CHAPITRE XVI

Les mathématiciens anglais de la première moitié du XVIIIe siècle et les recherches d'Euler.

Quittons le continent pour revenir clans la patrie de Newton où, pendant la première moitié du xviu° siècle les Mathématiques se maintinrent à un niveau très élevé. Commençons par le plus enthousiaste admirateur de l'immortel Anglais, par Brook Taylor, qui naquit à Edmonton, dans le Middlesex, le 18 août 1 685 . Après une éducation encyclopédique, il se livra aux spéculations scientifiques, et devint membre de la Société Royale de Londres en 1712. Outre plusieurs mémoires sur le mouvement des projectiles, la capillarité, le centre d’oscillation et un traité Ne w principles of linear perspective, il composa un grand ouvrage intitulé Methodus inereinentorum directe 1 et inversa (1715-17). La première partie de ce dernier livre renferme l’exposé de sa doctrine des « incréments » qui se rapproche assez du calcul des différences finies. Il y exalte les découvertes de Newton en critiquant injustement Leibniz et les Bernoulli dont les méthodes, d’après lui, manqueraient de précision. Comme points intéressants on y trouve la démonstration de la relation bien connue dite : « formule de Taylor 1 » et le problème du changement de variable indépendante y est abordé. Quant à la seconde

(,) />+/,) = /■(.,•) + hf'{. v) + JL f" f.r) +...

L'ÉCOLE A.XGLAISE

partie, elle concerne l'application de ce procédé au mouvement des cordes vibrantes. Il arrive par de longs détours au nombre de vibrations exécutées par seconde. D’Alembert et Lagrange reprirent à nouveau ce sujet, mais s’ils rectifièrent certaines incorrections de détail, leurs recherches démontrèrent l’exactitude du résultat de leur prédécesseur.

Enfin Taylor réussit à obtenir l’équation différentielle représentant la trajectoire d’un rayon lumineux à travers un milieu hétérogène et, dans l’hypothèse ou la densité de la couche d’air varie seulement selon sa distance à la surface de la terre, il construisit par une quadrature la forme approchée de la courbe.

Ou peut ranger dans l’école anglaise de cette période Abraham de Moivhe. S’il naquit, en eifet, à Yitrv, comme il était d’une famille protestante, il dut quitter la France lors de la révocation de l’Edit de Nantes (i685), à peine âgé de huit ans, et passa la plus grande partie de sa vie à Londres où il se lia avec Newton et Ilalley. Ces prêcheuses amitiés lui permirent d’entrer fort jeune à la Société Royale.

Ses travaux ont contribué surtout à édifier la Trigonométrie des quantités imaginaires dont plus tard Lambert s’occupa à son tour. Les deux principaux théorèmes qu’on lui doit sont relatifs à la formule donnant sin mx et cos mx en fonction de sin x et de cos .c1 et aux facteurs binômes de x 2 n — 2 ax" -(- 1. Mais le plus important de ses livres est sa Doctrine of chances (17 16) complétée par plusieurs mémoires qui ouvrirent une voie nouvelle au calcul des probabilités. Bernoulli avait montré que le rapport des événements de différentes natures, fourni en observant une longue suite* d’épreuves, s’approche d’autant plus du rapport exact des possibilités respectives de ces événements, que les observations sont plus multipliées. De Moivre fit faire

(1) Cette formule est : (Cos x -f- V — i Sin .rj"1 — Cos m ,r — j— \ — 1 Sin m x.

un pas de plus à la question : il trouva une élégante expression mathématique de la probabilité que la différence de ces deux rapports est renfermée entre certaines limites. Puis, poursuivant ses investigations, il découvrit les séries récurrentes dont la sommation aisée lui permit d’abréger bien des calculs et d’introduire dans la théorie générale des suites infinies des principes féconds. D’autre part, il a démontré par d’ingénieux raisonnements que la probabilité d’un événement composé est le produit des probabilités des événements simples qui le composent, et enfin il parvint à des formules concises relativement aux probabilités de la vie humaine.

A l’égard de Roger Cotes, professeur (l’Astronomie à l’Université de Cambrigde , rappelons qu’il apporta des perfectionnements aux méthodes d’intégration alors dans l’enfance , principalement à ceux relatifs aux différentielles rationnelles. On connaît surtout son nom dans l’enseignement actuel, par son théorème concernant les racines imaginaires de l’unité. Cependant on lui est redevable encore du théorème suivant, non moins utile, exposé dans son Hcirmonia mensurcirum. Si d’un point P pris dans le plan d’une courbe de degré m on trace une droite qui coupe la courbe en ni points, A,, A2, ,...Am et qu’on prenne sur celte sécante un point M déterminé parla condition que l’inverse de la distance PM soit moyenne arithmétique des inverses des distances PA, PA,... PAm, le lieu géométrique du point M quand la transversale tourne autour du point P, est une ligne droite. La démonstration de cet énoncé, trouvé dans les papiers de Cotes après sa mort, fut donnée par son compatriote Maclaurin à (pii la généralisation du théorème de Newton sur les asymptotes servit de fondement pour son De linearum geometricarum pvoprietalibus generalibus (1720).

Ce traité se continue par des applications de ces deux principes aux courbes du second et du troisième degré. On y rencontre entre autres les propriétés les