ANALYSE ET THEOUIE DES FONCTIONS

L'homme (|ui^ au cours ch^ la période contemporaine, a le plus (-ontribué à l'avancement de l'Analyse, est sans contredit Au(iUSTiN-LoLis Caucuy. Ce mathématicien naquit à Paris en 17H9, (^l entra à l'Ecole Polytechni([ue en i8o5. Il en sortit (Uins les Ponts et Chaussées. Employé d'abord (comme ingénieur aux travaux (bi port de

CACrCHY,

[sAjLuyuMMf-jUmÀ/i.) Kîg. 3o. — (D'npn'8 une lithographie de IJoilly. iSJi.)

ANALrSE ET THÉORIE DES FONCTIOSS ai5

Cherbourg (1810), il ne tarda pas à revenir à Paris où, sur les conseils «le Laplaee, il renonça à la carrière atlniiiiistrative, pour se consacrer exclusivement à la Science pure. Il n'eut pas du reste à le regretter, puisque TAcadéniie l'admit dans son sein en 1816, et qu'il fut nommé professeur de Mécanique à l'Ecole Polytechnique. Mais à l'avènement de Louis-Philippe il dut quitter sa chaire pour refus de serment. Gauchy se retira alors à Turin, puis à Prague où de i833 à i838 il enseigna les sciences au duc de Bordeaux. De retour à Paris, vers cette époque, il [)rofessa dans plusieurs établissements religieux, notamment chez les Jésuites'. Enfin le gouvernement de 1848 le dédommagea en lui donnant la chairç d'Astronomie mathématique à la Sorbonne, chaire qu'il occupa jusqu'à sa mort (25 mai i85-). Tous les domaines de la mathématique lui doivent d'utiles contributions : l'Arithmétique comme la Géométrie, l'Analyse aussi bien que l'Algèbre, rOptique comme la Mécanique céleste. Toutefois, certaines de ses recherches priment les autres. Il a fondé la théorie des résidus, et a pu entreprendre, grâce à elle, l'explication des périodes des intégrales; il a porté ses efforts sur la série de Taylor, dont il a tenté de déterminer les conditions de convergence. Il a trouvé, le premier, un procédé général pour l'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre à une seule inconnue. Avant lui, Jeax-Frédéhic Pfaff de (iottingue, s'était efforcé de résoudre le problème, mais sa méthode, pénible du reste, reposait sur des calculs compliqués.

Gauchy arriva, d'autre part, à déterminer immédiatement les valeurs générales des variables principales

;^i) Maximiliex Marik. Histoire des Sciences mat/ieniaii</ues et physiques, t. XII, Paris, 1888. Si nous einpruiilons quelques renseignements biographiques ù cet ouvrage, nous n'aurions garde d'accueillir les appréciations oxtraordinairement partiales et injustes émises par Marie sur Gauchy, son ennemi personnel du reste.

2i6 HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES

qui vérifient un système créquations linéaires à coefficients constants, en fonction de la variable indépendante et des valeurs initiales des inconnues principales et de leurs dérivées, sans établir au(!une distincttion pour le cas où Téquation auxiliaire possède des ra(;ines égales.

Navier avait entrepris un des premiers d'analyser les lois élémentaires de l'équilibre et du mouvement des systèmes de corps solides. Il était arrivé aux équations différentielles de cette question de Mécanique. Lagrange et Poisson s'en étaient inquiétés également. C'auchy voulut généraliser le prol3lème, et le rendre indépendant des conditions particulières auxquelles on l'avait primitivement assujetti : l'introduction dvx principe de continuité des déplacements géométriques lui suffit pour trouver une marche des plus heureuses.

L'illustre analyste formula aussi la théorie de l'équilibre et du mouvement des tiges et des plaques élastiques, sacliant déduire des formules plusieurs considérations physiques que Texpérience vérifia par la suite.

Fresnel venait de fournir une explication presque complète des divers phénomènes lumineux, en partant de quelques données simples fournies par l'observation ; mais il restait à coordonner les théories partielles en un (!orps de doctrine unique, émanation directe des lois fondamentales de la Mécanique. Le génie de Gauchy mena cette tâche délicate à bonne fin. Il parvint aux équations générales de l'Optique en soumettant à l'Analyse les mouvements ((ui peuvent coexister dans un double système de molécuiles (celles des masses pesantes et (telles de l'éther) se pénétrant mutuellement. Il eut encore recours à son |)riru*ipe de continuité qu'il énonce ainsi, en la circonstance : les parli(udes d'éther, intérieures ou extérieures, forment un système uni(|ue et continu, et les déplacements moléculaires comme leurs dérivées partielles varient par degrés insensibles lorsqu'on passe d'un milieu à un autre.

