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l'ig- 3o. — (D'après une lithographie de Boilly, 1 83 1 .)

ANALYSE ET THÉORIE D E S F O N C T I O N S 2i>

Cherbourg (1810), il ne tarda pas à revenir à Paris où, sur les conseils de Laplace, il renonça à la carrière administrative, pour se consacrer exclusivement à la Science pure. Il n’eut pas du reste à le regretter, puisque l’Académie l’admit dans son sein en 1816, et qu’il fut nommé professeur de Mécanique à l’Ecole Polytechnique. Mais à l’avènement de Louis-Philippe il dut quitter sa chaire pour refus de serment. Cauchy se retira alors à Turin, puis à Prague ou tle 1 833 à 1 838 il enseigna les sciences au duc de Bordeaux. De retour à Paris, vers cette époque, il professa dans plusieurs établissements religieux, notamment chez les Jésuites1. Enfin le gouvernement de 1848 le dédommagea en lui donnant la chaire d’Astronomie mathématique à la Sorbonne, chaire qu’il occupa jusqu’à sa mort (»5 mai i85y). Tous les domaines de la mathématique lui doivent d’utiles contributions : l’Arithmétique comme la Géométrie, l'Analyse aussi bien que l’Algèbre, l'Optique comme la Mécanique céleste. Toutefois, certaines de ses recherches priment les autres. Il a fondé la théorie des résidus, et a pu entreprendre, grâce à (die, l’explication des périodes des intégrales; il a porté ses efforts sur la série de Taylor, dont il a tenté de déterminer les conditions de convergence. Il a trouvé, le premier, un procédé général pour l’intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre à une seule inconnue. Avant lui, Jean-Frédéiuc Pfaff de Gôttingue, s'était efforcé de résoudre le problème, mais sa méthode, pénible du reste, reposait sur des calculs compliqués.

Cauchy arriva, d’autre part, à déterminer immédiatement les valeurs générales des variables principales

(1) Maximilien Marie. Histoire des Sciences mathématiques et physiques , t. XII, Paris, 1888. Si nous empruntons quelques renseignements biographiques à cet ouvrage, nous n’aurions garde d’accueillir les appréciations extraordinairement partiales et injustes émises par Marie sur Cauchy, son ennemi personnel du reste.

qui vérifient un système d’équations linéaires à coefficients constants, en fonction de la variable indépendante et des valeurs initiales des inconnues principales et de leurs dérivées, sans établir aucune distinction pour le cas où l’équation auxiliaire possède des racines égales.

Navier avait entrepris un des premiers d’analyser les lois élémentaires de l’équilibre et du mouvement des systèmes de corps solides. Il était arrivé aux équations différentielles de cette question de Mécanique. Lagrange et Poisson s’en étaient inquiétés également. Cauchy voulut généraliser le problème, et le rendre indépendant des conditions particulières auxquelles on l’avait primitivement assujetti : l’introduction du principe de continuité des déplacements géométriques lui suffit pour trouver une marche des plus heureuses.

L’illustre analyste formula aussi la théorie de l’équilibre et du mouvement des liges et des plaques élastiques, sachant déduire des formules plusieurs considérations physiques que l’expérience vérifia par la suite.

Fresnel venait de fournir une explication presque complète des divers phénomènes lumineux, en parlant de quelques données simples fournies par l’observation ; mais il restait à coordonner les théories partielles en un corps de doctrine unique, émanation directe des lois fondamentales de la Mécanique. Le génie de Cauchy mena cette tâche délicate à bonne fin. Il parvint aux équations générales de l’Optique en soumettant à l’Analyse les mouvements qui peuvent coexister dans un double système de molécules (celles des masses pesantes et celles de l’éther) se pénétrant mutuellement. Il eut encore recours à son principe de continuité qu’il énonce ainsi, en la circonstance : les particules d’éther, intérieures ou extérieures, forment un système unique et continu, et les déplacements moléculaires comme leurs dérivées partielles varient par degrés insensibles lorsqu’on passe d’un milieu à un autre.

ANALYSE ET THÉORIE DES FONCTIONS 217

Ajoutons qu’il enrichit la théorie des déterminants, ébauchée par Vandernionde et qu’en Géométrie élémentaire il a exécuté un remarquable travail sur les polyèdres. Celte esquisse sommaire n’a pu rendre que bien imparfaitement l’énorme activité de ce savant, attestée par plus de 700 mémoires insérés dans les publications académiques ou autres, et que le Gouvernement français est en train de réunir et de rééditer. Beaucoup d’entre eux avaient aussi été publiés sous le titre : Exercices mathématiques , sorte de revue qu’il faisait paraître a intervalles irréguliers. On a souvent comparé Cauchy à Gauss. Comme ce dernier, en effet, sans se cantonner dans un coin de la science, il sut créer souvent, et perfectionner toujours.

