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Proclus, il aurait résolu les questions suivantes : d’un poinl pris sur une droite mener une perpendiculaire à une ligne donnée et construire une droite qui lasse avec une autre ligne un angle égal à un angle donné.

Les astronomes Xénophane et Phérécydes ne méritent pas de nous retenir. D’ailleurs, les mathématiciens ioniens, pendant cent ans et plus, n’ont pas contribué à augmenter beaucoup le bagage intellectuel (pie leur avaient légué les Egyptiens. On a voulu voir dans leurs travaux la conséquence d'un enseignement rationnel, le produit d’une « Ecole ». C’est un mot bien ronflant, pour une si petite chose ! Conservons le terme puisque l'usage l'a consacré, mais apprécions-le à sa juste valeur. Dans l’antiquité comme de nos jours, bon nombre d’établissements olïiciels étaient tout en surface.

Les progrès réalisés par Pythagore et ses successeurs immédiats furent plus importants. La vie de ce philosophe, né à Samos vers 56q avant Jésus-Christ, n’est qu’un tissu de légendes. On n’est guère mieux renseigné sur l’étendue de ses connaissances mathématiques. Il aurait fait ses premières études sous Phérécydes à Lesbos, et sous Anaximandre à Milet, puis il voyagea en Egypte où il passa de longues années à Thèbes et à Memphis s’initiant aux secrets des prêtres. Il séjourna ensuite en Asie Mineure, revint dans sa ville natale où il donna sans grand succès des leçons et émigra vers 029 alin de s’établir en Sicile. Après avoir abordé à Sybaris et professé quelque temps à Tarente, il fonda enfin à Crotone, dans la maison de Milon, l’école qui devait immortaliser son nom. Là il enthousiasma, toujours au dire de la tradition, non seulement ses contemporains, mais il sut gagner le cœur d’une de ses auditrices la jolie Théano, la fille de son bote. Malgré la disproportion d’àge elle l’épousa.

Plutôt philosophe, Pythagore ne mérite pas moins de figurer ici, car sa doctrine reposait sur les mathématiques. Ses disciples, selon leurs aptitudes et

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le but qu’ils se proposaient, étaient partagés en deux groupes. Les auditeurs ou Pythagoristes n’approfondissaient pas les doctrines du Maître. L’enseignement qu’ils recevaient se bornait à la musique — la « médecine de l’âme » comme l’appelait le professeur de Samos, — et à des notions sommaires de calcul. Les seconds, dits « mathématiciens» ou Pythagoriens, étaient dans le secret des Dieux. Leurs cours duraient trois ans. C’était

une sorte de noviciat ayant beaucoup d’analogie avec celui des prêtres égyptiens. Ils recevaient les conseils de Pythagore lui-même, et sous sa direction observaient et cherchaient. Ils ne devaient pas révéler l’enseignement qu’on leur confiait. Une fois leurs études terminées, ils avaient encore un signe de ralliement : le pentagone

étoilé , dont les angles étaient désignés par les lettres du mot ujUm (la diphtongue étant remplacée par un 9) qui correspond au terme français : « Salut ».

Vu le mutisme volontaire de ses disciples, il est difficile de distinguer, à la lueur des trop rares fragments qui nous sont parvenus, ce qui revient en propre à Pythagore. Au milieu de ces maigres renseignements il parait hors de doute qu’il a le premier essayé d’associer la géométrie et l’arithmétique. Quant au théorème qu’on lui attribue : dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, il semble que les Égyptiens le connaissaient avant lui. La démonstration qu’on en donne aujourd’hui est due en tout cas à Euclide. Enfin la table de multiplication , ne lui appartient pas davantage.

l'ig. 2. — Le pentagone étoilé , signe de ralliement des Pythagoriciens.

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Ses élèves perpétuèrent oralement sa doctrine, celui-ci n’ayant laissé aucun écrit. Il avait seulement confié ses commentaires à une de ses filles, Damo, avec délense lormelle de les communiquer aux profanes : quoique femme et pauvre elle tint, dit-on, sa promesse. Mais PniLOLAUS n’agit pas de même. Dans son Système de la nature , il divulgua le premier les grandes lignes de renseignement pythagoricien. Le secret toutefois avait duré plus d’un siècle. Ce savant émettait dans son ouvrage bon nombre d'idées plus ou moins fantaisiste# sur le pouvoir des nombres. Toutefois sa cosmogonie, bien qu’elle ait essuyé les critiques d’Aristote, était plus exacte que ses théories arithmétiques et il connaissait l’existence des cinq polyèdres réguliers sur lesquels sa philosophie reposait en partie.

Son disciple Archytas, de Tarante, qui naquit vers 4a8 avant Jésus-Christ, se livra aux recherches scientifiques au milieu des préoccupations des fonctions publiques. Il passe pour avoir appliqué à la 'Mécanique les connaissances géométriques qu’on possédait alors, et il découvrit une ingénieuse solution de la duplication d’un cube1. La méthode qu’il emploie indique qu’il avait des vues exactes sur la génération des cônes et des cylindres. Il ramène le problème à celui de deux moyennes proportionnelles, au moyen d’une courbe a double courbure , qu’il construit ainsi. Sur le diamètre de base du cylindre droit circulaire il mène un demi-cercle dont le plan est perpendiculaire à celui delà base du cylindre donné. Puis il fait tourner le diamètre autour d’une de ses extrémités. Dans ce mouvement ce demi-cercle rencontre dans chacune de ses positions successives la surface du cylindre en un point. L’ensemble de ces points forme la ligne cherchée. Le savant grec coupait alors cette courbe par un cône de

(1) Bbetschneider. Die Géométrie and die Gcovietcr vor Euklides. Leipzig, 1 870, in-8°.

