CHAPITRE IV

Fondation de l'Ecole d'Alexandrie. Œuvres d'Euclide et d'Archimède.

En l'année 33 1 avant notre ère, un petit bourg riverain du Nil fut transformé en une ville immense par la volonté d'Alexandre, habilement secondé par Dinostrates, rarchitecte du temple de Diane à Ephèse. Sous celle impulsion, de grandioses monuments s'élevèrent comme par enchantement, on créa un port magnifique (|ui ne tarda pas à accaparer le commerce du globe, et ce village naguère ignoré devint bientôt le centre intellectuel de TLiiivers. Toutes les religions, toutes les races se fondirent, s'amalgamèrent dans cette merveilleuse cité, dans Alexandrie où la civilisation grecque désormais transplantée allait puiser une sève vigoureuse et rayonner encore sur le monde pendant près de dix siècles.

Après la mort du grand conquérant (323 av. J.-C), un de ses lieulenanls Ptoléniée, eut l'Egypte en partage, et une fois (pTil eut assurél'avenir de sa dynastie par la force, il voulut occuper les dernières années de son règne à organiser ses étals. Il y attira les savants les plus renommés, il fonda ce Muséum où toutes les connaissances humaines, les ^Mathématiques entre autres, eurent de remanpiables interprètes, et enfin il édifia cette liuneusc^ Hibliothècpie, (jui sous Démétrius de Phalère possédait plus de 4^0 ooo rouleaux.

l.rroLE D'ALEXASDRIE t»3

Dans le pivmiei- sii^cle de son oxistcnco, THrole d'Alexandrie compta les trois plus illustres mathématiciens de ranliquité : Eiiclide, Archimède et Apollonius. Remar(|U()ns aussi (|u*à [)arlii* de cette épocpie les documents histori(|ues vont perdre le caractère hypotliétiqiie qu'à do rares exceptions près nous leur avions trouvé jusqu'ici. Dorénavant nous n'apprécierons plus les savants dont nous analyserons les œuvres sur des rapprochements de passages isolés mais d'a|)rès leurs livres mêmes. Si parfois encore les détails biographi(|ues sont maigres ou contradiirtoires, nous connaissons, au moins dans leurs grandes lignes, les travaux les plus importants de cette période si féconde.

D'après les sources arabes, Euclide serait né en Syrie d'un père grec nommé Naucrates, originaire de Damas mais fixé à Tyr. Celui-ci envoya probablement son fils faire ses études à Athènes, et il est certain que vers la fin du règne de Ptolémée Soter, roi d'Egypte (.'52;5-'>83 av. J.-C.}, Euclide avait déjà effectué des recherches mathématiques assez remarquables, puisque ce prince rappela à Alexandrie pour y professer la Géométrie et TArithmétique. L'éclat de son enseignement avait donc dii l'y précéder. En tous cas, il reçut un accueil des plus flatteurs, et fut chargé de composer un traité sur la science qu'il devait incuhjuer à ses disci|)les. C'est là l'origine des Elénieiils. Si toutes les propositions énoncées dans ce livre ne lui appartiennent pas en propre, s'il est [)lausiblc même d'en attribuer une bonne partie à Pythagore, à Hippocrate de Chios, à Eudoxe et à Ménechme, on ne peut lui contester le mérite d'avoir coordonné les théorèmes, simplifié les démonstrations, réduit le nombre des vérités primordiales admises jus(|u'à lui comme axiomes et donné en plusieurs endroits des méthodes souvent élégantes et faciles pour un débutant là où ses prédécesseurs s'étaient servis de raisonnements comj)li([ués. Aussi, malgré les défauts que les modernes ont trouvé à leur reprocher.

les Eléments constituaient une œuvre géniale pour Tépoque. Ce qui le prouve d'ailleurs mieux que tout le reste, c'est qu'après vingt siècîles leur succès n'est [)as épuisé. Les savants les plus célèbres les ont couverts d'éloges, depuis Archimède jusqu'à Descartes, depuis Apollonius et Pappus jusqu'à Newton et Lagrange. Que de professeurs les ont enseignés! Que d'élèves les ont appris ! Que de commentateurs et de traducteurs n'ontils pas eus !