A ce génial algébriste français, la Norvège a un grand nom à opposer, Nicolas IIkmu Abel, que scs malheurs autant que ses découvertes ont rendu célèbre. Né le 25 août 1802 à Frindœ ou son père était pasteur protestant, il fit son éducation à l’école cathédrale de Christiania, et prit goût aux Mathématiques dès l’âge do seize ans. Vers cette époque il pensait avoir trouvé la solution de l’équation générale du 5e degré. Puis en 1820 il mit à jour quelques mémoires d'analvse dont le succès lui valut de voyager pendant deux ans en Allemagne, en France et en Italie aux frais du roi. Il resta d’abord six mois à Berlin, se liant avec Crelle, se dirigea ensuite vers Milan etTurin, et arriva enfin à Paris. Assez froidement accueilli par les académiciens de la Capitale, il se vit obligé d’accepter un modeste emploi pour subvenir à ses besoins. Mais l’excès de travail joint au dépit consuma ses forces, et il s’éteignit h' 6 avril 1821), à Froland oit séjournaient ses parents. On s’aperçut seulement alors de la perte que venait d'éprouver l’Humanité. Dans toute l’Europe savante une douloureuse émotion s’empara bientôt des moins prévenus. L'Institut de France décerna à sa vieille mère la moitié du grand prix des: Sciences mathématiques, et le Gouvernement

-118 HISTOIRE DÇS MATHÉMATIQUES

norvégien décida la publication de ses œuvres. Piien n’a manqué à la gloire du géomètre après sa mort ; mais tout a manqué à son bonheur pendant sa vie1.

Ses principales études se rapportent aux équations algébriques et aux fonctions elliptiques dont il aperçut la double périodicité. Dans le premier ordre d’idées son mémoire Sur une classe cl’ équations résolubles algébriquement est un modèle d’élégance. 11 y démontre entre autres résultats que si toutes les racines d’une équation sont liées entre elles par un rapport rationnel, il sera possible de les déterminer algébriquement.

Pour exposer ce qu'on lui doit dans le second genre, remontons un peu en arrière.

Lorsqu’on eut trouvé le Calcul intégral, on jugea d’abord facile de ramener aux fonctions algébriques et circulaires l’intégration des fonctions différentielles d’une seule variable; mais on se heurta vite à des expressions simples qu’on ne put intégrer et auxquelles conduisaient la rectification des sections coniques, d’où le nom d 'intégrales elliptiques donné à ces fonctions transcendances nouvelles qu’on s’efforça de réduire à leur forme la plus simple.

Au commencement du xvme siècle, l’Italien Fagnaxi ouvrit une voie nouvelle en arrivant à une intégrale particulière de l’équation différentielle servant à la division de l’arc de la lemniscate. Euler fit faire un pas de plus à la question, en découvrant l'intégrale générale d'une équation différentielle du premier ordre dont chaque membre est une transcendante elliptique complète. Lagrange la retrouva par une méthode plus élégante, et le géomètre anglais Laxdex, en 1755, formula un théorème remarquable au moyen duquel il montra (pie chaque arc de l’hyperbole est immédiatement ree-

(1) Libki. Art. Abel clans la Biographie universelle ancienne et moderne (nouvelle édition, t. 1. Paris, 1 8 4 -> ) -

AXALTSE ET THÉORIE DES EOÎXCTIO.XS

tilîable par deux arcs d'une ellipse. Puis Legendre composa son grand traité contenant divers perfectionnements importants; enfin Abel, en 1827, dans une série de mémoires classiques fournil, pour le développement et la multiplication des transcendantes elliptiques, d'élégantes expressions correspondant à celles en usage pour les fonctions circulaires. Il déduisit toute sa théorie du théorème fondamental connu aujourd'hui sous son nom et communiqué à l’Académie des Sciences de Paris en 182a, mais publié seulement en 1841.

