ANTIQUITÉ ORIENTALE

Enfin plusieurs questions (l’Algèbre élémentaire terminent l’opuscule. Parmi celles-ci une ou deux se rattachent aux progressions arithmétiques, et elles semblent indiquer qu’ils savaient les sommer.

Un autre papyrus , découvert dans la nécropole d’Akhmim (ancienne Panoplis) et qui est aujourd’hui au Musée de Gi/.eh, nous renseigne sur les artifices de calcul usités. C’est le plus ancien document, actuellement connu, sur l’enseignement pratique de l’Arithmétique chez les Grecs. D’après M. Baillet 1 il est antérieur à l’invasion arabe, et son auteur parait être un chrétien vivant probablement au vin® siècle; mais on peut le considérer comme représentant la science égyptienne à une époque bien antérieure. Il roule sur la numération fractionnelle. On y considère toujours les fractions comme

des parties aliquotes de l’unité, et à part y aucune expression fractionnaire dont les numérateurs diffèrent de l’unité n’y figure. Tout cela est donc absolument conforme à ce que nous savons des principes de la numération des Egyptiens par le papyrus d’Ahmes2. D’autre part, la fraction est figurée par le seul chiffre que nous désignons aujourd’hui sous le nom de dénominateur, et on la note par la sigle du nombre entier correspondant légèrement modifiée, par exemple au moyen d’un double accent placé à droite. Les nombres ordinaux sont symbolisés par les mêmes caractères que les fractions, le nombre fractionnaire est caractérisé d’une manière analogue, en écrivant à la suite, sans aucun signe, les quantités qui s’additionnent, et les opérations à effectuer sont indiquées par les mots consacrés écrits parfois en abrégé. * (*)

(i) Mémoires publiés par les membres i/e la Mission archéologique française au Caire, t. IX. J. Baillet. Le papyrus mathématique ■ d'A Ihmiiii (texte el traduction). Paris, 1892. Nous devons à 1 obligeance de M. Leroux de pouvoir reproduire le fragment ci-joint.

(*) Moritz Cantor. Vorlesungen uber Geschichte der Mathemalik, t. I. Leipzig, 1880.

Les premières pages du papyrus d’Akhmim sont occupées par les tables de multiplication des nombres entiers par des fractions, tables destinées à faciliter les calculs. Mais la partie la plus intéressante du manuscrit renferme cinquante problèmes avec leur solution. Ils se rapportent tous aux fractions, et sont rangés par ordre de difficulté. Leur variété est assez grande. Tantôt les données, tantôt les solutions changent, tantôt deux questions identiques sont résolues par des procédés différents. Cependant on ne se trouve pas en présence d’un ouvrage didactique composé par un professeur, certaines fautes semblent prouver que c’est un exercice d’enseignement, quelque chose comme le cahier d’un bon élève. Nous reproduisons ci-contre un facsimilé d’une partie du manuscrit. Voici la traduction du premier problème indiqué dans cette page :

« Ex. 1. — Il y avait une citerne ronde : le périmètre supérieur était de 20 coudées, le périmètre inférieur de 12 coudées, la profondeur de 6 1/2 coudées.

« Sol. — De même 20 et 12 font 32 ; la 1/2 de 32

fait 16. De même 16 [multiplié] par 16 font 206. Demème

256 par 6 1/2 font 1664. De même divisez 1664 en 36, 1 11 en sorte que [ le résultat] est 46-^ --g- »

D’après ce texte et la figure qui raccompagne, il s’ao-it évidemment de chercher la contenance de la

citerne. En effet, l’auteur fait la somme des deux périmètres, en prend la moitié et l’élève au carré, puis multiplie le résultat par la profondeur. Il assimile donc le volume du tronc de cône à celui d’un cylindre de même hauteur ayant pour base le cercle de rayon moyen, approximation permise. Mais le carré du périmètre d’une circonférence 4 “ 2 R2 n’est pas la surface de cette figure tz R2, base du cylindre. Il fallait diviser le résultat obtenu par 4 ~ ou par 12, si l'on s’en tient à la valeur approchée - = 3. Au lieu d’une division par

ANTIQUITE OUI F. y TALE

12 nous sommes en présence d’une division par .'56, soit un nombre trois lois trop fort. L’auteur a commis là une erreur flagrante, ou encore il y a un changement d’unité non annoncé.

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Fig. [. — Le papyrus mathématique d’Akhmiin.

(Fac-similé de la page G, d’après l'original conservé au Musée de Gizeh.)

Les Égyptiens furent donc bien les initiateurs des Grecs en Arithmétique. Ces derniers, tout en inventant une numération écrite plus perfectionnée, en simplifiant les procédés de multiplication et de division, conservèrent les méthodes qui avaient d’abord fleuri sur les

rives du Nil. Elles survécurent durant de longs siècles, elles furent même enseignées exclusivement dans les écoles élémentaires jusqu’aux derniers jours de l’empire byzantin.