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révolution autour de l’arête cylindrique menée par l’extrémité fixe du diamètre du demi-cercle mobile. Le point d’intersection répondait à la question posée.

Au sujet de l 'infini, il le considère comme les mathématiciens le l'ont, en somme, aujourd’hui : c’est pour lui une chose n’ayant aucune grandeur assignable.

Pendant longtemps Milet et Tarente furent à la tête des nations civilisées, sinon à un point de vue général au moins en ce qui concerne la philosophie et les mathématiques. Néanmoins, il serait inexact de se figurer que c’étaient là les seules villes du monde, hellénique oit existaient des institutions florissantes. Peu de colonies importantes en manquaient.

Cnide s’honorait d’avoir donné le jour à Eudoxe, vers l'an 4°S avant notre ère. Plus jeune que Platon d’une vingtaine d’années ', il se rendit à Athènes, vers 386, pour suivre les leçons du fondateur de l’Académie, voyagea ensuite en Sicile et en Egypte, s’établit à Cyzique puis à Athènes afin de s’y poser en rival de Platon, mais l’hostilité de ce dernier le força à s’en retourner quelque temps avant sa mort, survenue en 355, au cours d’un voyage sur les bords du Nil.

Si sa carrière fut agitée1, elle eut la plus heureuse influence sur le progrès scientifique. Il découvrit la plus grande partie du Ier livre des Eléments d’Euclide 2, consacré à la théorie de la proportionnalité. Ses travaux sur les incommensurables sont des plus importants, et il démontra plusieurs théorèmes sur la mesure des solides, tels les suivants : la pyramide est le tiers du prisme de même base et de même hauteur; le cône est le tiers du cylindre de même base et de même hauteur.

A Chios, on célébrait le mérite d’IIiPPOCR.VTES, qu’on

(1) Revue des questions scientifiques, 2* série, t. XV. Louvain, 1S99, in-8°.

(2) Paul Tannery. La Géométrie grecque. Paris, 1887, in-8°.

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doit se garder de prendre pour son illustre homonyme le médecin de Gos.

Né vers 47° avant Jésus-Glnist, il établit pour ainsi dire la transition entre les Pythagoriciens et Platon. Il commença par exercer la profession d’armateur; mais un de ses navires ayant été pris par des pirates il se rendit à Athènes pour recouvrer son bien el demander justice : aussi eut-il de nombreux loisirs pour suivre les cours des philosophes. A son tour il ouvrit une école dont les revenus, en le faisant vivre, le dédommagèrent de la capture de son vaisseau. Peu à peu il devint une autorité en mathématique, et écrivit le premier traité d'où sont sortis les « Eléments » d'Euclide. On lui attribue en outre C introduction des lettres aux points principaux des figures , pour faciliter les démonstrations; toutefois ce n’est pas l avis de M. Cantor, qui l'ail honneur de cette invention aux Pythagoriciens1. Ainsi que nous l'avons vu plus haut, ceux-ci représentaient par chacune des lettres ü, y, g fj, 7. les sommets du pentagone étoilé . Mais cet exemple isolé, dit avec juste raison M. Rouse Bail, ne prouve pas P universalité de la méthode2.

Hippocrates s’occupa également des figures semblables, et découvrit plusieurs propriétés relatives aux cercles. Parmi celles-ci signalons les suivantes :

Tous les angles inscrits dans un même segment de cercle sont égaux ;

Un angle inscrit dans un segment est aigu, droit ou obtus, suivant (pie ce segment est supérieur, égal ou inférieur à un demi-cercle ;

Deux cercles sont entre eux comme les carrés de leurs diamètres.

C’est aussi à ce savant qu’011 doit le mode de démonstration dit : « de réduction », par lequel on

(1) Mokitz Castor. Loc. cil., t. I.

(•2) Walter W. Rouse Rall. A short account of thc history of mathematics. Londres, 1888, in-12.

ramène la connaissance d’une question à celle d’autres choses dont elle est la conséquence nécessaire. Peutêtre avant lui avait-on employé ce procédé dans quelques cas particuliers, mais il eut le mérite d’en signaler l’importance, et d’en généraliser l’application.

Ses autres travaux se rattachent à la quadrature du

l' ig\ 3. — Lunules d'IIippocratcs.

cercle, ce problème qui tint une si grande place dans les préoccupations des mathématiciens grecs. Pour tourner la difficulté, Hippocrates essaya d’abord de carrer la lunule ou aire comprise entre deux arcs de cercles inégaux. Il n’atteignit nécessairement pas le but qu’il poursuivait, mais il arriva à ce théorème important : Si sur les trois côtés d’un triangle rectangle ABC pris comme diamètre on décrit des demi-circonférences, la somme des surfaces des deux croissants M et N (lunules), égale l’aire du triangle T. C’était le premier exemple d’un espace rectiligne démontré i à celui d’une figure curviligne.