Pendant qu'Abel poursuivait ses profondes recherches, un mathématicien allemand, Carl Gustay Jacori, travaillait de son côté dans la même direction. Cet algébriste naquit à Postdam en 1804. Après avoir terminé ses études à l'Université de Berlin où il obtint 1<* grade de docteur en philosophie (1820), il devint professeur do mathématiques à Konigsberg, puis Vovagea pendant plusieurs années, visitant Gauss à Gottingue, Legendre et Poisson à Paris. En 1842 il résida en Italie pour rétablir sa santé ébranlée puis retourna peu de temps après à Berlin. Le gouvernement prussien lui servit alors une pension jusqu’à sa mort (18 février i85i). Ses premiers travaux roulent sur la valeur des intégrales définies et les équations aux différentielles partielles, mais les plus célèbres se rapportent aux fonctions elliptiques. Epars dans divers mémoires, ils sont condensés dans ses Fimdamenta nova Théorisé fimctionuin ellipticanun imprimés en 1829. Ils paraissent avoir été établis indépendamment de ceux d’Abel ; en tous cas il a inventé les notations qui nous servent actuellement.

Deux de ses compatriotes Gopel et Georg Rosexhain s’occupèrent également des fonctions abéliennes et des fonctions -thêta dont le dernier établit la théorie. L'illustre doyen de nos géomètres, Charles Hermite, les introduisit dans l’enseignement supérieur. Né à Dieu/e Meurthe) le 2.5 décembre 1822, ce savant entra à l’Ecole Polytechnique en 1 843 , mais n’en sortit dans aucun ser-

vice public afin de pouvoir plus librement se consacrer à la Mathématique. Ses succès furent d’ailleurs assez grands pour qu’en i856 l’Académie des Sciences l’appelât dans son sein et qu’en 1869 on le nommât professeur d’Algèbre supérieure à la Sorbonne. Il sut, par une sagace application des fonctions elliptiques à la théorie des nombres, déduire de nombreuses propositions arithmétiques. Ses études de la transformation, sa résolution de l’équation du cinquième degré, sa démonstration de la nature de la fonction modulaire, premier type de toute une classe de transcendantes nouvelles, et tant d’autres recherches qu’il nous est impossible même de citer, l’ont placé au premier rang des mathématiciens de notre temps.

Les fonctions elliptiques furent envisagées au point de vue géométrique par Bernhard Riemann, né à Breselenz (Hanovre) en 1826. Après des études théologiques à Gôttingue, il apprit les Mathématiques avec Gauss, Jacobi et Eisenstein, puis la Physique sous Weber. En 1 85 1 , il obtint le grade de docteur et remplaça Diriehlet dans sa chaire (1809;. Peu après il alla demander à l’Italie le rétablissement de sa santé chancelante, mais le climat de Sélasca ne put le guérir et il décéda le 20 juillet 1866. Ses découvertes scientifiques remontent aux environs de l’année 1 85— et se rapportent à la théorie des fonctions algébriques d’une seule variable. Un mémoire de Puiseux sur ce sujet avait transformé l'Analyse en lui donnant de nouvelles bases. Précisant la notion de fonction si obscure jusque-là, ce savant marcha sur les traces de Cauchy. En examinant la succession des valeurs imaginaires, les chemins décrits simultanément par la variable et les racines d’une équation, il aperçut dans leurs grandes lignes leur nature analytique. Il dévoila le rôle des points critiques et les circonstances de l'échange des valeurs initiales des racines quand la variable revient à son point de départ en décrivant un contour fermé; puis il pour-

A. \ A LYSE ET THÉORIE UES EO.XCTIO.XS

suivitles conséquences de ces résultats l'elativemenl aux intégrales de différentielles algébriques, ce qui l'amena à trouver l’origine de la périodicité des fonctions circulaires, elliptiques et transcendantes à plusieurs variables.

Vinrent ensuite les travaux de lliemann, « accueillis par une admiration unanime, comme l'événement le plus considérable de notre temps 1 ». Ils reposent sur une idée féconde, celle des surfaces désignées aujourd’hui sous son nom. Elles sont formées de plans superposés, en nombre égal au degré d’une équation algébrique et reliés par des lignes de passage qu’on obtient en joignant d’une certaine façon les points critiques. Des développements qu’il en tira découle une représentation géométrique devenue entre ses mains et celles de ses successeurs un instrument si puissant.