Cependant, parmi les critiques qu'on leur adresse, quelques-unes sont fondées. Ainsi certaines propositions données comme axiomes ne sont pas évidentes par ellesmêmes. Il n'y a pas d'elForts pour généraliser les résultats. Exemple : l'angle n'est pas envisagé dans le cas où il devient plus grand que deux droits. La classification est parfois imparfaite, et l'ouvrage un peu diffus. Enfin l'auteur se sert très rarement de la superposition des figures comme mode de démonstration. Tout récemment, en se plaçant au point de vue pédagogique, on a tenté des réformes pour modifier l'aridité rebutante sous laquelle se présentait jadis la Géométrie dans les collèges '. On peut citer comme types de cette catégorie en France l'ouvrage de Rouché et Comberousse, et en Italie celui de Lazzeri et Bassani dont une seconde édition a paru l'an dernier.

Mais revenons à l'antiquité. 11 parait vraisemblable qu'au milieu du v'^ siècle avant notre ère existait, sous le nom de Pythagore, un traité de Géométrie dont le cadre se rap|)rochait beaucoup de l'ouvrage d'Euclide. Trois ou quatre auteurs, dont un seul, Illppocrate de Chios, nous est connu, avaient déjà com[)osé des livres analogues aux Kléineiits au moins (juant au fond. Que contenaient-ils au juste? 11 est malaisé de le savoir puisque leurs travaux sont perdus. On trouve seule-

(i) Voir ù re sujet Laisant. La Mathématique. Philosophie. Enseignement. Paris. Georges Cnrré et G. Nuud, éditeurs, iSyS.

LÈCOLE D'ALEXANDRIE a5

ment des inenlions succinctes relatives à certains d'entre eux, côiiiine Theudios de Magnésie et Ilerniotinie de Colophon, dans le résumé histori{|ue de Proclus'. D'autre part, Eudoxe, sans avoir coniposé d'ouvra<^es didactiques, semble avoir fait progresser la science d'une manière très importante. 11 inventa la théorie des proportions et les théorèmes qui se rapportent à la mesure de la pyramide et du cône.

La Géométrie plane d'Euclide se di(réren(*ie du reste de nos traités modernes. La théorie de la sinulilude suit l'étude du triangle, du parallélogramme, du cercle et du polygone régulier. Après avoir trouvé les propriétés essentielles de ces derniers, il démontre à part ce qui a trait aux figures semblables, en ne s'appuyant nullement sur celles-ci dans les raisonnements des théorèmes dont renoncé ne les com|)orte pas. Il arrive à ce résultat en employant dès le début l'artifice suivant qui remplace souvent dans ses Eléments la notion.de similitude.

Soit le parallélogramme ABCD. Si par un point quelconque P pris sur une diagonale AC on mène des

Fi g. 4.

parallèles aux côtés, la figure sera divisée en deux parallélogrammes péridiamétrau.r CB'PG' et A.\'P1)

(i) Procli Ditulnc/ii in primitm EucUdis Elementorum libntm commentant Edition Friedlein, Leipzig, 1873.

26 llISTOlItE DES MATIIÉMATiqiES

semblables, et en deux autres parallélogrammes parapléronies PD'DC et PA'BB' équivalents dont les côtés sont alors réciproques. Une fois ceci démontré, Euclide se sert de ce moyen pour construire par exemple une quatrième proportionnelle comme second coté d'un paraplérome dont le premier côté ainsi que le paraplérome correspondant sont donnés. 11 n'y a plus, en ellel, qu'à terminer la construction du parallélogramme. Cette particularité ferait donc supposer que la géométrie pythagoricienne se rapprochait plus de la nôtre en tant (pie succession des théorèmes, et qu'entre l'époque où vivait le philosophe de Samos et celle d'Euclide la Géométrie fut profondément remaniée à la suite des travaux d'Eudoxe sur les proportions.

