PASCAL

La plus célèbre de ses propositions arithmétiques est la suivante :

La somme ou la différence de deux cubes 11’est jamais un cube, ou d’une manière plus générale au-dessus du carré aucune puissance n’est décomposable en deux puissances de même nom

Enfin Fermât participa aune autre découverte de son temps, le Calcul des probabilités ; mais pour éviter des redites, nous en parlerons seulement plus loin, lorsque nous analyserons les œuvres de son promoteur Biaise Pascal.

Le magistrat de Toulouse fut donc un des plus grands noms de l’histoire des Mathématiques. Malgré le peu de temps que ses fonctions lui permettaient de consacrer à la science, il sut comme Yiète se créer une place à part. En appliquant l’Algèbre à la Géométrie, il se fit l’égal de Descartes. Qui pourrait dire si Leibniz et Newton ne doivent pas à ses vues le trait de lumière qui lésa guidés vers l’analyse infinitésimale? Avec l’auteur des « Provinciales » il fut un des pionniers de la théorie des hasards, et surtout s’il a des rivaux dans les autres branches, ses découvertes sur les nombres lui assurent une supériorité unique. Dans ce domaine, on chercherait en vain son émule. Géant sublime, sphinx impénétrable, il s’est frayé des routes qu’aucun savant n’a encore pu retrouver malgré les ressources modernes. G’est un privilège sans exemple dans les annales de la Science.

Avec Blaise Pascal qui naquit à Clermont le 19 juin i6a3, l’Arithmétique, la Géométrie, l’Algèbre et la Mécanique vont s’enrichir tour à tour, et le Calcul des probabilités va naître. Dès son jeune âge, notre futur savant montra les plus rares aptitudes au travail. Aussi son

p) En d'autres termes, l’équation xn -j- yn = zn ne peut être satisfaite pour aucune valeur entière de x, y, z, si n est supérieur à 2. Cette proposition dite théorème île Fermât n’a été démontrée que pour des valeurs particulières de n .

I a8 HISTOIRE DES MATHEMATIQUES

père, président de la Cour des aides, abandonna-t-il sa charge en i63i pour venir à Paris se consacrer exclusivement à l’éducation de son enfant dont il voulut être le premier et l’unique maître. Mais poussant son fils beaucoup plus vers le grec et le latin que vers la Science, il lui avail caché tous les livres mathématiques de sa bibliothèque. Une rencontre extraordinaire, racontée par sa sœur en ces termes, allait cependant le déterminer à développer les goûts du jeune Biaise dans cette voie, e* nous la rapportons ici car elle nous montre l’éveil d’un génie précoce : « Mon père était homme savant dans les Mathématiques, et avait l’habitude par là avec tous les habiles gens en cette Science, qui étaient souvent chez lui1; mais comme il avait dessein d’instruire mon frère dans les langues, et qu’il savait que la Mathématique est une Science qui remplit et qui satisfait beaucoup l’esprit, il ne voulut point que mon frère en eût aucune connaissance, de peur que cela ne le rendit négligent pour la langue latine et les autres sciences dans lesquelles il voulait le perfectionner. Mon frère voyant cette résistance, lui demanda un jour ce que (■'était que la Mathématique, de quoi on y traitait : mon père lui dit en général que c’était le moyen de faire des figures justes, et de trouver les proportions qu’elles avaient entre elles, et en même temps lui défendit d’en parler davantage et d’y penser jamais. Mais cet esprit qui ne pouvait demeurer dans ces bornes, dès qu’il eut cette simple ouverture, que la Mathématique donnait des moyens de faire des figures infailliblement justes, il se mit lui-même à rêver sur cela à ses heures de récréation; et étant seul dans une salle oii il avait coutume de se divertir, il prenait du charbon et faisait des figures sur des carreaux, cher-

(i) Entre autres, le P. Mersenne, Roberval, Mydorge et Carcavi. qui s’assemblaient également au couvent des Minimes, place Royale, chez le P. Mersenne. Ces conférences furent même l'origine de l’Académie des Sciences, fondée seulement en iGüo.

