ANTIQUITÉ ORIENTALE

thématiques qui le»^ -concernent, «ont deux tablettes trouvées récemment '.

L'une d'elles, datant d'une époque comprise entre 23oo et 1600 ans avant notre ère, contient une table des ' carrés des nombres entiers jusqu'à 60^. Les nombres I, 4> 97 '6, 25, 36, 49 sont indi(|ués respectivement comme étant les carrés des sept premiers nombres. Il semble donc qu'ils connaissaient le système de numération décimale. Mais les carrés suivants s'y lisent ainsi : 1.4 = 8*; 1.21 =9^; etc., ce qui reste inintelligible, à moins qu'on ne suppose les chiffres écrits dans la nota- , tion sexagésimale, où 1.4 = 60 -h 4 =8-; 1.21 = 60' 4- 21 =9-, etc.

La seconde tablette se rapporte à l'Astronomie. Elle donne la grandeur de la portion illuniinée du disque lunaire pour chaçjue jour, de la nouvelle à la pleine lune, le disque entier étant supposé partagé en 240 divisions. Les parties éclairées pendant les cinq premiers jours y sont représentées par la progression géométrique 5, 10, 20, 407 1.20(80); puis les termes suivants d'une progression arithmétique : 1.20, i.36, i.52, 2.8, 2.24, 2.40, 2.56,3.12,3.28, 3.44^ 4> fournissent les illuminations du cinquième au quinzième jour.

Ces découvertes archéologiques montrent que les Babyloniens possédaient certaines notions arithméti(|ues, en particulier le principe de position qui nous sert actuellement, car mettre 1.4 pour 64 c'est supposer que I représente 60, l'unité de second ordre, en vertu de sa position par rapport à 4^ — f^dt digne de remarque, cette règle ayant été seulement introduite dans l'arithmétique moderne vers le v® ou vi* siècle de notre ère. Maintenant, comment arrivèrent-ils à la conception du système sexagésimal ? Mystère. Si le choix de la base 10 s'explique parce qu'il correspond au nombre de doigts, celui du nombre 60 s'interprète

(i) F. Cajori. a liistory of mathematics. New-York, 189.5.

moins facilement. La question n'est pas résolue, même après les travaux des orientalistes allemands, que nous ne suivrons pas sur ce terrain où tant d'hypothèses sont permises.

Quant aux connaissances géométriques des Babyloniens, elles se réduisaient à (pielques constatations expérimentales. Les triangles et les quadrilatères leur étaient familiers, mais ils en ignoraient probablement les propriétés. Ils savaient diviser la circonférence en différentes parties, au moyen de ses rayons. Gomme les Hébreux, ils prenaient pour valeur de t le nombre 3.

Leur Astronomie était plus savante, ainsi que deux calendriers déchiffrés il y a quelques années l'indiquent. Somme toute, en se plaçant à notre point de vue spécial, ces peuples possédaient un médiocre degré de culture, bien inférieur à celui des Egyptiens,^ desquels datent véritablement les Mathématicpies.

Le papyrus de la collection Rhind, conservé au British Muséum de Londres, et publié par M. Eisenlohr', appuie cette thèse. Ce manuscrit, écrit i ooo ans environ avant Jésus-Christ, par un prêtre nommé AnMEs, serait la copie d'un original plus ancien remontant à 3 4oo ans avant notre ère. Il renferme une collechion de problèmes arithméticpies et géométricjues avec réponses mais sans indication du procédé ayant permis de les obtenir. La première partie traite de la réduction de certaines fractions à une somme d'autres fractions ayant pour numéialeur Tunité. Dans la seconde, se trouvent (juchpies exem|)les de division et de soustraction. Puis viennent divers problèmes se ramenant à la résolution d'une écpiation numéricpie. En voici un exemple, pour montrer leur genre. Trouver un nombre tel ([ue lui-même augmenté de son septième soit égal à 19. La réponse donnée : 16 -f- T + s" est exacte.

(i) El8F.NLOiiR. Ein matficmolinfhfs Uattdhtich <lcr aften Eî^yptrr. Leipzig, 1877, I vol. in-4» el atlus.

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Enfin plusieurs questions d'Algèbre élémentaire terminent roptisxntlër Parmi celles-ci une ou deux se rattachent aux progressions aritliniéti(|ues, et elles seni- I)lent indiquer (ju'ils savaient les sommer.