AyADSK ET THÉORIE DES FONCTIOSS xi-]

Ajoutons i\\\'\\ onrichil la !h('oi*i<» drs détenniiKinlsA éhaiN'héc par VancUM'inoïKU» cl i\\\\*\\ (léoiiiétrie éléiiieiitairo il a oxécirtt* ïin reinar(|iial)le travail sur les polyè- | (1res. Cette esquisse sonuuaire n'a pu rendre qiu» l)ien imparfaitement l'énorme activité de ce savant, attestée par plus de joo mémoires insérés dans les pul)iieations académiques ou autres, et que le (iouvernemenl français est en train d(» réunir et de rééditer. Beaucoup d'entre eux avaient aussi été pui)liés sous le titre : Exercices mathématiques^ sorte de revue (|u'il faisait paraître à intervalles irréguliers. On a souvent ( omparé Cauchy à Gauss. Comme ce dernier, en effet, sans se cantonner dans un coin de la science, il sut créer souvent, et [)erfectionner toujours.

A ce génial algéhriste français, la Norvège a un grand nom à opposer, Nicolas Henri Abel, que ses malheurs autant que ses découvertes ont rendu célèbre. Né le 25 août 1802 àFrindœ où son père était pasteur protestant, il fit son éducation à l'école cathédrale de (Christiania, et prit goût aux Mathématiques dès l'âge de seize ans. Vers cette époque il pensait avoir trouvé la solution de l'équation générale du 5" degré. Fuis en 1820 il mit à jour quelques mémoires d'analyse dont le succès lui valut de voyager pendant deux ans en Allemagne, en France et en Italie aux frais du roi. 11 resta d'abord six mois à Berlin, se liant avec Crelle, se dirigea ensuite vers Milan et Turin, et arriva enfin à Paris. Assez froidement accueilli par les académiciens de la Capitale, il se vit obligé d'actcrépter un modeste emj)loi ()our subvenir à ses besoins. ;M;iis l'excès de travail joint au dépit consuma ses forces, et il s'éteignit le 6 avril 1829, à Froland où séjournaient ses parents. On s'aperçut seulement alors de la perte que venait d'éprouver THumanité. Dans toute rEuro[)e savante ime douloureuse émotion s'empara bientôt des moins prévenus. L'Institut de France dé(;erna à sa vieille mère la moitié d\\ grand prix des Sciences mathématiques, et le (iouvernement

'^i8 HISTOIRE DES MATIIÉ MATIQV ES

liorvôo^ion décida la publication de ses «nivres. Rien n'a manqué à la <)^loire du géomètre après sa mort ; mais tout a manqué à son bonheur pendant sa vie'.

Ses prin(!ipales éludes se rapportent aux é([uations algébriques et aux l'onc^tions elliptiques dont il aperçut la double périodicité. Dans le premier ordre d'idées so,n mémoire Sur une classe d'équafions résolubles algébriquement est un modèle d'élégance, il y démontre entre autres résultats que si toutes les racines d'une équation sont liées entre elles par un rapport rationnel, il sera possible de les déterminer algébri- (juement.

Pour exposer ce qu'on lui doit dans le second genre, remontons un peu en arrière.

Lorscju'on eut trouvé le Calcîul intégral, on jugea d'abord iacile de ramener aux fonctions algébriques et circulaires l'intégration des fonctions différentielles d'une seule variable; mais on se heurta vite à des expressions simples (ju'on ne put intégrer et auxquelles con- (biisaient la rectification des sections coniques, d'où le nom iV intégrales elliptiques donné à ces fonctions transcendan'es nouvelles qu'on s'elforea de réduire à leur forme la plus simple.

Au commencement du xv!!!*" siècle, l'Italien Fagnani ouvrit une voie nouvelle en arrivant à une intégrale

parlicudière de l'équation différentielle servant à la division de l'arc de la lemniscate. Euler fit faire un pas de plus à la question, en découvrant l'intégrale générale d'une équation dilférentielle du premier ordre dont (luujue membre est une transcendante elli[)ti(|ue complète. Lagrange la retrouva par une méthode plus éléuanle, et h* ^^éo mètre anglais Laxhkx, en i755, formula un théorème renuu'(|ual)le au moyen (bupiel il montra (|ue ('ha(|ue arc d(^ l'hyperbole est immédialenu'nt nu!-

(i) LiHlii. Art. Ahel dnns la Itio<riaphie iinitersef/c ancienne et moderne muvolle édition, t. 1. Paris, «84$).