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(D’après une gravure du x.vn' siècle, tirée du cabinet de M. Guerrier de Bezanee, alors maître des Requêtes.)

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(■liant (les moyens défaire, par exemple, un cercle parfaitement rond, un triangle dont les côtés et les angles fussent égaux, et autres choses semblables. Il trouvait tout cela tout seul ; ensuite il cherchait les proportions des figures entre elles. Mais comme le soin de mon père avait été si grand de lui cacher toutes ces choses, il n’en savait [tas même les noms. Il fut contraint de se faire lui-même des définitions : il appelait un cercle un rond, une ligne une barre, et ainsi des autres. Après ees définitions, il se fit des axiomes, et enfin il fil des démonstrations parfaites; et comme l’ôn va de l’un à l’autre dans ces choses, il poussa les recherches si avant, qu’il en vint jusqu'à la trente-deuxième proposition du premier livre d’Euclide la somme des angles d’un triangle est égale à deux droits . Comme il en était là-dessus, mon père entra dans le lieu ou il était, sans ([ne mon frère l’entendit ; il le trouva si fort appliqué, qu’il fut longtemps sans s’apercevoir de sa venue. On ne peut dire lequel fut le plus surpris, ou le fils de voir son père, à cause de la défense expresse qu'il lui en avait faite, ou h' père de voir son fils au milieu de toutes (‘es choses. Mais la surprise du père lut bien plus grande, lorsque, lui ayant demandé ce qu'il faisait, il lui dit qu'il cherchait telle chose, qui était la trente-deuxième proposition d'Euclide. Mon père lui demanda ce qui l’avait fait penser à chercher cela : il dit que c’était qu’il avait trouvé telle autre chose ; et sur cela lui ayant fait encore la même question, il lui dit encore quelques démonstrations qu’il avait faites ; et enfin, en rétrogradant et s’expliquant toujours par les noms de rond et de barre, il en vint à ses définitions et à ses axiomes. Alors son père lui donna les Eléments d’Euelide pour les lire à ses heures de récréation. Il les vit et les entendit à lui tout seul, sans avoir jamais besoin d'aucune explication ; et pendant qu’il les voyait, il composait et allait si avant... qu’à l’àge de seize ans il fit un traité Des Coniques qui passe pour un si grand effort

d’esprit, qu’on disait que depuis Archimède on n’avait rien vu de celte force b »

Ce petit opuscule où se trouvent en germe les méthodes de géométrie moderne, fut mis au jour en 1640, il ne fut à nouveau tiré de l’oubli qu’en 1779, lorsque Bossu l publia son édition des Œuvres du célèbre mathématicien. C’était le canevas d’un ouvrage oii étaient exposées les découvertes de Pascal sur ce sujet. On y rencontre le théorème sur « l’hexagramme mystique » qui, énoncé comme lenune au début de l’ouvrage, sert à déduire le reste. Sous ce nom, il désigne la propriété fondamentale que possède tout hexagone inscrit à une conique d’avoir les trois points de concours de ses cotés opposés en ligne droite. Cinq points sullisant à déterminer une conique, cette proposition fournit une relation de position d’un sixième point quelconque de cette courbe par rapport aux cinq autres. A l’aide de ce principe, il arrive à démontrer la relation suivante due à Desargues : Le produit des segments compris sur la transversale entre un point de la conique et deux côtés opposés du quadrilatère, est au produit des segments compris entre le même point de la conique et les deux autres côtés opposés du quadrilatère, dans un rapport qui est égal à celui des produits semblablement faits avec le second point de la conique situé sur la transversale. Desargues dénomma ce théorème « involution des six points ». Les nombreuses conséquences que les géomètres modernes en ont tirées montrent assez sa fécondité.

Deux ans après, Pascal inventait la Machine arithmétique, remarquable conception et entreprise hardie, la Mécanique pratique étant alors fort peu avancée. 11 se proposait de remplacer « toutes sortes de supputations » par des mouvements et des combinaisons de

(1) Mra0 Péiuer. Vie de Biaise Pascal. Paris, Pascal était mort à

Paris, le 19 août 1GG2.