Les Kléiïienls sont trop connus pour (ju'il soit nécessaire de les analyser longuement. Esquissons-en seulement les grandes lignes, la marche générale. Ils commencent par des définitions. D'abord le point : « ce qui n'a pas de parties ));la ligne : « h>ngueur sans largeur» ; le rectangle, le « rhombe » ou losange, le trapèze, le cercle, etc. Nous donnons ci-contre le fac-similé de la page d'un manuscrit qui reproduit précisément le début des Klcinents.

Ensuite on passe aux dix poslulata fondamentaux tels (jue celui-ci par exemple : tous les angles droits sont égaux. Puis viennent les notions communes ou « axiomes » comme : le tout est plus grand que la partie ; deux lignes droites ne renferment point un espace...

Les |)ropositions qui se rattachent aux notions précédentes, découlent les unes des autres. Chacune d'elles se divise en quatre parties : rexj)osition ou donnée, la construction, la démonstration (pour laquelle l'auteur a souvent recours à la méthode dite de « réduction à l'absurde ») et la conclusion. Cette façon logi([ue de |)r()cé(ler fait converger les vérités acquises précédemment vers le théorème important, mais ce luxe de

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Fig. 5. — Manusrril dos K/emcnls (i Ki (.i.i (Bibliothèque Nolionnle de Paris, Fonds grec n" a3»4. fol. 17, xii* siècle. Fac-similé du début : définitions du {>oint, de la ligne, etc ^

28 IIISTOIIiE DKS MATIIKMATIQl'ES

preuves, celte surabondance de détails, fatigue quelque peu Tesprit du lecteur.

Une fois ces préliminaires achevés, Eucîlide entre dans le vif de son sujet qu'il traite en treize livres, mais si Ton examine le plan que Fauteur paraît s'être tracé, on reconnaît sans peine dans son œuvre quatre sections bien marquées. Dans la première (livres I à VI) le sagace mathématicien étudie les figures planes, les quantités proportionnelles et leur application à celles-ci. La seconde (livres VII, VIII et IX) est consacrée aux propriétés des nombres, principalement à leur emploi en (iéométrie pour mesurer des rapports de longueur ou de surface. Ici s'introduit la notion d'incommensurabilité, car on rencontre dans les spéculations géométriques des figures qui n'ont aucune grandeur commune avec d'autres de môme nature. En conséquence, Eu(didc s'en occupe dans le livre X. Enfin les derniers chapitres roulent sur les plans et les solides.

Dans les éditions des Eléments on ajoute parfois deux livres sur les cinq polyèdres réguliers, mais cette partie doit être attribuée à Hypsiclès, qui vivait, croit-on, un siècle et demi plus tard.

Un autre ouvrage d'Euclide faisait suite pour ainsi dire au précédent, c'était les Données , recueil propre à faciliter les applications. Les géomètres grecs ramenaient, en effet, la résolution des problèmes à des A£Oo;j£va ou résultats immédiats de constructions connues. Exemples : un triangle dont on avait déterminé chaque angle était « donné de grandeur » ; une ligne dont on fixait l'inclinaison avec une autre était « donnée de position » ; un triangle dont on connaissait la valeur respective des angles et les rapports des cotés entre eux était « donné d'espèce ».

La singularité la plus remarcpiable de ce livre est qu'on peut déduire fat^ilemenl de quehjues-unes de ses propositions la résolution des équations du second degré. Nous retrouverons plus loin la môme constata-

L'ECOLE D'ALEXASORIE ag

tion pour Arcliiinède cl Apollonius. Si ces mathématiciens ne Sj9LSû«t pas servis de formules, il faut l'attribuer uniquement au but qu'ils poursuivaient. Us raisonnaient toujours sur les grandeurs elles-nu^mes, et non sur leur mesure. L'absence d'une langue algébrique pour exprimer ces dernières ne les gênait donc pas. Cependant certaines constructions, telles que la division d'une droite en moyenne et extrême raison illustrent trop les relations des racines des équations du second degré, pour qu'ils ne les aient pas aperçues.

