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Les Écoles d'Athènes et de Cyzique : Platon, ses disciples et leurs contemporains.

La science nialhéniatique de Platon est loin tralteindre sa renommée j)hiIosophicjiic. Né à Athènes en 429, ce brillant élève de Socrate n'aurait même jamais cultivé cette branche des connaissances humaines tant méprisée par son maître, si après la mort de ce dernier il n'eut voyagé en Egypte, dans l'Italie méridionale et la Sicile où il recueillit l'enseignement des Pythagoriciens. A son retour dans sa patrie, lorsqu'il fonda « l'Académie », il était converti, et plus tard quand on lui demandera quelles sont les occupations de la Divinité, il répondra : « Elle géométrise perpétuellement »; il inscrira même au seuil de sa demeure : « ()ue nul n'entre sous mon toit, s'il est ignorant en Géométrie ». La lecture du Tiinée montre d'ailleurs qu'il connaissait les ■ propriétés essentielles des progressions. Mais que de subtilités arithmétiques, de divagations plus ou moins bizarres sur les nombres, ne renferme pas ce livre! Aussi, suivre les érudits modernes dans leurs commentaires ne serait ic^i qu'un hors-d'œuvre inutile. D'autre part, ses idées cosmogoniques n'intéressent pas cette Histoire.

On attribue à ce grand philosophe la découverte ' des lieux géométriques^ c'est-à-dire d'un ensemble de points jouissant de la même propriété. Platon eut en

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outre le mérite d'observer rinfluence des mathématiques sur la rectitude du jugement, et si ses recherches originales sont de minime importance, il fit progresser ' les méthodes, précisa les définitions du point, de la ligne, des surfaces et des volumes, qu'Euclidc devait donner après lui presque sans changement. 11 faut également lui savoir gré d'avoir dirigé quelques-uns de ses disciples vers l'étude des sections coniques. Enfin, dernier et précieux service rendu à la Géométrie, il inventa Vanalyse comme mode de démonstration. C'est Proclus qui lui attribue cette découverte ; toutefois on en retrouve seulement les premières traces dans les livres d'Euclide. Ce procédé consiste à établir une suite de propositions commençant au théorème qu'on veut démontrer, pour se terminer à une proposition connue, et telles qu'en partant de la première, chacune entraîne l'exactitude de la suivante. Il s'ensuit alors que la première, conséquence de la dernière, est vraie comme celle-ci. Platon avait donné par son enseignement une forte impulsion à la science, aussi les mathématiciens contemporains ne manquent pas. Le sophiste A>'TipnoN nous retiendra tout d'abord. Il s'ingénia à trouver la solution du problème de la quadrature du cercle. Pour y parvenir il inscrivait un carré dans un cercle, puis il déterminait le milieu des arcs sous-tendus par chaque coté et réunissant au moyen de droites les points ainsi déterminés il formait de la sorte un octogone. Il continuait ensuite à inscrire des polygones réguliers dont le nombre des côtés augmentait iiuléfiniment. Cette (!onstruction aurait pu être un trait de lumière pour Antiphon, mais il ne sut pas en profiler. Le génie d'Archimède devait cependant en déduire des résultats aussi imprévus qu'importants. Du reste, vers la même époque, Bhyso* d'IIéraclée avait fait avancer cette fameuse question en circonscrivant des polygones en même temps qu'il en inscrivait. Toutefois il se trompa en pensant que l'aire d'un cercle est la moyenne arith-

PLATOy FT SES COSTEMPO RAI y S 19

méli(|ne entre les [)olygones circonscrit et inscrit

Il faut yoir-<lttns les travaux de ces deux savants les débuts de la méthode (re.rhaustion^ c'est-à-dire d'une manière lop^ique de prouver ré<i^alité de deux grandeurs on démontrant (|ue leur diflerence est plus petite que toute quantité donnée. *

Un autre philosophe, IIippïas d'Élée, qui florissait vers 420 avant notre ère, est connu pour s'être occupé de la trisection des angles. Il aurait même inventé, toujours d'après Proclus, une courbe transcendante lui |)ermettant de diviser tout angle rectiligne en un certain nombre de parties ayant entre elles un rapport donné. Malheureusement le commentateur nous renseiirne incomplètement sur ce travail.