AXALySE ET rilÉORIE DES FONCTIOSS xi^

tifiahlo par doux ares (ruru» dlipso. Puis [.('«(cridn' (*oin|)Osa son grand traité contenant divers porlectionnenienls i ni partants ; enfin Aboi, en 1827, dans une série de mémoires classiques fournit, pour le développement et la multiplication des lrans(!endantes elliptiqiu^s, d'élé- | gantes ex[)ressions correspondant à (-elles en usage pour les fonctions circulaires. Il déduisit toute sa théorie du théorènM* fondamental connu aujourd'hui sous son nom etcommunicjué à TAttadémie des Sciences de Paris en 1825, mais publié seulement en 1841.

Pentlant qu'Abel poursuivait ses profondes recherches, un matiu'malicien allemand, (Iahl Glstav Jacobi, travaillait de son côté dans la même direction. Cet algébriste naquit à Postdam en 1804. Après avoir terminé ses études à l'Université de Berlin où il obtint le grade de docteur en philosophie (1825 ), il devint professeur de mathématiques à Konigsberg, puis voyagea pendant plusieurs années, visitant Gauss àGottingue, Legendre et Poisson à Paris. En 1842 il résida en Italie pour rétablir sa santé ébranlée puis retourna peu de temps après à Berlin. Le gouvernement prussien lui servit alors une pension jusqu'à sa mort (18 février i85i). Ses premiers travaux roulent sur la valeur des intégrales définies et les équations aux différentielles partielles, mais les plus célèbres se rapportent aux fonctions ellipti(|ues. Kpars dans divers nu^moires, ils sont condensés dans ses Fuiidamenta uova Theoriiv fiinclionum ellipiicanint imprimés en 1829. Ils paraissent avoir été établis indépendamment de ceux d'x\!)el ; en tous cas il a inventé les notations qui nous servent actuellement.

Deux de ses compatriotes Gopel et Georg Rosexhain s'oc(!upèrenl également des fonctions abéliennes et des fonc!tions- thêta dont le dernier établit la théorie. L'illustre doyen de nos géomètres, Charles Hermite", l(»s introduisit dans l'enseignement supérieur. Né à Dieuze Meurthe) le 9.5 décembre 1822, «re savant entra à l'Hc^ole Polytechnique en i843, mais n'en sortit dans aucun ser-

vico public afin de pouvoir plus librement se (consacrer à la Malliéniali(|ue. S(»s succh's furent d'ailleurs ass(»z grands pour (pTcMi icS.V) rA(*adéinie des S(;iences Taj)pelàl dans son s(Mn el cpTen 1869 on \v nommât professeur (TAlgèbre supérieure à la Sorbonne. Il sut, par une sagace application des fonctions elliptiques à la théorie des nombres, déduire de nombreuses propositions arithmétiques. Ses études de la transformation, sa résolution de Técpiation i\\\ cincjuième degré, sa démonstration de la nature de la fonction 'modulaire, premier type de toute une classe de transcendantes nouvelles, et tant d'autres recherches qu'il nous est impossible même de citer, l'ont placée au premier rang des mathématiciens de notre temps.

Les fonc-tions elliptiques furent envisagées au point de vue géoniélrique par Bkiinhahd Kiemvnn, né à Breselenz (Hanovre) en \^'.S. Après des études théologiques à Gôttingue, il apprit les Mathématiques avec Gauss, Jacobi et Kisenstein, puis la Physicpie sous Weber. En i85i, il obtint le grade de docteur et remplaça Diri(dilet dans sa chaire (i85ç)\ Peu après il alla demander à l'Italie le rétablissement de sa santé chancelante, mais le climat de Sélasca ne put le guérir et il décéda le 20 juillet 1866. Ses découvertes scientifi((ues remontent aux environs de l'année 1857 et se rapportent à la théorie des fonc'tions algébriques d'une seule variable. Un mémoire de Puiseux sur ce sujet avait transformé l'Analyse en lui donnant de nouvelles bases. Précisant la notion de fonc^tion si obscure jus(|ue-là, ce savant marcha sur les traces (h* Gauchy. En examinant la succession des valcMirs imaginaires, h^s chemins décrits simultanément j)ai* la variabh» <M l(*s racin(»s d'une équation, il aperçut (huis leurs grantles lignes leur nature analytique. Il <lévoila le roledes points criti- (jues (»t l<»s circonstances de l'échange des valeurs initiales d(»s racinc^s (juand la variable revient à son point de départ en décrivant \\\\ contour fermé ; puis il |)our-

AyALÏSE ET TltEORU: DES I u.\L JIU.WS un

suivitles conséquences de ces résultats relalivenienl aux inté<^rales do ditrérentielles algébriques, ce qui Faniena à trouver l'origine d<î la périodit.'ité des fonctions circulaires, elliptiques et transcendantes à plusieurs variables.