Quant aux Porisnics d'Euclide sur lesquels on a beaucoup discuté, ils ne nous sont point parvenus. Tout ce que nous en savons est du à Pappus *, qui en |)arle d'une manière assez obscure. Plusieurs savants ont cherché à restituer cet ouvrage, entre autres Robert Simson au xviii* siècle, et plus près de nous Ghasles. Ce dernier a publié, en 1880, un essai de divination de l'œuvre perdue, mais c'est plutôt ce « qu'aurait pu laisser » le géomètre alexandrin, que ce qu'il a véritablement composé.

Un certain nombre d'écrits, tels que des Principes de Musique^ une Optique et un abrégé d'Astronomie intitulé les Phénomènes, sont attribués à Euclide, mais ils ne [)araissent pas lui appartenir. Enfin plusieurs autres ne nous sont connus (juc par leurs titres. Les plus importants se rapportaient à la Perspective et aux Sections coniques. Il avait également publié un traité de pédagogie géométri(|ue ayant pour but d'éviter aux débu- j tants les raisonnements inexacts, les pétitions de principes et les manques de logique analogues, si familiers aux jeunes étudiants.

En résiuné, jamais traité didactique n'eut une vogue comparable au chef-d'œuvre d'Euclide. Pendant toute la période du Moyen Age et de la Renaissance, on le

(i) Gixo LORIA. Le Sctenze esaUe neli antica Craecia, libro II. Modcna,

3o HISTOIRE DES MATHEMATIQUES

commenta. Ce fut le pain quotidien des mathématiciens d'alors. Cependant l'Occident ne connut d'abord les Eléments que troncjués. Ils lui parvinn^nt au v'^ siècle, ^râce à Boèce, qui confondra d'ailleurs le professeur d'Alexandrie avec le philosophe de Mé^i^are et cette erreur subsistera longtemps. De plus, on supposait qu'Euclide avait seulement laissé des définitions. On regardait Théon comme l'auteur des démonstrations.

Au xii^ siècle, Alholard de Bath les traduira pour la première fois de l'arabe en un latin barbare, car de[)uis Honeïn-ben-Ishak, mort vers 870, les disciples de Mahomet possédaient dans leur langue les Eléments. Les Persans eux-mêmes, grâce à l'astronome Nasir-Ed-Din, purent apprendre, dès 1260, la Géométrie dans Euclide. Lors de l'invention de l'imprimerie, la popularité de ce livre ne fit que grandir. L'édition latine princeps fut publiée à Venise en i482. Son auteur Erhard Uatholt annonce dans sa préface que la difficulté d'impression des images avait été jusque-là un obstacle pour la circulation des ouvrages de ce genre. Cet obstacle, dit-il, vient d'être heureusement vaincu, et on peut donner maintenant « les figures géométriques avec autant de facilité que les caractères ». Toutes les illustrations sont, en effet, exécutées en marge, et, ce qui est curieux, semblent gravées sur métal. Le texte grec, accompagné du Commentaire de Proclus, parut pour la première fois à Bàle, en i553, grâce aux soins de Grynœus.

Depuis cette époque, maintes éditions d'Euclide se succédèrent. Parmi les plus célèbres on* cite celle de Rome (1594), celle d'Oxford (1703), une des plus luxueuses, et la grecque-francaise-latine de Peyrard, imprimée à Paris en i8i4, d'après un très ancien manuscrit provenant de la BiI)liothè(|ue du Vatican. Mais la plus intéressante et la plus correcte, scientifiquement parlant, est celle récemment mise au jour, à Leipzig, par Ileiberg et Menge (i 881-1896).

