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ramena à la théorie de ces expressions toute l’Analyse indéterminée. Ce ouvrage fut reçu avec enthousiasme dans le monde mathématique. Puis Gauss s’appliqua à d’autres objets qui répandirent son nom dans le grand public. Piazzi venait de découvrir à Païenne, en 1801, la première planète télescopique, Gérés. Aussitôt le savant de Brunswick s’empressa de calculer ses éléments à l’aide de méthodes ingénieuses qui permirent de la retrouver quand on la vit reparaître après son passage au périhélie. L’année suivante, Olbers découvrit à son tour Pallas, et Gauss consacra également de longues veilles à l'étude de ses perturbations. Ceci lui valut d’être nommé directeur de l’Observatoire que le gouvernement hanovrien venait de fonder à Gôtlingue (1807). Dès lors sa vie s’écoula calme et paisible sans particularités bien saillantes. Seule', l’édition de ses travaux en marqua les étapes.

Prenant pour point de départ la loi de la gravitation universelle, le sagace astronome développa, dans sa Theoria motus corporum cœlestium (1809 , des moyens simples pour calculer plus exactement toutes les orbites des corps de notre système solaire, sans en excepter les comètes dont la marche avait jusque-là déjoué l’attention des observateurs. Il y applique cette idée réformatrice, — la méthode des moindres carrés, — si usitée aujourd'hui par les astronomes ou les ingénieurs lorsqu'ils ont à déduire des quantités inconnues, d’autres déterminées par l’expérience. En passant sous silence ses remarquables recherches d'Astronomie pratique et de Physique poursuivies sans relâche jusqu’à sa mort ( 1 855), signalons encore un de ses plus importants mémoires Disquisitiones circa superficies curvas (1827) où se rencontre son célèbre théorème : Quelle que soit la déformation subie par une surface flexible et inextensible, la somme de ses courbures principales en chaque point reste toujours identique.

Si Gauss, par la date de ses publications, appartient à la

Boykr. Hist. des Math. il

période contemporaine, l’universalité de son œuvre doit le faire classer plutôt parmi les mathématiciens de la (in du xvme siècle, à côté des Euler, des Lagrange et des d’Alembert. La spécialisation , cette caractéristique de notre temps, n’apparaît, en effet, dans aucun de ses M émoires. « Nous aurons un tableau du développement des Mathématiques, si nous imaginons une chaîne de montagnes élevées représentant les hommes du xvme siècle, terminée par une cime imposante — Gauss, — puis une large et riche contrée, formée de collines moins élevées, mais remplie de nouveaux éléments de vie 1 . »

Un autre savant allemand, Jacobi, que nous retrouverons lorsque nous nous occuperons des fonctions, poursuivit aussi d intéressants travaux sur la haute Arithmétique, entre autres sur la théorie des résidus. Ce sujet fut repris par son compatriote Lejeune-Diiuchlet, né à Düren en i8o5. Après avoir fait son éducation à Bonn, puis à Cologne, celui-ci vint à Paris en 1822, attiré par la célébrité des mathématiciens français de l’époque, les Laplace, les Cauchy et les Legendre. Trois ans plus lard il présentait à l’Académie des Sciences un premier mémoire sur l’impossibilité de certaines équations indéterminées du 5e degré. Puis il retourna en Allemagne, fut nommé, en 182J, professeur à Breslau, ensuite à Berlin ( 1 83 1 ) , chaire qu’il quitta seulement en 1 8 5 5 pour remplacer Gauss à Gottingue. Pendant ses années de professorat, il s’efforça dans une série d’études de sim-

(1) Félix Klein. Conférences sur les Mathématiques, traduction L. Laugel. Paris, Librairie Hermann, 1898. Pour ce chapitre, nous ferons plusieurs emprunts à cet ouvrage. Voici, d’autre part, les principales sources que nous avons utilisées, et que nous citons ici une lois pour toutes ; Merriman et Woodward. Iligher Mathemalics, ch. xi. Ilislory of modem Mathemalics, par David Eugène Smith, New-York, 189G; Cajori, /liston/ of Mathemalics, New-York, 189.5 ; Rouse Bali.. A short account of the Ilistory of Mathemalics, Londres, 1888; articles de la Jlib/iolheca mathematica de M. Enestrom. Stockholm 1887 d suiv. ; collection du Zeitschrift für Malhemalih und Physik , Ilislorisch-lilerarische Abtheilung dirigé par M. Moritz Cantor, Leipzig, 1875 et suiv. et surtout l'excellent livre de M. Gino Loria, Il passato ed il présente dette principali teorie geumclriche, 2e édit. Torino, 1896.

