CHAPITRE XII

Les précurseurs de la Mathématique moderne.

La renaissance des Mathématiques, comme celle des Lettres et des Arts, suivit à peu de distance l’invention de l’imprimerie et la chute de l’empire byzantin. Les Grecs instruits fuient leur patrie envahie par les Turcs (i453), et se réfugient en grand nombre en Italie, emportant avec eux les plus précieux manuscrits soustraits au pillage. L’Occident peut alors connaître dans leur pureté originale les écrits des grands mathématiciens de l’Antiquité défigurés par les copistes ou les traducteurs arabes. Deux contrées surtout vont se distinguer dans les Sciences. L’Italie, la terre classique des chefs-d’œuvre, s’enorgueillira de ses algébristes, et l’Allemagne portera la Trigonométrie et l’Astronomie à un haut degré de perfection.

Au début de cette période nous rencontrons Jean Muller, plus connu sous le nom de Rkgiomont.vkus, auquel la Trigonométrie doit de remarquables progrès. Né à Kônisberg en i436, il étudia à Vienne sous Georges Purbach, puis se mit à lire dans leur langue les savants les plus illustres de la Grèce ancienne. Il laissa même des traductions et des commentaires de l’ Almageste do Plolémée, des Sections coniques d’Apollonius, et des Œuvres de Héron. Enfin et surtout, il composa son important ouvrage De triangulis omnimodis , publié seulement à Nuremberg en 1 553, et où il résout bien des

LES PRECURSEURS

questions nouvelles de Trigonométrie rectiligne et sphérique. Dans tous les calculs, il substitue les sinus aux cordes, ainsi que les Hindous l’avaient lait avant lui; mais il n’eut sans doute pas connaissance des travaux cl’Al-Batani.

A l’aide de trois données quelconques il détermine les divers éléments d’un triangle qu'il résout au moyen d’équations du second degré. Du reste, dans son Algorilhmus demonstratus , il prépara la voie à Viète en substituant les lettres aux nombres. Son œuvre astronomique fut encore plus considérable ; mais nous ne saurions parler ici de ses observations sur les comètes, ni de sa réforme du calendrier, exécutée sur les ordres du pape Sixte IV.

Un autre de ses compatriotes, le cardinal Nicolas de Cusa, en s’attaquant au fameux problème de la quadrature du cercle trouva une nouvelle formule pour le calcul du rayon d’une circonférence. A peu près vers la même époque, se place Jean ’Widman d’Eger qui dans son Arithmétique marchande imprimée à Leipzig en 1489, employa, le premier peut-être, les signes -j- et — pour désigner l’addition et la soustraction. Cependant ces symboles ne lui servent pas dans les opérations mais marquent seulement l’excès ou la dillerence. D’ailleurs, au sujet de l’origine de la plupart des notations mathématiques, nous nous rangeons à l’avis de M. Charles Henry. Elles ne sauraient être attribuées à « une création individuelle ». Elles ne sont que des « abréviations de leurs significations verbales »*, et reposent sur l’expérience de nombreuses générations.

En Italie, la Science continuait son mouvement ascendant. Au milieu du xve siècle, naquit à Borgo-San-Sepolcro, en Toscane, un ardent admirateur des Arabes, Lucas Paccioli. Frère mineur, il professa dans plusieurs

(1) Charles He.nky. Sur l’origine tic quelques notations mathématiques, dans la Revue archéologique. Paris, 1879.

collèges de son ordre, à Pérouse, à Rome, à Pise, à Venise,, et il termina ses jours à Florence.

Sa Suinina de arithmetica , geometria , proportioni e proportionalita ( 1 494) ^ la plus importante de ses publications, est composée de deux parties : la première roule sur F Arithmétique et l'Algèbre, la seconde sur la Géométrie. Dans celle-là, il donne les méthodes de résolution des équations pouvant se ramener au second degré. Le mot italien « cosa », traduction du mot latin « res », la chose, lui sert à désigner l’inconnue, qu’il représente parfois par n ou nj. 11 nomme son carré « census » ou cc il eenso », et l’indique quelquefois par z; de même son cube « cuba » est figuré par c. Ce n’est cependant pas encore l’Algèbre moderne : les quantités connues n’étaient pas remplacées par des lettres, les questions à résoudre étaient toujours numériques, et dans les formules il ne se servait, comme signes, que d’abréviations de mots. Ex. p pour plus (addition) ; æ pour æqualis (égalité). Gomme il considérait seulementles racines positives, il n’employait pas de symbole pour la soustraction. Enfin il ramenait toutes les équations du second degré à trois cas, et il formulait en vers latins le procédé pour résoudre chacun d’eux1.