Quant à Conon et Dosithée, les successeurs immé*

L'ECOLE D'ALEXANDRIE 3i

(liais d'Eiiclide à Alexandrie, ils n'ont pas laissé grandes traces dans rhi§loire<ies^ïalhémaliq lies, et raniitié d'AR- CHiMÊDE a surloiit sauvé leur nom de roiihli. (]e <<;rand homme, dont les travaux vont nous occuper maintenant, a ouvert bien des routes dans le domaine scientifique. Né en Tan i>.8- avant Jésus-CIirist, il était, si nous en croyons Plutarque, a|)parenté à Hiéron, roi de Syracuse. Nous n'insisterons guère ici sur toutes les inventions plus ou moins fabuleuses qu'on attribue à son puissant génie, ni sur ses découvertes relatives aux lois de l'équilibre des corps plongés dans des fluides, et nous parlerons encore moins des fantaisistes légendes mises sur son compte. Mais exposons rapidement, avant de passer à l'analyse de ses œuvres, les particularités les plus authentiques de sa vie.

Pendant le siège qu'eut à soutenir sa patrie contre les Romains, l'ingéniosité d'Archimède se donna libre carrière, et il construisit des catapultes gigantescjues pour détruire la flotte ennemie qu'il aurait même fini par incendier. A ce propos, on n'ignore pas qu'en 1777 Button, suivant point par point la description du procédé imaginé par le sagace Syracusain, fit construire un miroir métallique, et répéta cette expérience. H réussit à enflammer du bois à une distance de i5o pieds, et à fondre du plomb à i4o.

Archimède ne put cependant empêcher les ennemis de s'emparer de la ville par surprise, et il mourut sous le fer d'une brute soldatesque en iii. Ses compatriotes ne tardèrent pas à Toublier, si bien que Cicéron, un siècle et demi après, alors qu'il était questeur de Sicile, eut grand'peine à découvrir son tombeau disparu sous les broussailles. Le philosophe raconte le fait dans ses Tusculanes^ et il ajoute mélancolicpiement : « Ainsi la plus noble et jadis la plus docte des cités gre<ques ignorerait encore la place du tombeau du plus illustre de ses enfants, si un homme d'Arpinum ne la lui avait enseignée». 11 l'avait retrouvé surmonté, conformément

32 UISTOIIIK DES MATHÉMATIQUES

aux désirs d'Archimède, d'une splière inscrite dans un cylindre, afin (1(^ schématiser aux yeux des profanes sa découverte des relations respectives entre les volumes et les surfaces de ces deux figures.

Quoi qu'il en soit de ces détails anecdotiques, Archimède, à son retour d'Egypte oii il suivit les leçons de Conon et de Dosithée, commença ses travaux, et il rendit de précieux services à la Science, en créant la Mécanique et la (iéométrie supérieure.

La plus importante de ses productions est son traité De la spJière et du cylindre dans lequel se trouvent énoncés les principaux théorèmes relatifs aux rapports existant entre le cylindre, le cercle et la sphère. En voici quelques-uns :

La surface d'un cylindre droit quelconque, la base exceptée, est égale à celle d'un cercle dont le rayon est moyen proportionnel entre le coté du cylindre et le diamètre de sa base.

La surface d'un cône droit quelconque, la base exceptée, est égale à celle d'un cercle dont le rayon est moyen proportionnel entre le côté du cône et le rayon du cercle de base du cône.

La surface d'une sphère quelconque est quadruple de celle d'un de ses grands cercles.

La surface d'un segment sphérique quelconque est égale à un cercle qui a pour rayon une droite menée du sommet du segment à la circonférence du cercle qui est la base du segment, etc.

