée la somme des logaritlimes des N nond)res \ premiers, inférieurs à un nombre donné x. Dernièrement PoiNCAUK et Hadamard ont fait de ce sujet particulier Tobjet de savants mémoires.

L'Anglais Stkpiikn Smith s'occupa aussi d'Arithmologie. Né à Londres en 1826, il acheva ses études au Halliol Collège d'Oxford, devint en 1861 professeur de (jéométrie dans celte dernière ville où il résida juscprà sa mort survenue en 1882. Outre des rapports hisloricpies communiqués annuellement à l'Association Britannique de 1859 à i865, il a eflectué des recherches originales sur la théorie des congruences et la théorie des formes. J En particulier, il remarqua que la représentation des nombres [)ar des formes quadrati(|ues simples peut se déduire d'une méthode générale dont il formula les principes. Les théorèmes relatifs aux cas de' 5 carrés avaient été donnés par Eisknsteix de Berlin, ce génie ravi trop tôt à la science. Smith compléta ses énoncées et { ajouta les théorèmes se rapportant à la détîomposition | en 7 carrés. Ceux de 2, 4 et 5 avaient été obtenus au moyen des fonctions ellipli(|ues et Smith parvint à la limite extrême de ces groupes, celle de 8 carrés. !

Edouard Kummer, qui mourut, en 1893, professeur à l'Académie de Berlin, aborda également la « seule bran<!he |)ure des mathématiques non souillée par le contact des applications », comme il appelait l'Arithmé-

aij HISTOIRE DES MATHEMATIQUES

tique supérieure. Ses iiiénioires sur les nombres complexes formés avec les racines de Tunilé et sa notion ori<^inale des l'ac^teurs « idéaux » le placent à coté de Dirichlet, sans compter ses autres travaux algé- ])riques ou géométricpies sur les intégrales définies, l'évaluation des séries lentement convergentes, les systèmes de rayons re<;tilignes et la réfra(;tion atmosphérique.

KRONECKEwet Dedeki>'d portèrent leur attention sur les

nombres transcendants et irrationnels, mais surtout

IIeumite, le doyen acîtuel des géomètres français, éclaira

bien des points obscurs de l'édifice laborieusement

I construit par Gauss. Sa généralisation des fractions

I continues, sa méthode féconde pour démontrer Timpos-

sibilité de la quadrature du cercle et tant d'autres idées,

! semées au cours d'écrits que nous analyserons plus loin,

Font rendu célèbre. Les tentatives sur la réduction des

formes ont été enfin poussées très avant par Camille

Jordan.

On voit par ce qui précède combien la conception du noinbrc s'est étendue et modifiée à travers les Ages. Au temps (kî Diophante, on ne (considérait que les nombres positifs, entiers ou fractionnaires. 11 faut arriver jusqu'à Dcîscartes pour voir s'introduire la notion de nombre négatif et jus([u'au (commencement de notre siècle celle (Uîs imaginaires était inconnue ; tandis que de nos jours la continuité des nombres réels est regardée comme ac(juis(\ On Tenvisage même sous différents aspe(cts.