.1 RITIl.M ETIQUE SUPERIEURE

plifier les notations souvent peu intelligibles de Gauss, et dans ses Leçons sur la théorie des nombres , rédigées par Dedekind, il arriva, grâce à une lucidité parfaite, à rendre accessibles aux débutants et suggestifs aux lecteurs plus avancés, les principes ardus de cette partie de la Science.

Parmi ses continuateurs, outre Cauchy dont nous parlons ci-après afin d’éviter des redites, nous citerons les suivants. Tchebycheff, professeur à l’Université de Saint-Pétersbourg, dans son mémoire Sur les nombres premiers (i85o), fixa les limites entre lesquelles doit être renfermée la somme des logarithmes des N nombres premiers, inférieurs à un nombre donné x. Dernièrement Poincaré et IIadamard ont fait de ce sujet particulier l’objet de savants mémoires.

L'Anglais Stephen Smith s’occupa aussi d’Arithmologie. Né à Londres en 1826, il acheva scs études au Balliol College d’Oxford, devint en 1861 professeur de Géométrie dans cette dernière ville oïl il résida jusqu’à sa mort survenue en 1882. Outre des rapports historiques communiqués annuellement à l’Association Britannique de 1809 à 186a, il a effectué des recherches originales sur la théorie dos congruences et la théorie des formes. En particulier, il remarqua que la représentation des nombres par des formes quadratiques simples peut se déduire d’une méthode générale dont il formula les principes. Les théorèmes relatifs aux cas de à carrés avaient été donnés par Eisenstein de Berlin, ce génie ravi trop tôt à la science. Smith compléta ses énoncés et ajouta les théorèmes se rapportant à la décomposition en 7 carrés. Ceux de 2, 4 et a avaient été obtenus au moyen des fonctions elliptiques et Smith parvint à la limite extrême de ces groupes, celle de 8 carrés.

Edouard Kummer, qui mourut, en i8q3, professeur à l’Académie de Berlin, aborda également la « seule branche .pure des mathématiques non souillée par le contact «.les applications », comme il appelait l Arithmé-

tique supérieure. Ses mémoires sur les nombres complexes formés avec les racines de l’unité et sa notion originale des facteurs « idéaux » le placent à coté de Diriehlet, sans compter ses autres travaux algébriques ou géométriques sur les intégrales définies, l’évaluation des séries lentement convergentes, les svstèmes de rayons rectilignes et la réfraction atmosphérique.

Kronecker et Dedekind portèrent leur attention sur les nombres transcendants et irrationnels, mais surtout IIermite, le doyen actuel des géomètres français, éclaira bien des points obscurs de l’édifice laborieusement construit par Gauss. Sa généralisation des fractions continues, sa méthode féconde pour démontrer l'impossibilité de la quadrature du cercle et tant d'autres idées, semées au cours d’écrits que nous analyserons plus loin, l’ont rendu célèbre. Les tentatives sur la réduction des formes ont été enfin poussées très avant par Camille J o kd an.

On voit par ce qui précède combien la conception du nombre s’est étendue et modifiée à travers les âges. Au temps de Diophante, on ne considérait que les nombres positifs, entiers ou fractionnaires. 11 faut arriver jusqu’à Descartes pour voir s’introduire la notion de nombre négatif et jusqu’au commencement de notre siècle celle des imaginaires était inconnue; tandis que de nos jours la continuité des nombres réels est regardée comme acquise. On l’envisage même sous différents aspects.

ANALYSE ET THEORIE DES FONCTIONS

L’homme qui, au cours de la période contemporaine, a le plus contribué à l’avancement de l’Analyse, est sans contredit Augustin-Louis Cauchy. Ce mathématicien naquit à Paris en 1789, et entra à l’Ecole Polytechnique en i8o5. 11 en sortit dans les Ponts et Chaussées. Employé d’abord comme ingénieur aux travaux du port de