CHAPITRE XIII

Invention de l'Algèbre moderne par Viète, et découverte des logarithmes par Napier.

Avec François Viète, sieur de la Bigotière, s’ouvre une ère nouvelle pour la Mathématique : l’Algèbre moderne s’édifie. Ses successeurs perfectionneront son œuvre, il est vrai. Ils remplaceront ses notations qui, nous allons le voir, sont parfois assez compliquées, par des symboles plus élégants ou plus généraux, mais les fondements de ses géniales méthodes resteront; et si notre siècle Ta quelque peu oublié, ses contemporains surent admirer ce « géant de la plus haute stature », qui, dans la marche du progrès, comme le dit avec raison de Billy, semble dominer tous les autres par ses vastes conceptions.

Né à Fontenay-le-Comte, en i54o, cet illustre algébriste fut d’abord avocat au barreau de sa ville natale, et obtint par la suite une charge de conseiller au Parlement de Bretagne (i 074)- Puis devenu maître des requêtes sous Henri III, disgracié ensuite quelque temps, il rentra dans les bonnes grâces royales en 1089, et fut enfin appelé par Henri IV au Conseil privé, fonction que sa mauvaise constitution lui fit résigner en décembre 1603. Mais les douceurs de la retraite n’étaient point laites pour lui. Il mourut peu après, le 26 février i6o3. Du moins il laissait une œuvre qui, elle, ne devait point périr.

En vue de remplacer l’Almageste de Ptolémée dont sa sagacité lui avait démontré l’insuffisance, il projeta son

Harmonicum cœleste , malheureusement égaré aujourd’hui. Pour venir à bout de cette entreprise il l'allai l avant tout réformer la Trigonométrie, construire des tables plus étendues que celles alors en usage, donner aux astronomes des règles commodes pour la résolution des triangles, et leur apprendre à se servir des tangentes et des sécantes que Rhéticus venait d’imaginer. La lecture de son Canon mathematicus (1579) montre quels services il a rendus à la science dans cette voie. C’est un recueil de tables trigonométriques où pour la première lois on voit en regard de l’angle correspondant la valeur des sinus, tangentes, sécantes, cosinus, cotangentes et cosécantes, calculée de minute en minute pour un rayon égal à 100000. Le Liber inspection uni lui fait suite. 11 renferme les formules pour la résolution des triangles plans et sphériques, ainsi que de nombreux résultats numériques.

Pour confectionner ces ouvrages, Yiète laisse de côté les laborieux procédés des Grecs, ou ceux plus perfectionnés des Arabes. 11 ramène la recherche du sinus fondamental de une minute à celle delà longueur de la circonférence par la méthode des dissections successives d’Archimècle qu’il rajeunit. En affranchissant la Trigonométrie de ses énoncés prolixes, il présente sous forme de tableaux les éléments connus et inconnus cl’un triangle, et constitue de la sorte les formules générales, expéditives, dont nous nous servons journellement. Toutefois c’est principalement la Trigonométrie sphérique qui a bénéficié de ses travaux. Al Batani avait découvert la relation permettant de trouver les angles A, B, C d’un triangle sphérique lorsqu’on connaît les trois côtés. Yiète fit de cette expression le point de départ de féconds développements. 11 trouva les diverses formules de résolution sans passer par la décomposition en deux triangles rectangles. D’autre part, il se servit le premier des propriétés du triangle sphérique polaire ou supplémen-

Fig. 12.

FMANÇOIS VIETE.

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L’ALGEBRE MODERNE

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taire dans les calculs où cela peut avoir quelque intérêt.

Le savant mathématicien donna encore dans son Traité des sections angulaires d’autres formules trigonométriques non moins importantes. Il exprime Sin nx. Cos nx et Tg nx en fonction de Sin x, Cos x et Tg x, en déterminant les coefficients par des additions successives des nombres figurés de différents ordres. 11 parvient d’une façon analogue à l’équation générale de la corde de l’arc simple en fonction de la corde de l'arc multiple. Mais arrêtons là celte analyse écourtée de ses premiers travaux, car il nous reste à aborder la plus belle partie de son œuvre et à montrer qu’après avoir renouvelé la Trigonométrie des Anciens, il a su créer une science nouvelle.

Au xne siècle, Léonard de Lise enseigna à l’Europe les rudiments de l’algèbre. Il s’était inspiré lui-même des travaux arabes, et n'allail pas au delà des équations du second degré. En outre, les méthodes usitées pour obtenir la valeur de l’inconnue étaient basées sur des considérations presque exclusivement géométriques. Les quantités étaient représentées par des lignes droites, les données étaient toujours des nombres, et dans les calculs l’inconnue seule était désignée par un symbole. Tel était l’état de l’Algèbre au moment ou Viète en aborda l'étude. Il commença d’abord par remplacer les connues comme les inconnues, par des lettres capitales. Les premières sont représentées par les voyelles A, E, I, O, Y, Y; les secondes par des consonnes B, G, D, F..., les puissances de l’inconnue par la même lettre avec un des indices q, c (abréviations de quadratum et de cubus) combinés par addition des exposants. Mais afin de conserver dans les équations le principe de l’homogénéité, il indique les données par un signe de leurs dimensions formé des abréviations des mots planum et solidum et de leurs combinaisons.

Il se sert de -f- et — pour l’addition et la soustraction. Pour la multiplication, il emploie la particule in,

ioG HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES

pour la division il sépare le dividende du diviseur au moyen d’une barre horizontale, et pour les racines il fait usage des lettres l ou k.

Remarquons que quand il ignore la grandeur du terme à soustraire il le note par = ( minus incertum). Cette distinction paraît oiseuse aujourd’hui, mais s’explique du temps de Viète. Si son Algèbre comprend, en effet, toute la science des équations, elle repose seulement sur la considération îles racines positives, et à l’exemple des anciens algébristes il rejette les quantités négatives et imaginaires. Enfin comme l'homogénéité disparait dans les applications, il représente alors l’inconnue et ses puissances par leurs indices.

Empruntons d’ailleurs à un mémoire de Rilter1 le tableau résumant sa nomenclature 2 :