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thèses de celte cascade donnent alternativement l’une -fet l’autre — 1 .

En Hollande, Bernard Xieuwentyt faisait, dans ses Considerationes circa analysis 1694), des objections assez sérieuses au principe même. 11 considérait celuici comme faux, parce qu’on envisage comme égaies des quantités ayant entre elles des dilférences infiniment petites mais cependant réelles. Leibniz leva ces difficultés, et finit par le convaincre.

Mais les partisans du progrès furent de beaucoup les plus nombreux, et à leur tête il convient de placer les Bernoulli, parmi lesquels les plus célèbres furent les deux frères Jacques et Jean

Le premier se distingua dans la théorie des courbes. Parmi ses découvertes, la plus remarquable est celle relative ;i la spirale logarithmique. Il démontra que sa développée, sa caustique par réfraction et sa caustique par réflexions ont de nouvelles spirales logarithmiques égales ii la proposée mais tournées d'un certain angle autour du pôle. Il en fut tellement enthousiasmé qu'il lit gra-

(1) Rolle appelle « racines effectives » d une équation ses racines positives. 11 nomme « cascade » une équation f(x) = o dans laquelle f(x) est un polynôme entier, et il donne le même nom aux équations f’ (x) = o /” (a?) = o... Les r hypothèses » d'une cascade fi (x) = o sont pour lui les racines de l équation fi+i ( x ) = o et en même temps une limite supérieure des racines de f‘ (j") = o. Il appelle enfin première, deuxième, troisième... cascade, les cascades du premier, deuxième, troisième... degré. Voir pour plus amples détails sur sa méthode, notre petite note sur le théorème de Rolle, insérée dans V Intermediaire des mathématiciens , t. II (iS95).

(2) Comme plusieurs membres de celte famille se sont illustrés dans les Mathématiques, nous croyons intéressant de donner ici la généalogie des Bernoulli, originaires d Anvers, mais réfugiés en Suisse. Nous rempruntons à M. Florian Cajori. (.1 History of Mathcmatics. New-York, i8<)5.)

Nicolas Bernoulli, le père.

Jacques Nicolas Jean (1667-1748)

Né ù Bàlc en 1654, mort cil 1705 |

Nicolas (1687-1750; Nicolas (1605-1726)

Daniel, né ù Groningue on 1700, mort à Bàlc en 1782 Jean (1710-1700)

Daniel Jean (1741-1807) Jacques (1758-1789)

Boyer, liisi. des Math.

ver cette figure sur son tombeau, avec cette devise emblème de la résurrection : Ecidem immutata resur go. D'autre part, dans son étude de la courbe isochrone paracentrique , on rencontre pour la première lois le mot « intégral ». Leibniz appela d’abord sa méthode « calcul sommatoire » mais après entente avec le savant suisse il adopta définitivement la dénomination proposée par celui-ci. En 169a, Jacques Bernoulli énonça son fameux problème des isopérimètres , cause de sa querelle avec son frère Jean, car ce dernier commit quelques erreurs dans la solution, erreurs qu’il rectifia par la suite.

Son mémoire sur la chaînette ou courbe théorique d’équilibre d’un fil sans épaisseur, pesant, homogène, flexible et inextensible, est important. Toutefois Leibniz avait déjà découvert ses propriétés et donné son équation1. Jacques Bernoulli étendit la question à des cas plus compliqués tels celui ou le fil est de densité variable, puis inextensible, puis sollicité en chaque point par une force dirigée vers un centre. Il montra également la déformation que subit une lame élastique fixée à l’une de ses extrémités et courbée par un poids attaché à l’autre. Dans le même ordre d’idées notons ses recherches sur la lin té a ire, forme prise par un linge soutenant un liquide, et sur la figure d’une voile enflée par le vent.

En outre, dans son *l/\s conjectandi, publié seulement après sa mort en 17 13, il précisa les notions émises par Pascal et Fermât sur les probabilités. Enfin et surtout on lui est redevable du Calcul exponentiel , cette partie de l’analyse devenue si féconde. Il est basé sur la relation Log xn — n Log x et sur ce lait que la différentielle d’un logarithme, d (log x) est égale à -l-L . H montra d’autre part que les courbes exponentielles, algébriques et traneendantes, ont entre elles des points de ressemblance.

(1) II. Bkocard. Eûtes île bibliographie des courbes géométriques. Bar-lc- Duc, 1897-99.