\'inrent ensuite les travaux de Uieniann, « accueillis par une admiration unaninu\ comme Févénement le j)lus considérable de notre tcMups * ». Ils reposent sur une itlée leconde, celle des surfaces désig-nées aujourd'hui sous son nom. Elles sont formées de plans superposés, en nombre é<(al au de<^ré d'une équation al^^ébrique et reliés par des lignes de |)assage qu'on obtient en joignant d'une certaine façon les points (;riti({ues. Des développements qu'il en tira découle uiw re[)résentation géométrique devenue entre ses mains et celles de ses successeurs un instrument si puissant.

En énonçant son fameux théorème, Abel avait fait une découverte de premier ordre». Il avait montré qu'une somme d'intégrales à limites arbitraires, de la ménuî fonction algébrique, se représente par un nond)re fixe d'intégrales identiques auxquelles s'ajoute une quantité algébrique et logarithmique. Riemann, en voyant que ce nombre est le genre de la foiu-tion, compléta l'œuvre de son devancier dont la proposition simplifiée revêtit alors sa forme définitive. D'autre part, le profond analyste introduisit la considération féconde de classes de courbes algébriques- : deux courbes aj)|)artiennent à la Uléma classe si elles se correspondent point par point, voulant dire par là que les coordonnées d'un point (|uelconque de la première s'expriment rationnellenuMit en fonction des coordonnées d'un point de la seconde, et réciproquement.

Kahl Weiersthass considéra les fonctions ellij)ti(|ues à un point de vue purement analytique. Son œuvre se

(i) Al'PELL et GoLKSAT. Théorie des foncti<nia a/gebrif/ues. Pn'«face de Ch. Hermite. Paris, 1895.

(a) Picard. Sur la théorie tles surfaces algébritjues, dans la Rci'ue générale des Sciences pures et appliquées, t. V. Paris, 1894.

111 IIISTOIHK DES MATIIKMATIQUES

dislingue doru! l)ien do (udlo de Rieinann. C'est à Ostenleld, en ^VestI)halie, que ce sagace géomètre vit le jour, le 3i octobre iSik A sa sortie du gymnase de Paderborn, il ne se livra j)as tout d'abord aux Mathématiques, il étudia le droit à l'Université de Bonn, et n'aborda la Seience qu'à 23 ans'. Puis, en i84i, il subit son examen d'aptitude au professorat, ee qui lui valut les modestes i'onc^lions d'instituteur à Deulseh- Krone (Prusse Rhénane) où pour développer ses remar- (|uables iacudtés il devait enseigner ré(;riture et la gymnastique à ses élèves. Ce temps d'é[)reuve se termina en 1848. A celte époque, il obtint une chaire au lycée de Braunsberg, et la publication de ses premiers mémoires remonte à son séjour dans cette cité qu'il ne (piitta qu'en i856 pour occuper une chaire à l'Institut industriel de Berlin puis à l'Université de cette ville quelques mois après. L'année suivante, il était élu membre de TAcadémie. Enfin, en 1873, ses collègues le nommèrent recteur magnifique, fonctions qu'il conserva jusqu'à sa mort (19 février 1897). Tous les corps savants du monde se Tétaient associé depuis longtemps. La partie maîtresse de ses recherches est l'établissement d'une théorie générale et définitive des fonctions analytiques. Il montra cju'une fonction entière peut être décomposée en un produit d'un nombre généralement infini de facteurs primaires, chacun de ceux-ci étant le produit d'un facîteur linéaire par une exponentielle d'une certaine forme. Cette méthode le con(Uiisit à l'importante notion du proloiigenient aiialijtique^ considération qui joua par la suite un grand rôle dans les travaux de Félix IvLKiN (a(*tuellement |)rofesseur à (i()ltingu<*) sur les fonctions mocUdaires. \i\\ représtMitant les fonctions par les séries, W'eierstrass remarqua le j)remier que cerlainc^s séries, ordonnées suivant les puissancc^s <*rois-

(1) litu'iie lies qucstionn acientifiquen. Art. tic M. d'Ocagne, a« série, t, XII. liruxclles, 1897.

