TUA LES ET PYTIIAGORE

Ses élèves perpétuècent oralement sa doclrine, celui-ci n'ayant laissé aucun écrit. Il avait seulement confié ses commentaires à une de ses filles, Damo, avec défense formelle de les communiquer aux profanes : (juoicjue femme et pauvre elle lint, dit-on, sa promesse. Mais PuiLOLAUs n'agit pas cle même. Dans son Système de la nature^ il divulgua le pnMuier les grandes lignes de renseignement pyliiagoricien. Le secret toutefois avait duré plus d'un siècle. Ce savant émettait dans son ouvrage bon nombre d'idées plus ou moins fantaisistes sur le pouvoir des nombres. Toutefois sa cosmogonie, bien qu'elle ait essuyé les criticjues d'Arislote, était plus exacte que ses tbéories aritbmétiques et il connaissait l'existence des cinq polyèdres réguliers sur lesquels sa philosopbie reposait en partie.

Son disciple Ahchytas, de Tarente, qui naquit vers 428 avant .lésus-Gbrist, se livra aux recherches scientifiques au milieu des préoccupations des fonctions publiques. Il passe pour avoir appli([uéà la Mécanique les connaissances géométriques qu'on possédait alors, et il découvrit une ingénieuse solution de la du[)Iication d'un cube*. La méthode ([u'il emploie indi(|ue (ju'il avait des vues exactes sur la génération des cônes et des cylindres. Il ramène le problème à celui de deux moyennes proportionnelles, au moyen d'une courbe h double courbure^ <|u il construit ainsi. Sur le diamètre de base du cylindre droit circulaire il mène un demi-cercle dont le plan est perpendiculaire à celui de la base du cylindre donné. Puis il-fail tourner le diamètre autour d'une de ses extrémités. Dans ce mouvement ce demi-cercle rencontre dans chacune de ses positions successives la surface du cylindre en un point. L'ensemble de ces points forme la ligne cherchée. Le savant grec coupait alors cette courbe par un cône de

(1) Bretschneider. Z)/f Géométrie und tlie Geometer vor Ettklides. Leipzig, 1870, in-8».

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révolution autour de l'arôte cylindrique menée par rextréniité iixe du diamètre du demi-cercle mobile. Le point d'intersection ré|)ondait à la question posée.

Au sujet de Vinfini,, il le considère cojnme les mathématiciens le l'ont, en somme, aujourd'hui : c'est pour lui une chose n'ayant aucune grandeur assignable,

Poinhint longtemps Milet et Tarente furent à la tète des nations civilisées, sinon à un point de vue général au moins en ce qui concerne la pinlosoj)hie et les mathémati(|ues. Néanmoins, il serait inexact de se figurer que c'étaient là les seules villes du monde hellénique où existaient des institutions florissantes. Peu de colonies imj)ortantes en nuuupiaient,

Cnide s'honorait d'avoir donné le jour à Eudoxe, vers l'an 4o8 avant notre ère. Plus jeune que Platon d'une vingtaine d'années', il se rendit à Athènes, vers 386, pour suivre les leçons du fondateur de l'Académie, voyagea ensuite en Sicile et en Egypte, s'établit à Cyzique puis à Athènes afin de s'y poser en rival de Platon, mais l'hostilité de ce dernier le força à s'en retourner quelque temps avant sa mort, survenue en 355, au cours d'un voyage sur les bords du Nil.

Si sa carrière fut agitée, elle eut la plus heureuse influence sur le progrès scientifique. 11 découvrit la plus grande partie du l®*^ livre des Eléments d'Euclide -, consacré à la théorie de la proportionnalité. Ses travaux sur les incommensurables sont des plus importants, et il démontra plusieurs théorèmes sur la mesure des solidci^, tels les suivants : la pyramide est le tiers du prisme de même base et de même hauteur; le cône est le tiers du cylindre de même base et de même hauteur.

A Ghios, on célébrait le mérite d'lIii»pocH.VTEs, qu'on

(i) Hevue ile$ questions scienii/ùjuca, u* série, t. XV. Luuvuiu, 1899, iii-8°. (2) Paul Ta.n.nery. Lu Géométrie grecque. Paris, 1887, in-8».

TUALES ET PYTIIAGORE i5

doit se garder de prendre pour son illustre hoiiioiiynie le iiiédecift de "Cos.

Né vers 470 avant Jésus-Christ, il établit pour ainsi dire la transition entre les Pythagoriciens et Platon. Il coninienea par exercer la profession d'armateur; mais un de ses navires ayant été pris par des pirates il se rendit à Athènes pour recouvrer son bien et demander justice : aussi eut-il de nombreux loisirs pour suivre les cours des philosophes. A son tour il ouvrit une école dont les revenus, en le faisant vivre, le dédommagèrent de la capture de son vaisseau. Peu à peu il devint une autorité en mathématique, et écrivit le premier traité d'où sont sortis les « Éléments » d'Euclide. On lui attribue en outre V introduction des lettres aux points principaux des figures^ pour faciliter les démonstrations; toutefois ce n'est pas Tavis de M. Gantor, qui fait honneur de cette invention aux Pythagoriciens*. Ainsi que nous Tavons vu plus haut, ceux-ci représentaient par chacune des lettres -j, y, »., 6, a les sommets du pentagone étoile. Mais cet exemple isolé, dit avec juste raison ]M. Uouse Bail, ne prouve pas l'universalité de la méthode -.

Ilippocrates s'occupa également des figures semblables, et découvrit plusieurs propriétés relatives aux cercles. Parmi celles-ci signalons les suivantes :

Tous les angles inscrits dans un même segment de cercle sont égaux ;

Un angle inscrit dans un segment est aigu, droit ou obtus, suivant que ce segment est supérieur, égal ou inférieur à un demi-cercle ;

Deux cercles sont entre eux comme les carrés de leurs diamètres.

C'est aussi à ce savant qu'on doit le mode de démonstration dit : « de réduction », par lequel on

(1) MoRiTZ Castor. Loc. cit., l. I.

(a) Walter W. Rouse I3all. .-1 short account of the history of matliematics. Londres, 1888, in-ia.

i6 HISTOIRE DES MA TIfEMATIQiE S

ramène la connaissance d'une question à celle d'autres choses dont elle est la conséquence nécessaire. Peutêtre avant lui avait-on employé ce procédé dans quelques cas particuliers, mais il eut le mérite d'en signaler l'importance, et d'en généraliser l'application. Ses autres travaux se rattachent à la (piadrature du

Lunules d Hippocralcs.

cercle, ce problème qui tint une si grande place dans les préoccupations des mathématiciens grecs. Pour tourner la dilïiculté, Hippocrates essaya d'abord de carrer la lunule ou aire comprise entre deux arcs de (îcrclcs inégaux. 11 n'atteignit nécessairement pas le but qu'il poursuivait, mais il arriva à ce théorème im[)ortant : Si sur les trois côtés d'un triangle rectangle ABC pris comme diamètre on décrit des demi-circonférences, la somme des surfaces des deux croissants M et N (lunules), égale l'aire du triangle T. C'était le premier exemple d'un espace rectiligne démontré • à celui d'une fioure curviligne.