Autun ouvrage de son contemporain Théetètk, d'Athènes, ne nous est parvenu. Nous savons seulement le titre de l'un d'eux. C'était un traité Sur les ' cinq solides^ dont Euclide s'est servi pour composer le XIII*^ livre de ses Eléments. Enfin ce savant aurait ébauché la théorie des grandeurs incommensurables.

Parmi les autres recherches dues à des membres des écoles d'Athènes et de Cyzique nous ne citerons que celles de Ménecume et de son frère Dinostrate. Au dire d'Eratosthène, le premier naquit aux environs de l'année 375 avant Jésus-Christ. Après avoir suivi les leçons dePlaton et d'Eudoxe, il s'acquit dans l'empire grec une assez grande réputation pour être nommé précepteur d'Alexandre. On rapporte (ju'à une demande de son illustre élève le priant de lui indiquer les moyens les plus rapides pour apprendre la géométrie, il aurait répondu : « Dans le domaine mathématique, prince, il n'y a pas de chemin à l'usage des rois *. »

Ménechme s'occupa des sections coniques avec '

(1) « Son est rcfrla ad mathcmaticam via. » Inutile d'ajouter que celte anecdote, comme beaucoup de mots historiques, est plus ou moins vraie. Certains auteurs attribuent une réponse identique à Euclidc dans un entretien avec Ptolémée Soter.

succès'. Il les aurait partagées en trois classes, et il recherchait leurs propriétés en prenant non pas différentes sections planes dans un cône fixe, mais en choisissant un plan et en le coupant par divers cônes. Il fit voir que la section d'un cône droit par un plan perpendiculaire à une génératrice est une ellipse si l'angle au sommet est aigu, une parabole si ce dernier est droit, et une hyperbole s'il est obtus. Toutefois il est difficile de dire au juste la part qui revient à Ménechme dans cette (classification et dans la découverte des principaux théorèmes relatifs aux sections coniques, dont un avenir lointain devait seul dévoiler toute la fécondité. Etaientelles connues avant lui? A-t-il seulement trouvé le moyen mécanique pour les réaliser expérimentalement? Mystère qui a peu de chances d'être éclairci.

De son côté, Dinostrate découvrit une courbe particulière, laquadratrice^ que l'on attribue également à Hippias. C'est la courbe transcendante la plus anciennement connue, et il pensait la faire servir à une prétendue solution du problème de la quadrature du cercle. De là vient son nom.

Quant au grand Aristote, s'il ne fut guère un professionnel de la Mathématique, il eut cependant quelque influence sur son développement, en apportant des <;lartés inattendues là où les défectuosités fourmillaient. En particulier par ses Questions mécaniques^ il dirigea ratleiilion de ses contemporains vers les principes initiaux de cette science, et c'est lui qui eut l'idée d'employer les lettres pour représenter les grandeurs. On rencontre enfin dans cet ouvrage — à côté d'erreurs (jue l'autorité de son nom rendra si tenaces — un .•»j)horisnie remarquable pour son temps : les chocs de deux corps produisent le même effet si ceux-ci sont inversement proportionnels à leurs vitesses.

(i) Allma.n. (ireek Geometry from Thaïes to Euclitl. Dublin, i88<); Paul Tannehy. La Gvomctne gren/ue. Paria, 1887; RousE Ball. Loc. vit.

P LATO s ET SES COyTEMPORAI .S S .i

Ses successeurs» Thkophraste d'Erèse et Kuhkmk, avaient écrit des Histoires de la (téométrie, de V Arithmétique et de l'Astronomie, qui luallieureusement ne nous ont pas été conservées. Quant au coninienlateur du philosophe deStagyre, Alexandre d'Aphrodisie, il s'occupa des nombres cycliques ou circulaires sur la nature desquels on n'est pas bien lixé.