Un autre papyrus, découvert dans la nécropole d MA///;///;/ (ancienne Panoplis) et qui est aujourd'hui au Musée de Gizeh, nous renseigne sur les artifices do calcul usités. C'est le plus ancien document, actuellement connu, sur renseignement prati(|ue de l'Arithmétique chez les Grecs. D'après M. Baillet' il est antérieur à l'invasion arabe, et son auteur paraît être un chrétien vivant probablement au viii'' siècle ; mais on |)eut le considérer comme représentant la science égyptienne à une é|)oque bien antérieure. Il roule sur la numération fractionnelle. On y considère toujours les fractions comme des parties aliquotes de l'unité, et à part ~- aucune expression fractionnaire dont les numérateurs diffèrent de l'unité n'y figure. Tout cela est donc absolument conforme à ce que nous savons des principes de la numération des Egyptiens par le papyrus d'Ahmes". D'autre part, la fraction est figurée par le seul cliiffre que nous désignons aujourd'hui sous le nom de dénominateur, et on la note par la sigle du nombre entier correspondant légèrement modifiée, par exemple au moyen d'un double accent placé à droite. Les nombres ordinaux sont synd)olisés par les mômes caractères que les fractions, le nombre fractionnaire est caractérisé d'une manière analogue, en écrivant à la suite, sans aucun signe, les quantités qui s'additionnent, et les opérations à effectuer sont indiquées par les mots consacrés écrits parfois en abrégé.

(l) Mémoires publiés par les membres de la Mission archéolof>iqtie française au Caire, t. IX. J. Baillet. Le papyrus mathémati({ue it'Akhmim (it^xie el traduction). Paris, 1892. Nous devons à l'obligeance de M. Leroux de pouvoir reproduire le fragment ci-joint,

(a) MORITZ Cantor. Vorlesungen uber Geschichte der Mathematik, t. I. Leipzig, 1880.

6 IJlSTOIIiE DES MATHÉMATIQUES

Les premières pages du papyrus d'Akhmim sont occupées par les tables de multiplication des nombres entiers par des fractions, tables destinées à faciliter les calculs. Mais la partie la plus intéressante du manuscrit renferme cinquante problèmes avec leur solution. Ils se rapportent tous aux fractions, et sont rangés par ordre de diffumlté. Leur variété est assez grande. Tantôt les données, tantôt les solutions changent, tantôt deux questions identiques sont résolues par des procédés différents. Cependant on ne se trouve pas en présence d'un ouvrage didactique composé par un professeur, certaines fautes semblent prouver que c'est un exercice d'enseignement, quelque chose comme le cahier d'un bon élève. Nous reproduisons ci-contre un facsimilé d'une partie du manuscrit. Voici la traduction du premier problème indiqué dans cette page :

<( E.T. 1. — 11 y avait une citerne ronde : le périmètre supérieur était de 20 coudées, le périmètre inférieur de 12 coudées, la profondeur de 6 1/2 coudées.

« Sol. — De même 20 et 12 font 32 ; la 1/2 de 32 fait 16. De môme 16 [multiplié] par 16 font 256. Demème 256 par 6 1/2 font 1664. De même divisez 1664 en 36, en sorte que [le résultat] est 4^-- --g* »

D'après ce texte et la figure qui l'accompagne, il s'agit évidemment de chercher la contenance de la citerne. En eflet, l'auteur lait la somme des deux périmètres, en prend la moitié et l'élève au carré, puis multiplie le résultat par la profondeur. II assimile donc; le volume du tronc de cône à celui d'un cylindre de nu^'ine hauteur ayant pour base le cercle de rayon moyen, approximation permise. Mais le carré du périmètre d'une circonférence 4 ~ ' R ^ n'est pas la surface de cette figure - l\\ base du cylindre. Il fallait diviser le résultat obtenu par 4 ~ f>" P?»»' «2, si Ton s'en tient à la valeur approchée :: = 3. Au lieu d'une division par

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12 nous sommes en présence d'une division par 36, soit un nombre trois ^is trop fort. L'auteur a commis là une erreur fla^^rante, ou encore il y a un changement d'unité non annoncé.

/O - "rt-vr fU'M 1 ' ... I

Fig. I. — Le papyrus mathématique d'Akhinim. (Fac-similé de In page G, d'après roriginal conservé au Musée tie Oizeh.)

Les Egyptiens furent donc bien les initiateurs des Grecs en Arithmétique. Ces derniers, tout en inventant une numération écrite plus perfectionnée, en simplifiant les procédés de nudtiplication et de division, conservèrent les méthodes qui avaient d'abord fleuri sur les

8 HISTOIRE DES MATIIEMA TIQiE S

rives du Nil. Elles survécurent durant de longs siècles, elles furent même enseignées exclusivement dans les écoles élémentaires juscju'aux derniers jours de l'empire byzantin.