Pour la démonstration de (es théorèmes, Archimède s'appuie sur quel([ues priiicip(»s (ju'il [)()se au début de son ouvrage. 11 montre d'abord (pie la ligne droite est la phis court(» de toutes celles (pii ont les mêmes extrémités. H passe ensuite à la délinilion des lignes et des surfaces « concaves d'un même côté », puis il formule les deux pr()j)ositions suivantes : si deux lignes concaves d'un même côté possèdent les mêmes extrémités et (jue l'une soit (( comprise tout entière par l'autre »,

L'ECOLE D'ALEXAND/tlE 33

l'entourante est plus grande que Tentourée. 11 en est de môme pour-4es^ Surfaces : si deux surfaces concaves d'un niôiiie coté se terminent à la niônie ligne dans un plan, et que l'une entoure l'autre, l'étendue de la surHice enveloppante sera plus grande que celle de la surface enveloppée.

A l'aide de ces principes qui précisaient nettement les ligures courtes et qui tenaient lieu de définitions impossibles à donner sans faire intervenir les notions infinitésimales, Archiniède arrivait aux plus fines démonstrations. Ces découvertes arrachèrent plus tard à Leibniz cet aveu : « ceux qui peuvent comprendre Archimède admirent moins les découvertes des modernes. » Tel est le contenu du premier livre De la sphère et du cylindre. Le second renferme uniquement des problèmes du genre de ceux-ci :

Couper une sphère par un plan, de façon que les surfaces des segments aient entre elles une raison donnée.

Couper une sphère par un plan, de manière que les segments aient entre eux une raison donnée.

La solution de ces questions était fort ardue, vu les ressources qu'Archimède avait à sa disposition '. Cette dernière, entre autres, exigerait la résolution d'une équation du 3" degré.

Un autre de ses écrits Des conoïdes et des sphéroïdes^ montre avec quel talent il savait manier les transformations de figures. Archimède nomme « conoïdes » les corps engendrés par la révolu lio;i d'une hyperbole autour de son axe transverse, ou d'une parabole autour de son diamètre, et « sphéroïde » le solide décrit par une ellipse tournant autour d'un de ses axes. Si la révolution s'opère autour du grand diamètre, le sphéroïde est dit « allongé »; si elle a lieu autour du petit on le qualifie d' « aplati ». Plusieurs propositions de ce livre

(i) Nesselmanx. Die Algebra der Griechen. Berlio, 1842. BOYER. Hist. des Math.

sont souvent usitées, et Tune d'elles : Taire de l'ellipse esta celle du cercle circonscrit, dans le rapport du petit au grand axe, a de multiples applications en Astronomie.

Mais le plus connu des ouvrages d'Archimède est le traité De la mesure du cercle qui renferme seulement trois propositions : il n'en a pas moins contribué à rendre immortel son auteur.

Le génial géomètre part de cet énoncé : un cende quelconque égale le triangle rectangle dont un des côtés de l'angle droit a la même longueur que le rayon et dont l'autre cathète * est égale à sa circonférence. Voici en substance son raisonnement. Le cercle ne peut pas être supérieur au triangle rectangle dont un des côtés de Tanofle droit é^ale la circonférence, et dont l'autre égale le rayon du cercle. Il fait voir ensuite que la même figure ne peut pas être plus petite, et il en déduit qu'en définitive le cercle et le triangle sont de même surface.

Une fois ce résultat acquis, il établit qu'un cercle est au carré construit sur son diamètre à peu près comme II est à 14. Enfin, serrant le problème de plus près, il arrive au but : la circonférence d'un cercle est égale au triple du diamètre réuni à une portion du diamètre, qui est plus petite que le septième de ce diamètre et inférieure à ses 4^ . Il parvint à cette valeur en traçant deux polygones de 96 côtés inscrits et circonscrits au même cercle. Gomme la circonférence doit être naturellement comprise entre eux deux, il établit empiriquement la longueur de cette courbe en calculant leurs dimensions respectives, c'est-à-dire ses limites inférieure et supérieure. C'était un remarquable procédé pour un savant qui vivait près de deux mille ans avant les Leibniz et les Newton !

(1) Le mot catht'tc désigna pendont longtemps le eôlé de l'angle droit d'un triangle rectangle. On le trouve employé encore dans certains traités mathématiques du \\\V^ siècle.

