LA GÉOMÉTRIE AXA LYTIQUE

un cas général pour qu'il se vérifie dans tous les cas particuliers.

D’autre part, il énonce, au cours de ces pages, la règle si. importante pour déterminer le nombre des racines positives et négatives. Enfin, en introduisant la méthode des coefficients indéterminés, il pensait avoir donné un procédé absolument général pour résoudre les équations algébriques d’un degré quelconque ; mais l’avenir devait donner un démenti a sa trop grande confiance.

Peu de temps après l’apparition de la Géométrie, comme Descartes avait omis « beaucoup de choses qui pouvaient y être ajoutées pour la commodité de la pratique », ainsi qu’il l’avoue dans sa préface, de Beaune l’annota afin d’en faciliter l’accès aux moins savants. Il y réussit fort bien puisque son illustre ami lui-même tenait ce commentaire en grande estime.

Parmi les autres livres de Descartes, Y Optique et les Météores appartiennent plus à la Physique qu’aux Mathématiques. Quant à son Explication des machines, de curieuses vues y sont exposées. Dans ce court aperçu, il s’efforcait de mettre en lumière que l’invention des « engins par l’aide desquels on peut avec une petite force lever un fardeau », repose sur le principe suivant : La même force qui peut soulever un poids « de 100 livres à la hauteur de deux pieds, en peut aussi lever un de 200 livres à la hauteur d’un pied, ou un de 4oo à la hauteur d’un demi-pied. » Descartes appelle donc force ce que nous dénommons aujourd’hui travail. D’autre part, il pose le principe de la conservation de la quantité de mouvement, et arrive à quelques lois relatives à la théorie du choc ; mais les exemples qu’il donne semblent un peu confus.

La grande découverte cartésienne fut le signal d’une rénovation algébrique. De Beaune, un des premiers qu’elle enthousiasma, fixa les limites supérieure et inférieure des racines réelles ; Pascal, dont nous étu-

(lierons plus loin les remarquables recherches, imagina son triangle arithmétique pour calculer les coefficients du développement d’un binôme élevé à une certaine puissance. De Sllse perfectionna le mode de construction des racines des équations algébriques par l’intersection des courbes, et Wallis se servit des exposants fractionnaires et négatifs. Enfin, la méthode des indivisibles apparut. En quelque sorte, ce procédé peut rendre les mêmes services que le calcul intégral tel que nous l’appliquons aujourd’hui, mais limité à l’intégration des fonctions différentielles. On en est redevable au savant jésuite italien Cavalieri, qui professa longtemps à Bologne. Sa découverte se trouve rapportée dans sa Geometria indivisibi/ibus continuorum nova quadam ratione promota ( 1 63 5) , et il l’a perfectionnée par la suite dans ses Exercitation.es geometricæ (1647). Bien qu’elle soit oubliée aujourd’hui, elle est curieuse, car elle jette le pont entre la méthode d’exhaustion d’Archimède et l’Analyse infinitésimale de Newton .

Cavalieri imaginait le continu comme une infinité de parties insécables, termes ultimes de sa subdivision en tranches parallèles. « L’indivisible » devait changer de nom cinquante ans plus tard, et s’appeler « l’élément différentiel ». Grâce à ces considérations, la grandeur relative de deux surfaces ou de deux solides se trouvait alors aisément par la sommation d’une suite de lignes ou de plans. Soit à comparer, par exemple, un triangle au parallélogramme ayant même base et même hauteur ; il suffira de décomposer les deux figures au moyen de parallèles aux bases, équidistantes entre elles. La comparaison du tétraèdre au parallélépipède de même base et de même hauteur s’établira d’une façon analogue en les décomposant en éléments par des plans parallèles aux bases. Au moyen de ce procédé, le géomètre milanais put résoudre un certain nombre de problèmes proposés par Képler, entre autres celui relatif à la mesure

Fig-. iG.

Portrait de Fkrmat, d'après la gravure placée en tète de ses Œuvres. Toulouse, 1679.