LA GEOMETRIE ANALYTIQUE

presque tous ses ouvrages. Enfin, pour terminer de suite ce qui est relatif à sa vie1, disons que la reine Christine l’attira en Suède (1649). ^ >’ reçu magnifiquement, et logé à l’ambassade française de Stockholm. Mais sa santé débile ne put supporter les rigueurs du climat. 11 succomba à une fluxion de poitrine, le ii février i6jo.

Laissant de côté son œuvre philosophique, le principal écrit de Descartes est sa Géométrie (1637), ou se trouvent consignées ses immortels travaux. Le géomètre tourangeau esquisse à ses successeurs la voie à suivre. 11 n’a pas voulu composer un traité didactique à leur usage, mais leur tracer simplement le cadre qu’ils auraient à remplir.

Les courbes, découvertes par les Grecs au fur et à mesure des besoins, n’étaient reliées entre elles par aucune relation. Descartes sentit la nécessité d’apporter quelque ordre dans ce domaine. Il fallait d’abord arriver à définir ces figures, ou en d’autres termes poser les règles permettant de les construire. Tout se ramenait, somme toute, à fixer d’une manière précise la position d’un point dans un plan. Or celle-ci ne dépend ([ne de deux éléments, ses « coordonnées ». Donc la définition d’une courbe, autrement dit son équation, n’est pas autre chose que la relation entre les coordonnées de ses points. Il est facile alors d’établir des formules générales s’appliquant ensuite aux cas particuliers.

Après avoir exposé l’idée directrice de la Géométrie , passons à son examen.

L’auteur commence d’abord par établir les bases de son système de coordonnées (rectilignes). Il montre que dans un plan, un point M est entièrement défini par ses distances MP et MO à deux droites fixes xox' ,

(1) Voir pour plus de détails : Bailliît. Vie de Descaries, 2 vol. Paris, i(i<)i-()3.

yoy' qui se coupent. Maintenant, si on trace une courbe quelconque sur un plan et que l’on considère les coordonnées de chaque point de cette ligne, à toute valeur de x correspondront une ou plusieurs valeurs de ?/, celle-ci sera donc fonction de x et la relation y = f (x) caractérisant les divers points du lieu géométrique sera son équation. Descartes était parvenu à traduire en relations numériques des propriétés géométriques.

Ensuite il divise les courbes en deux catégories : les premières ou « géométriques » peuvent s’engendrer par l’intersection de deux lignes se mouvant chacune parallèlement à un des axes de coordonnées avec des vitesses

commensurables (conchoïde , cissoïde, par exemple); les secondes ou « mécaniques », dont le rapport des mouvements qui les engendrent est inconnu (spirale, quadratice, cycloïde, etc.).

Il ne s’occupe que de celles-là, et nous verrons plus tard Leibniz modifier sa classification.

Descartes s’attache aussi dans sa Géométrie à fournir une règle générale du problème des tangentes. Puis, dans la dernière partie, consacrée exclusivement à l’Algèbre, il introduit l’usage des premières lettres de l’alphabet pour désigner les quantités connues, et celles de la fin pour représenter les inconnues. Il emploie les exposants tels que nous le faisons aujourd’hui, il simplifie la théorie de la transformation des équations données par Viète et il s’occupe de trouver les racines commensurables. Ensuite il aborde les équations du 3e et du 4° degré. Fournissant les règles nécessaires à leur résolution, il démontre qu’on ne saurait les construire à l’aide seulement de la règle et du compas. Le premier il fit voir qu’il était aussi logique de représenter les grandeurs négatives que les quantités positives, et qu’il était suffisant d’établir un théorème dans