III S TOI II E DES M A TIIE M A TI QUE S

pée en fraction continue, donne naissance a un quotient périodique. Euler avait bien observé avant Lagrange que la racine carrée d’un nombre entier se réduit toujours en une fraction périodique, ce qui est un cas particulier du précédent. D’autre part, dans une note il donna un principe aisé pour réduire les équations en suites infinies. Ce procédé s’applique également aux équations transcendantes renfermant des logarithmes et des arcs de cercle.

La Théorie des nombres l’attira aussi. Dans cet ordre d’idées, il démontra la proposition suivante que Bachet de Méziriac avait découverte. Tout nombre entier non carré est toujours décomposable en deux, trois ou quatre carrés entiers. Il s’attaqua encore à ce théorème dù à Waring. Si n est un nombre premier, le produit i. 2. 3. 4... (/? — i ) —J— i est toujours un multiple de n. Enfin dans divers mémoires publiés île 1773 a 1775, il parvint à plusieurs résultats nouveaux en arithmétique.

Vers ce temps également, il fournit une théorie complète et très originale pour calculer les variations séculaires des éléments d’une planète. Il avait eu dans cette direction de nombreux prédécesseurs, mais il considéra le problème à un point de vue beaucoup plus général. Au lieu de combiner comme eux les orbites deux à deux, il les envisagea dans leur ensemble et il tomba sur l’équation intégrale résolvant complètement la question.

Mais l’œuvre capitale de Lagrange est sa Mécanique analytique , composée alors qu’il était à Berlin mais imprimée à Paris. Il déduisait tout son livre du principe de d’Alembert, combiné avec celui des vitesses virtuelles, qui fournit les moyens de l'utiliser. L’élégance d’exposition île cet ouvrage est assez grande pour que sir William Rovvan Hamilton l’ait considéré comme « une espèce de poème scientifique 1 ».

(1) « .-1 kind of scienlific poem, » d'après Florian Cajori. A Ilistory »/ Malhematics. New-York, i 8q5 .

Lagrange généralisait le théorème de son devancier, et en donnait la démonstration. Sa méthode consistait, en somme, à renfermer toutes les conditions d'équilibre d’un système matériel dans celle-ci : la somme des produits de toutes les forces qui y sont appliquées multipliées par les déplacements de leurs points d’applications respectifs est nulle, pourvu que ces translations ne soient pas incompatibles avec les liaisons du système considéré. Mettre en équation n importe quel problème de Dynamique devenait alors chose aisée. U suffisait d’égaler à zéro la somme des moments virtuels des forces appliquées à l’ensemble, et des forces égales et contraires à celles qui déplaceraient séparément les divers points du système s'ils se mouvaient effectivement.

Toutes ces remarquables découvertes avaient mis Lagrange très en relief, et comme à la mort de Frédéric il avait quitté Berlin, Louis XVI l’appela à Paris et le logea au Louvre. Plus heureux que Bailly, Lavoisier ou Condorcet, l’orage révolutionnaire l’épargna. La Convention le nomma même président de la commission chargée d’établir le nouveau système des poids et mesures. Un décret de la Constituante lui maintint sa pension, et le Comité de Salut Public le dispensa d’obéir au décret qui exilait tous les étrangers. L’Empire lui continua les faveurs de la Royauté et delà République, et quand il mourut, le 10 avril 1 8 1 3 , il était comte, sénateur, membre de l’Institut et grand-croix de la Légion d’honneur.

Son enseignement à l’Ecole Polytechnique où il avait été appelé dès la fondation, fut l’origine de sa Théorie des fonctions analytiques (1797), qui couronna dignement sa carrière. Son but était de substituer au calcul différentiel un ensemble de propositions basées sur le développement des fonctions algébriques en série. La première partie est consacrée au théorème de Taylor et à ses conséquences théoriques, et la dernière à son

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emploi en Mécanique. Les Leçons sur le calcul des fonctions , professées en 1799 et publiées deux ans après, lui servent de commentaire et de supplément.

La Géométrie était depuis longtemps stationnaire; mais nous allons la voir briller à nouveau. Son histoire, peut-on dire, comprend trois périodes : sa création par les Grecs et ses développements successifs jusqu’à la fin du moyen âge, puis la période de transformation avec Descartes et Fermât, enfin son évolution moderne, qui date des recherches de Pascal et Desargues sur les sections coniques. L’abstraction et la généralité caractérisent l’esprit de cette phase de son renouvellement. Monge et Carnot en établirent définitivement les assises, au début du xix° siècle, sur des méthodes aussi générales que fécondes. Cette continuation de l’Analyse géométrique des Anciens, tout en ayant le meme objectif, en différait notablement à cause de l’uniformité de ses conceptions. Ses principes applicables à tous les cas remplaçaient avantageusement les problèmes particuliers et sans liaison entre eux, qui formaient uniquement la Science antique.

Gaspard Monge, le génial auteur de la Géométrie descriptive, vit le jour à Beaune, en 174b- Son père était un marchand ambulant, qui, en s’imposant de multiples privations, put placer son fils chez les Oratoriens de sa ville natale *. Intelligent, avide de s’instruire, celuici s’y dévoila sujet d'élite; puis il entra à l’Ecole de Mézières où se formaient les officiers du Génie. Peu après, ayant été remarqué par ses maîtres, on le nomma répétiteur du cours qu’y professait Bossut, un savant cpii, entre autres livres, a laissé un Cours complet de Mathématiques dont le succès fut grand à l’époque. Dès 1768, il songeait à rédiger l’ouvrage (pii devait établir sa réputation ; mais les autorités lui interdirent de publier ses méthodes, car il ne fallait pas « aider les

(i) François Arago. Œuvres, t. II, Paris, 1 854-

Fig. 27.

Portrait de Gaspard Monge, inventeur de la Géométrie descriptive. (D après le médaillon de David d'Angers.)