CHAPITRE XI

La fin du moyen âge et l'Ecole byzantine.

En Occident, la fin du moyen âge marque pour les Mathématiques un certain renouveau dù certainement à l’influence musulmane. L’homme qui pour sa part y contribua largement lu L l’Italien Fibonacci, plus connu sous le surnom de Léonard de Pise. II naquit vers 1170 et voyagea en Orient où son père, régisseur des douanes à Bougie, l’avait engagé à se rendre. Alors.il parcourut l’Egypte, la Syrie et la Grèce, afin de s’enquérir des connaissances scientifiques variées qu’y avaient importées les Arabes ; puis il retourna en Italie, et résolut, en publiant son Liber Abaci (1202) d’initier ses contemporains aux nouvelles doctrines. Comme il l’annonce dans sa préface, il a « tout accompagné de démonstrations afin que ceux qui désirent connaître cette Science puissent s instruire, et que dorénavant la race latine ne s’en trouve pas privée comme elle Fa été jusqu’alors ». Aussi dans les quinze livres où il expose le système de numération arabe, dont il attribue l’invention aux Hindous, il fait ressortir ses avantages sur la notation romaine puis il montre comment la Géométrie et l’Algèbre peuvent se prêter un mutuel concours. Finalement il résout quelques équations du second degré.

Au point de vue historique cet ouvrage est intéressant, car, ayant joui pendant longtemps d’une excès-

sive faveur, il introduisit les chiffres arabes dans toute la chrétienté. Dans sa Practica geometria 1220), on rencontre la formule de l’aire du triangle en fonction de ses trois côtés. Peut-être F a-t-il empruntée aux auteurs mahométans, mais en tout cas elleyest démontrée d’une façon différente. Enfin, dans son Traité des nombres carrés retrouvé et publié seulement en i85y, par le prince Boncompagni, il indique des formules pour résoudre certaines équations indéterminées du second degré et trouve, à l’aide de méthodes graphiques, plusieurs propriétés générales des carrés.

Dans divers pays, le mouvement intellectuel commençait à se dessiner. A Paris, au début du xne siècle Abélard avait enseigné avec éclat la philosophie ; nous avons vu, cent ans après, Jean de Sacro-Bosco professer avec non moins de succès les mathématiques, tandis qu’ALBERT le Grand émettait sur Y infini des considérations assez curieuses pour être rapportées ici. Il dit en propres termes : « Les mathématiciens n’ont pas besoin pour leur Science d’une quantité infinie en réalité, car ils n’envisagent pas la quantité réelle, mais la quantité imaginaire, et se règlent d'après la faculté de l’imagination... Ils n'ont pas besoin d’un infini qui existe réellement, mais d’un infini qui se prête à l'imagination1. » Les calculateurs parisiens des xiu°, xiv° et xve siècles ont accumulé bien des théories sur la quadrature du cercle, avant qu’on soit parvenu à jeter le pont entre les idées d’Archimède et celles de Newton ou de Leibniz. Le célèbre Raymond Lulle s’y évertua en 1299, alors qu’il occupait une chaire au collège des Franciscains, et quelques-uns de ses disciples partageaient déjà les idées que Cavalieri et Wallis devaient défendre plus lard. Ils assimilaient le cercle à un polygone d'un nombre infini de côtés, et sa circonférence à une série de lignes droites infiniment petites. Enfin

(1) liniLIOTlirijUi: NATIONALE, Paris. Manuscrit latin il1

fol. i3.

ECOLE liYZASTIXE

il y a lieu de se demander si Newton ne s’est pas inspiré des idées émises par Jean de Mûris, qui vivait à Paris au milieu du xiv® siècle. Il déclare, dans un ouvrage où il traite de la proportion des vitesses dans les mouvements, que « la vitesse de deux corps subissant une impulsion du môme genre est proportionnelle aux espaces parcourus, et (pie les résultats des forces motrices sont proportionnels aux temps où ces forces s'exercent 1 ».