Son ami Leonard de Vinci, qui occupe une si grande place dans l’Histoire de l’Art, cultiva également avec succès la Mécanique et l’Hydrostatique. Parmi ses plus curieuses inventions, figure le tour à ovale dont le principe était neuf. Jusqu’alors on n’avait tracé les courbes qu’à l’aide d’une pointe mobile le long d’un plan fixe. L’illustre artiste opéra d’une façon inverse. 11 avait donc à se poser un problème d’un genre nouveau : quel

(i) Voici, à titre de curiosité, la règle du premier cas :

Si res et census numéro coæquantur, a rebus Dimidio sumpto, censum producere debes Addereque numéro, cujus a radice totius Toile semis rcrum, census lalusque redibit.

Rouse Rall. A short accounl of lhe Ilistory of Malhematics. Londres, 1888.

LES PRECURSEURS

mouvement faut-il donner au plan pour décrire de la sorte une ellipse, et parmi l’infinité de solutions répondant à la question choisir la plus sim pie ? Il y réussit entièrement en faisant mouvoir le plan d’un angle de grandeur constante, dont les deux côtés glissent sur deux points fixes. D’autre part, on lui attribue aussi la détermination du centre de gravité de la pyramide.

Mais c’est surtout au xvie siècle que commence la belle phase de l’Histoire des Mathématiques italiennes. Les recherches de ces savants peuvent se ranger sous deux catégories. Les uns étudient et complètent les travaux de l’Antiquité, tandis que les autres, novateurs hardis, s’attaquent à l’Algèbre.

A la tète des premiers brille Fuvxçois M.vurolycus, « le seul véritable géomètre qu’ait eu la Sicile depuis Archimède »L 11 professa longtemps dans sa ville natale et composa un nombre prodigieux d’ouvrages; mais de son vivant il ne publia qu’une Cosmographie (i54o). D’ailleurs la plupart de ses écrits consistaient en traductions d’auteurs grecs, et sont aujourd’hui perdus. Heureusement ses recherches originales nous ont été conservées dans ses Opuscules mathématiques publiés quelques jours après sa mort ( 1 5— 5) . Sa théorie arithmétique renferme de curieux aperçus sur les propriétés des nombres polygonaux beaucoup plus complètement étudiés que chez Diophante. Il envisage plusieurs séries nouvelles des nombres composés de deux ou trois facteurs dont il détermine le terme général et la somme. En Géométrie, les sections coniques l’attirèrent et il sut déduire de leurs propriétés d’utiles applications à la théorie des nombres. Les propositions qu'il découvrit lui permirent d’établir la Gnomonique sur de nouvelles bases. En Mécanique il s’attaqua à la recherche du centre de gravité du cône et du paraboloïde de révolution, mais

(i) Libri. Histoire den Sciences Mathématiques en Italie , t. III. Paris, 1841.

comme il conservait ses travaux clans ses cartons, son émule Commandin le devança.

Enfin la pénétration de son esprit se dévoile par son explication de l’arc-en-ciel, de la vision, de la marche des rayons lumineux réfléchis ou réfractés et de divers autres phénomènes optiques.

