CHAPITRE III

Les Écoles d'Athènes et de Cyzique : Platon, ses disciples et leurs contemporains.

La science mathématique de Platon est loin d’atteindre sa renommée philosophique. Né à Athènes en 429, ce brillant élève de Socrate n’aurait même jamais cultivé cette branche des connaissances humaines tant méprisée par son maître, si après la mort de ce dernier il n’eùt voyagé eu Egypte, dans l’Italie méridionale et la Sicile où il recueillit l’enseignement des Pythagoriciens. A son retour dans sa patrie, lorsqu’il fonda « l’Académie », il était converti, et plus tard quanti on lui demandera quelles sont les occupations de la Divinité, il répondra : « Elle géométrise perpétuellement » ; il inscrira même au seuil de sa demeure : « Que nul n’entre sous mon toit, s’il est ignorant en Géométrie ». La lecture du Timée montre d’ailleurs qu’il connaissait les propriétés essentielles des progressions. Mais que de subtilités arithmétiques, de divagations plus ou moins bizarres sur les nombres, ne renferme pas ce livre! Aussi, suivre les érudits modernes dans leurs commentaires ne serait ici qu’un hors-d’œuvre inutile. D’autre part, ses idées cosmogoniques n’intéressent pas cette Histoire.

On attribue à ce grand philosophe la découverte des lieux géométriques , c’est-à-dire d’un ensemble de points jouissant de la même propriété. Platon eut en

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outre le mérite d’observer l’influence des mathématiques sur la rectitude du jugement, et si ses recherches originales sont de minime importance, il fit progresser les méthodes, précisa les définitions du point, de la ligne, des surfaces et des volumes, qu’Euclide devait donner après lui presque sans changement. Il faut également lui savoir gré d’avoir dirigé quelques-uns de ses disciples vers l’étude des sections coniques. Enfin, dernier et précieux service rendu à la Géométrie, il inventa Y analyse. comme mode de démonstration. C’est Proclus qui lui attribue cette découverte ; toutefois on en retrouve seulement les premières traces dans les livres d’Euclide.

Ce procédé consiste à établir une suite de propositions commençant au théorème qu'on veut démontrer, pour se terminer à une proposition connue, et telles qu’en partant de la première, chacune entraîne l’exactitude de la suivante. Il s’ensuit alors que la première, conséquence de la dernière, est vraie comme celle-ci.

Platon avait donné par son enseignement une forte impulsion à la science, aussi les mathématiciens contemporains ne manquent pas. Le sophiste Antiphon nous retiendra tout d’abord. Il s’ingénia à trouver la solution du problème de la quadrature du cercle. Pour y parvenir il inscrivait un carré dans un cercle, puis il déterminait le milieu des arcs sous-tendus par chaque côté et réunissant au moyen de droites les points ainsi déterminés il formait de la sorte un octogone. Il continuait ensuite à inscrire des polygones réguliers dont le nombre des côtés augmentait indéfiniment. Celte construction aurait pu être un trait de lumière pour Antiphon, mais il ne sut pas en profiter. Le génie d’Archimède devait cependant en déduire des résultats aussi imprévus qu’importants. Du reste, vers la même époque, Bryson d’Héraelée avait fait avancer cette fameuse question en circonscrivant des polygones en même temps qu’il en inscrivait. Toutefois il se trompa en pensant que faire d’un cercle est la moyenne arith-