Fig. 3i. — Portrait de Kawl Weierstrass (181J-1897). (D'après la planche du tome VII di'.s Jc/a Mathematica, Siockholm.)

A.\ tirSK ET THEORIE DES EOyCTIOys

saules tliine variable no peuvent i^tre prolon^^ccN au delà (le leur cercle de convergence, et il l'ut amené à fournir Texeniple d'une fonction continue d'une variable j: n'ayant pas de dérivée. Les ouvrages (rilalplien, de Picard, et le traité plus récent d'Appell et Goursat (1895), en réunissant toutes ces découvertes en corps de doctrine, ont beaucoup contribué »à leur diffusion.

La théorie des fonctions abéliennes attira aussi l'illustre professeur berlinois. L'inversion des intégrales hyperelli[)ti(ïues avait été formulée par Jacobi, et étudiée par Gopel et Rosenhain dans le cas où le polygone sous le radical est du cinquième ou du sixième degré. Par une méthode toute différente, Weierstrass étendit le problème aux intégrales hyperelliptiques de degré quelconque.

Gomme nous Pavons dit plus'haut, dans ses recherches sur les fonations algébriques et leurs intégrales, son point de départ fut différent de celui de Riemann. Il parvint à la notion du genre d'une courbe sans quitter '< le domaine de l'Algèbre, en recherchant le nombre mini- 1 mum des infinis arbitraires qu'une fonction rationnelle 1 des coordonnées d'un point variable de la courbe est j susceptible d'avoir. Du reste, les tendances d'esprit de ces deux grands analystes s'accusent nettement dans ces travaux en quelque sorte parallèles. Weierstrass déduit tout de transformations de calcul qui permettent de parvenir de façon assurée au but cherché. Dans son exposition il paraît se garder des vues d'ensemble, tandis que Riemann se complaît dans les méthodes intuitives qui éclairent d'un jour nouveau le sujet, (juitte à négliger certains détails. Weierstrass s'est encore attaqué à bien d'autres (pieslions. Son grand sou(;i de la rigueur l'a conduit à élucider les principes qui servent de base à l'Analyse, de manière à les mettre à l'abri du doute. Enfin la théorie des surfaces minima lui est redevable d'importants perfectionnements qu'a augmen- | tés encore, dans un des plus remarquables chapitres ^

BoYER. Uist. des Math. i5

de ses Leçons de géoniélrie infinitésiinale^ le doyen actuel de la Faculté des sciences de Paris, Darboux.

Parmi les plus brillants élèves du mathématicien allemand, citons : Mittag-Lkiilkh, de Stockholm, qui dirige le recueil si estimé des AcUi mathematica, et s'occupa de généraliser bien des points de la théorie des fonctions; ScuwARZ, qui développa aussi la doctrine des surlaces niinima et puldia un intéressant travail sur les séries h} pergéonu'; triques, et enfin la mathén^aticienne russe Sophie Kovalkwski, gracieuse figure sur laquelle nous nous arrêterons quol(|ues monuMils.

Cette femme remarquable naquit à Moscou en i85o et non en i853 comme la plupart de ses biograj)hes Pont imprimé par erreur ^ Elle poursuivit ses études scientifiques d'abord à Heidelberg ensuite à Berlin où elle sut conquérir Pestime et Pamitié de Weierstrass. Elle resta sous sa direction pendant quatre années consécutives, et en 1874 TLiiiversité de Gottingue lui décerna sans examen le grade de docteur en Philosophie, sur la production de deux thèses, dont celle Sur la tJiéorie des équations aux différences partielles a une grande valeur. Puis, tout en (continuant ses recherches d'analyse, elle fut nommée en 1884, grâce à Pappui de Mittag-Lelller, professeur à PEcole supérieure de Stockholm où son enseignement obtint un vif succès. Peu après elle remporta le [)rix Bordin (1888), une des des plus hautes distinctions accordées par TAcadémie des Sciences de Paris, avec le sujet suivant : « Perfectionner en un point important la théorie du mouvement d'un corps solide. » On lui décerna solennellenuMit cette récompense dont la valeur fut doublée en raison du service extraordinaire rendu à la Physicpie mathématique. Elle avait découvert un cas nouveau dans lequel les équations dillerentielles d'un corps pesant, mobile

(1) Soui'cnirs d'enfance de Sul'iilK Kovalkwsky, écrits par elle-niènie, et siiifis de sa biographie par M'"" A.-Cn. Lefiler, dticitesse de Cajanelto. Paris»

Fig. 32. — Portrait de Sophik Kovalkwsky (iSjo-iSyo). (D'après une phototypie suédoise.)