D’autre part, les études mathématiques étaient assez fortes dans l’Université de Prague fondée en 1 384- On exigeait du candidat au grade de bachelier une connaissance approfondie des ouvrages astronomiques de Sacro-Bosco et de Plolémée, des six livres d’Euclide, et des notions d’arpentage. Dans les écoles de Leipzig et (h' Cologne, on attachait peu d'importance à ces questions. Celles de Bologne et de Païenne étaient très Hérissantes, mais cette dernière surtout en Médecine. A Padoue et à Pise, les programmes se rapprochaient de l’enseignement suivi en France ou en Autriche. On remplaçait toutefois les leçons sur l’Almageste par des cours astrologiques. A Oxford et à Cambridge, jusqu’au milieu du xv° siècle, on se contenta des deux premiers livres d’Euclide et des éléments de la numération.

A Constantinople, pendant la durée du Moyen âge ou s’occupa plus de controverses ihéologiques ou grammaticales (pie de spéculations scientifiques2. Aussi, dans la liste des auteurs byzantins, nous retiendrons seulement deux noms montrant la parfaite ignorance mathémathique des savants de la nouvelle Rome.

(i) Bibliothèque NATIONALE, Paris. Manuscrit latin nu 7190. De movenlibus et motis, fol. 7 i) .

(a) Les historiens intitulent habituellement : « École byzantine », une liste de quelques auteurs s’étendant jusqu’au milieu du xv“ siècle, tels que Psellus, Nicolas de Smyrne, le moine Argyrus, Planude, Pachvmèrcet les deuxautres savants dont nous analysons les <ruvres. Nous croyons que leurs travaux 11e méritent pas un tel honneur, mais nous avons conservé cette dénomination en tète de ce chapitre, pour nous conformer à lusage.

Le premier, Barlaam, originaire de la Calabre, mourut vers le milieu du xivc siècle. C'était un moine appartenant à l’ordre de Saint-Basile. Très intelligent, il fut envoyé comme ambassadeur près du pape, qui résidait alors à Avignon, afin d’examiner la possibilité de réunion des Eglises grecque et latine. Pendant cette mission il enseigna, dit-on, le grec au poète Pétrarque. Puis, à son retour à Constantinople, il s'acquit une juste réputation en couvrant de ridicule les prétentions saugrenues, les idées baroques et les sots préjugés des religieux quiétistes du Mont-Athos, qui avaient à leur tète Palmos.

C’est au milieu de ces discussions qu’il écrivit sa Logistique, consacrée à l’exposition des principes de calcul des Grecs, en particulier de leur laborieux procédé relatif aux opérations sur les fractions.

Au siècle suivant, Moschopovlos, dont M. Tannery1 a récemment édité l’ouvrage sur les Carrés magiques, est le seul mathématicien quelque peu original de cette période.

Qu’entend -on d’abord sous ce nom? Soit un carré A B C D. Divisons-le par des parallèles aux côtés en petites cases égales, et inscrivons dans chacune un nombre entier. La figure A B C D sera un « carré magique », si la somme des nombres suivant chaque ligne horizontale, chaque colonne ou chaque diagonale, est toujours identique. Tel est le tableau ci-dessus où la « somme magique » est constamment 1 5.

On rencontre cet amusement mathématique dans l’Inde et chez les Arabes. Les Byzantins les ont-ils reçus par l’intermédiaire de ces derniers, ou est-ce simplement une ancienne tradition qui des Grecs d’Orienl

Carré magique.

(i) Paul Tannery. Le traite magiques. Le Puy, 1 880 .

manuel clc Moschopoulos sur les carres

ÉCOLE BYZANTINE t)I

passa aux disciples de Mahomet? Enigme difficile à percer. Ceci, sous de futiles apparences, se rattache du reste à une considération plus haute : quel degré d’originalité faut-il attribuer à l’Islamisme? Va-t-on pas l'ail honneur à ses sectateurs de trop d’idées appartenant à la civilisation hellène? Leur génie d’invention était-il si puissant? Problème plus ardu à résoudre qu’à poser! Quoi qu’il en soit et jusqu’à nouvel ordre, nous attribuerons la paternité de celle petite découverte à Moschopoulos qui indiquâtes propriétés générales des carrés magiques et les règles de leur formation Son livre ne porte en effet aucun cachet arabe. II ignore en particulier la signification symbolique qu’on leur attribuait dans tout l’Orient. Mais pour trancher la difficulté il faudrait trouver dans un auteur plus ancien une allusion à ce sujet. Ce débat de priorité serait intéressant. Avis aux érudits.

(i) Voir, sur les Carrés magiques, la 3e partie du livre de M. E. Fourrey. Récréations arithmétiques , Paris, 1899.