L'ÉCOLE D'ALEX A SDRIE 35

Archiiiiècle trouva ainsi le rapport approrliù de la <irconférence atr drame tre, et montra qu'en choisissant celui-ci comme unité cette courbe est plus grande que 3~ et plus petite que 3-^ . Malheureusement nous ignorons le mode de calcul employé par Archimède pour parvenir à ce résultat. A-t-il procédé par tâtonnements dans l'extraction des racines? Tout porte à le croire puisqu'il se contente simplement d'énoncer les diverses racines des nombres sans fournir de plus amples explications sur les moyens de vérification de sa fornuile.

Dans un autre champ de recherches le savant syracusain fut moins heureux.

Conon, s'était principalement occupé de rechercher les propriétés de Xkélice, mais il décéda vers 220 avant Jésus-Christ, sans démontrer les théorèmes qu'il avait formulés. Aussi un des premiers soins d'Archimède fut-il de compléter l'œuvre inachevée de son ami. 11 donna d'abord la définition précise de la courbe. L'hélice est engendrée par un point qui se déplace sur une droite d'un mouvement uniforme, la droite tournant ellemême d'un mouvement identique autour d'un de ses points. Quantaux démonstrations qu'il fournit elles sont compliquées, et les procédés géométriques employés actuellement ont permis de les rendre beaucoup |)lus simples. Si donc les solutions sont originales, elles ont beaucoup diminué d'intérêt.

Un livre plus remarcjuable est celui De l'équilibre des plans ou de leur centre de gravité. Archimède sV révèle le véritable créateur de la Mécanique. \on seulement les centres de gravité d'un grand nombre de figures géométriques simples y sont déterminés, mais on y trouve ceux plus compliqués des segments de parabole à une ou à deux bases. Le tout est démontré avec concision, et s'appuie sur certaines propriétés insérées dans l'ouvrage sur la Quadrature de la parabole. Il parvint à cette dernière découverte, comme il l'explique lui-

môme dans sa dédicace à Dosithée son maître, au moyen de deux méthodes : Tune indirecte ou mécanique, l'antre géométrique. Nous insisterons sur celle-ci, la meilleure à notre avis. Après un rappel de quelques pro|)riétés « établies par ceux qui ont vécu avant lui », il inscrit dans la courbe un triangle ayant pour base celle du segment et pour sonunet le point de contact de la tangente parallèle à la base. Ce triangle est plus grand que la moitié de ce segment. Puis il en inscrit un autre dans chacun des segments fractionnels. Il en résulte qu'en continuant de la sorte cette bissection, la figure polygonale obtenue différera d'aussi peu qu'on le désirera, du segment. D'autre part ayant démontré que ABC = 4(ADC -f- BEC) et ainsi de suite, il en conclut que chaque triangle est quadruple des deux secondaires suivants. Or comme la somme des triangles inscrits tend vers la sur- ^^^' ^' face de la parabole, celle-ci se

compose donc du triangle inscrit, du quart de celui-ci, du seizième du même, etc. Tout revient alors à sommer une progression géométrique dont la raison est un (]uart. La |)arabole est en définitive les -j du triangle inscrit. Aujourd'hui cette démonstration nous j)araît aisée, une simple application d'une fornuile algél)ri((ue ; il n'en était |)as de même du temps d'Archimède, et pour avoir l'occasion d'admirer une fois de plus son habileté, relatons la méthode générale à laquelle il eut recours pour y parvenir.

Soient par exemple A, B, C, D... des grandeurs dont chacune est un carré ayant pour coté la moitié du précédent. Supposons P, P', P"... représentant respectivement le tiers de B, C, D... alors P -f- B sera le tiers de A ; P' 4- G celui de B ; P'' + D celui de C, etc. D'où B 4- C 4- D H-...+ P + 1" + I*" -h... égalera le tiers de A -h B -h G 4-... ; mais P 4- V + P" -f-... étant le tiers