Parmi ses compatriotes, Jean-Baptiste Benedetti de Venise, dans sa Résolution de tous les problèmes d’Euclide avec une seule ouverture de compas ( 1 5 5 3) et dans ses Spéculations mathématiques et physiques ( 1 585) énonça bien des vérités scientifiques. Citons seulement ses découvertes mécaniques. Il expliqua l’action de plusieurs machines, les effets de la force centrifuge et l’équilibre du levier ; il ramena la recherche du mouvement d’un corps à la détermination de celui de son centre de gravité. Polémiste dans l’âme, il excella dans les luttes mathématiques qui passionnèrent son temps, et souvent il fut dans le camp de la vérité. Parmi ses adversaires, qu’il combattit d’ailleurs à armes courtoises, se trouvait le Portugais Pedro Nunez qui, depuis 1 544 jusqu’à sa mort, professa les mathématiques à F Université de Coïmbre, et dont le nom est resté attaché à la loxodromie ou courbe rencontrant tous les méridiens d’une sphère sous un angle constant. Cette ligne était importante à considérer dans l’ancienne navigation à voile, puisque c’était celle suivie par un navire dirigé constamment sur le même rhumb de vent. Elle n’a plus maintenant qu’un intérêt rétrospectif, car dans la marine à vapeur moderne on la délaisse, les vaisseaux suivant maintenant la ligne géodésique.

Ce savant détermina encore dans son De crepusculis (i54v le jour de l’année où la durée du crépuscule est minimum, et il eut aussi maille à partir avec Oronce Eine à propos de certains paralogismes algébriques.

Nous avons indiqué plus haut que plusieurs algébristes italiens en s’attaquant à la Science des Arabes lui firent faire de mémorables progrès. Justifions cette

LES PRÉCURSEURS

assertion. Avant eux, on n’avait su résoudre que différentes équations déterminées des deux premiers degrés à racines positives. Ils découvrirent le calcul des imaginaires, et parvinrent jusqu’à la solution des équations générales du troisième et du quatrième degré. Seul l’obstacle qui devait plus tard résister au génie de Lagrange les empêcha d’aller plus loin.

Gës nouvelles méthodes seraient dues principalement à Sc i pion Ferrü, mais ne les ayant pas publiées, elles périrent avec lui1. Celles de Nicolo Tartaglia nous sont mieux connues. A la suite d’un défi, il résolut en quelques heures les problèmes proposés par Fiore à qui elles avaient été communiquées trente ans auparavant par Ferro lui-même. On engagea des paris, on s’envoya des cartels, bref tout le monde s’intéressa à ces joutes scientifiques, comme autrefois les luttes des athlètes dans l’arène ou les tournois poétiques passionnaient les habitants d’Athènes. Ces différentes questions se ramenaient du reste à une équation particulière du troisième degré.

Mais son Traité des nombres et mesures est son principal ouvrage. Dans cette espèce de cours complet de Mathématiques on rencontre, entre autres nouveautés, le développement du binôme dans le cas de l’exposant entier et positif, de curieux problèmes sur les maxima et minima de fonctions algébriques et plusieurs simplifications relatives au calcul des radicaux.

Dans sa Science nouvelle (i55o) il a obtenu ce principe de balistique : pour atteindre l’effet maximum il faut tirer sous l’angle de 45°- Enfin il essayait dans ce livre d’édifier la Mécanique sur des bases plus

(i) Voici ce qu’écrit à cc propos Libri, loc. cit., p. 149 : « Cet homme à qui l'algèbre doit un si notable progrès fut Scipion Ferro de Bologne, qui professa dans cette ville depuis 149G jusqu’en ioïS. Ayant résolu cette équation qu’on désignait alors par le nom de cubes et choses égales aux nombres, il mourut sans publier sa découverte ; mais il avait confié sa formule à Antoine Fiore, qui s’en servit pour proposer des problèmes à différents géomètres, et entre autres, en i535, à Tartaglia. »

Boyer. ’Hist. des Math. 7

rationnelles, et s’il n’y réussit pas complètement, il s’est rendu compte, d’une façon très exacte, des principes qui régissaient la chute des corps. Galilée devait les découvrir seulement un siècle plus tard. D’autre part, dans le cinquième livre de ses Questions et inventions nouvelles , mises au jour la même année, il traita de l’arpentage et du levé des plans. Son activité s’exerça donc dans bien des domaines scientifiques.

Son rival fut Jérome Cardan qui, né à Pavie le 24 septembre ijoi, cultiva également l’Algèbre avec succès. En différentes circonstances, il pria Tartaglia de lui enseigner son procédé de résolution des équations du troisième degré. Après avoir essuyé plusieurs refus, il eut gain de cause, celui-ci eu la faiblesse de lui expliquer, dans une pièce de vers, sa découverte et Cardan, malgré les promesses les plus formelles relativement au secret, l’inséra dans son Ars magna (ia4a) avec l’extension due à son élève Ferrari, (pii était arrivé à résoudre l’équation du quatrième degré. Quoique sa conduite dans ce cas fût plutôt blâmable cet ouvrage rendit, on ne peut s’empêcher de le constater, de grands services à la Science.