PA SCA L

roues. Il y arriva après bien des tâtonnements, des diflieultés d’exécution sans nombre, car, ainsi qu’il l’écrit dans sa dédicace au chancelier Pierre Séguier, « les artisans ont [»1 u s de connaissance de la pratique de leur art, que des sciences sur lesquelles il est fondé ». Néanmoins le modèle put être* réalisé, et est aujourd'hui, dans les collections du Conservatoire des arts et métiers à Paris.

Au milieu d’infirmités survenues avant l’àge, Pascal donna en 1 653 son traité sur Le triangle arithmétique, destiné à obtenir rapidement les coefficients des puissances successives d’un binôme. La loi de formation de ces derniers avait été trouvée par Yiète, et Newton un peu plus tard en indiqua la formule. Dans un autre domaine scientifique, le nom de Pascal est intimement lié à celui de Fermât parmi les inventeurs du Calcul (les probabilités . 11 peut même en être regardé comme le véritable fondateur. En 1 654 -, le chevalier de Méré lui proposa deux difficultés à résoudre :

D’abord de savoir en combien de coups on pouvait parier avec avantage d’amener sonnez avec deux dés, et deuxièmement de formuler une règle pour distribuer équitablement les mises à un moment donné de la partie, entre deux joueurs inégalement partagés, désirant se retirer avant le dernier coup.

A l’aide d’ingénieux raisonnements, il parvint à mesurer le degré mathématique de croyance qu'on pouvait attribuer à de simples conjectures. Il posa les bases de la théorie des hasards, transformant ainsi la question oiseuse d’un mondain frivole en une mémorable découverte. Fermât, par une méthode différente, généralisa les résultats, et au seul cas particulier envisage par son devancier, il substitua un corps de doctrine parfaitement ordonnée. Dès lors une « science sans racines dans le passé1 », était fondée.

(i) Gouraud.. Histoire tin Calcul t les [notabilités. Paris, 1848.

Le dernier ouvrage mathématique de notre philosophe concerne la Cyclo'icle[ i658). Cette courbe est engendrée par un point de la circonférence d'un cercle roulant sans glisser sur une droite fixe nommée base. On croit devoir attribuer au cardinal de Cusa et à Charles de Bovelles (i5i i) les premières notions qui s’y rapportent, mais ils la considéraient comme un simple arc de cercle. Roberval reprit le sujet et Pascal résolut plusieurs questions relatives aux solides formés par la rotation de cette courbe autour de sa base ou de son axe, grâce à un nouveau procédé d’analyse présentant beaucoup d’analogie avec celui de Cavalieri.

Parmi les autres mathématiciens de cette époque, à côté des Descartes ou des Fermât et bien près d’eux par la perspicacité de son génie, se place Desargues, méconnu de son vivant, oublié après sa mort. Ce géomètre, dont un érudit moderne, Poudra, a remis en lumière la curieuse physionomie, naquit à Lyon en 1 5q3, mais passa la plus grande partie cl e sa vie à Paris. Non content d’innover dans le domaine de la Science, il aurait voulu aussi la vulgariser. Sentant quelle portée sociale avait sa diffusion dans les classes laborieuses, il enseignait le soir aux charpentiers de la Capitale la Stéréotomie et la Perspective. Dans des leçons pleines de bonhomie il tâchait de leur en rendre familières les notions, si utiles pour la pratique de leur métier. 11 est triste à dire qu’il n’eut pas le succès dont il s’étai.t flatté, et que dépité de l’apathie des artisans parisiens il alla poursuivre ces cours dans sa ville natale.

Si ses contemporains ne surent pas le comprendre et seconder ses vues, la postérité lui a rendu justice. Que de titres d’ailleurs ses méthodes si fécondes ne lui donnent-elles pas ? Dans son Brouillon projet ci une atteinte aux événements des rencontres d’un cône avec un plan (1639), perdu pendant le xvmc siècle et retrouvé seulement par Chasles en 1 845, il développe cette idée que les différentes sections coniques (cercle, ellipse,