Il y donnait un moyen pour la résolution approchée des équations. La base de la méthode est le changement de signe qui se produit par la substitution successive à la place de l’inconnue de deux nombres entre lesquels se trouve comprise une racine. En outre, il a découvert, entre autres relations qui lient les racines aux coefficients, les deux théorèmes suivants :

Toute équation du troisième degré est divisible par l’inconnue diminuée de la racine.

Le coefficient du second terme est égal à la somme des racines changée de signe.

Le premier il distingua les racines négatives et positives. Enfin il a amorcé, bien des points de la théorie générale des équations, et il a ébauché le calcul des imaginaires.

LES PRECURSEURS

Son traité De subtilitate est une encyclopédie fourmillant d’idées ingénieuses, d’inventions ou d’appareils intéressants, mais dont la plupart sortent de notre cadre. Quelques-unes des curieuses opinions qu'il y émet se rattachent cependant à la philosophie mathématique.

Parmi ses élèves, mentionnons Louis Ferrari, qui dans sa trop courte carrière, terminée en 1 565, donna la solution générale des équations du quatrième degré à laquelle nous avons fait allusion ci-dessus, et Raphaël Bombelli dont le Traité d’algèbre { 1672) clôt dignement la série des ouvrages de l’illustre école italienne du xvie siècle. On y rencontre très logiquement disposées les découvertes de ses prédécesseurs immédiats accompagnées de commentaires intéressants, de simplifications inattendues et de vues souvent très personnelles. Enfin c’est là que se trouve annoncé d’une façon générale la réalité des trois racines d'une équation du troisième degré, quand elles se présentent toutes trois sous la forme imaginaire.

Pendant que l’Algèbre atteignait un si haut degré de perfection en Italie, les autres contrées de l’Europe étaient assez pauvres en mathématiciens.

Adrien Romain, qui professa longtemps les mathématiques àLouvain, déterminait dans sa Methodus polygonum (1090) la valeur de - avec i5 décimales ; le Hollandais van Colen dans son De Circulo la calculait jusqu’à la trentième décimale. Metius professeur à Francker, s’appliquait à une détermination encore plus exacte.

E11 outre, son Canon triangulorum a une certaine valeur, car il essaye de ramener à six cas généraux les divers problèmes de Trigonométrie sphérique. On regarde aussi un savant allemand de ce temps, Praetorius , comme inventeur d’un instrument géodésique permettant de prendre des angles visuels. Quant à la France, elle semble se recueillir, avant d’enfanter le grand Yièle. Passonsdoncvite sur Butéon qui, dans sa Logistica(io5<)),

imita l’exemple de Stit'el en représentant dans les équations algébriques les inconnues par des lettres. Son élève Oiionce Fine, un des plus fameux quadrateurs du cercle, s’acquit une grande réputation auprès de ses contemporains, mais aucun de ses écrits ne renferme d’inventions originales. Pierre La Ramée fut le premier professeur de mathématiques au Collège de France. Ses Cours de Géométrie, d’ Arithmétique et d’ Algèbre eurent assez de vogue. Il périt malheureusement dans le massacre de la Saint-Barthélemy. Mais assez de ces travailleurs de second plan. Avant toutefois d’arriver au grand Maître, constatons que le xvie siècle ne fut pas uniquement consacré aux arts. A côté des Michel-Ange et des Raphaël nous avons les Tartaglia et les Cardan. Si les immortels chefs-d’œuvre des premiers sont restés sans rivaux tandis que les découvertes des seconds furent rapidement dépassées parcelles des Yiète, des Descartes ou des Newton, cela tient surtout à l’essence même de leurs recherches. L’esthétique a des limites dans la perfection, la Science n’en connaît point. Le Louvre peut à peine soutenir la comparaison avec le Parthénon, tandis qu’un parallèle entre Archimède et Pascal n’a pas de sens, celui-ci disposant de moyens que celui-là ne pouvait même pas soupçonner.