En énonçant son fameux théorème, Abel avait fait une découverte de premier ordre. Il avait montré qu’une somme d’intégrales à limites arbitraires, de la même fonction algébrique, se représente par un nombre lixe d’intégrales identiques auxquelles s’ajoute une quantité algébrique et logarithmique. Riemann, en voyant que ce nombre est le genre de la fonction, compléta l'œuvre de son devancier dont la proposition simplifiée revêtit alors sa forme définitive. D’autre part, le profond ana- Ivste introduisit la considération féconde de classes de courbes algébriques'1 : deux courbes appartiennent à la même classe si elles se correspondent point par point, voulant dire par là que les coordonnées d’un point quelconque do la première s’expriment rationnellement en fonction des coordonnées d'un point de la seconde, et réciproquement.

Karl Weierstrass considéra les fondions elliptiques à un point de vue purement analytique. Son œuvre se

(i) Appell et Goursat. Théorie des /onctions algébriques. Préface de Ch. Hermite. Paris, i8rp.

(■a) Picard. Sur la théorie des surfaces algébriques, dans la Reçue générale des Sciences pures et appliquées , t. V. Paris, 1894.

distingue donc bien de celle de Riemann. C’est à Ostenfeld, en Westphalie, que ce sagace géomètre vit le jour, le 3i octobre 1 8 1 5 . A sa sortie du gymnase de Paderborn, il ne se livra pas tout d’abord aux Mathématiques, il étudia le droit à l’Université de Bonn, et n’aborda la Science qu’à 23 ans1. Puis, en iS4i, il subit son examen d’aptitude au professorat, ce qui lui valut les modestes fonctions d’instituteur à Deutsch- Krone (Prusse Rhénane) où pour développer ses remarquables facultés il devait enseigner l’écriture et la gymnastique à ses élèves. Ce temps d’épreuve se termina en 1848. A cette époque, il obtint une chaire au lycée de Braunsberg, et la publication de ses premiers mémoires remonte à son séjour dans cette cité qu’il ne quitta qu’en 1 8 56 pour occuper une chaire à l’Institut industriel de Berlin puis à l’Université de cette ville quelques mois après. L’année suivante, il était élu membre de l’Académie. Enfin, en i8y3, ses collègues le nommèrent recteur magnifique, fonctions qu’il conserva jusqu’à sa mort (19 février 1897). T°lis les corps savants du monde se l’étaient associé depuis longtemps.

La partie maîtresse de ses recherches est l'établissement d’une théorie générale et définitive des fonctions analytiques. 11 montra qu’une fonction entière peut être décomposée en un produit d’un nombre généralement infini de facteurs primaires, chacun de ceux-ci étant le produit d’un facteur linéaire par une exponentielle d’une certaine forme. Cette méthode le conduisit à l’importante notion du prolongement analytique , considération qui joua par la suite un grand rôle dans les travaux de Félix Klein (actuellement professeur à Gottingue) sur les fonctions modulaires. En représentant les fonctions par les séries, Weierstrass remarqua le premier que certaines séries, ordonnées suivant les puissances crois-

(1) Revue des questions scientifiques. Art. de M. d’Ocagne, 2e série, t. XII. Bruxelles, 1897.

Fig- 3i. — Portrait de Karl Weierstrass (1813-1897).

(D après la planche du Ionie 3 II des Acta Mathcniatica, Stockholm.)

ANALYSE ET THÉORIE DES FONCTIONS

santés d'une variable ne peuvent être prolongées au delà de leur cercle de convergence, et il fut amené à fournir l'exemple d’une fonction continue d’une variable x n’ayant pas de dérivée. Les ouvrages d Halphen, de Picard, et le traité plus récent d’Appell et Goursat (189a), en réunissant toutes ces découvertes en corps de doctrine, ont beaucoup contribué à leur diffusion.

La théorie des fonctions abéliennes attira aussi l'illustre professeur berlinois. L inversion des intégrales hyperelli p tiques avait été formulée par Jacobi, et étudiée par Gopel et Rosenhain dans le cas oii le polygone sous le radical est du cinquième ou du sixième degré. Par une méthode toute différente, Weierstrass étendit le problème aux intégrales hyperellipliques de degré quelconque.

Comme nous l’avons dit plus haut, dans ses recherches sur les l’ouations algébriques et leurs intégrales, son point de départ fut différent de celui de Riemann. Il parvint à la notion du genre d'une courbe sans quitter le domaine de l'Algèbre, en recherchant le nombre minimum des infinis arbitraires qu’une fonction rationnelle des coordonnées d'un point variable de la courbe est susceptible d’avoir. Du reste, les tendances d'esprit de ces deux grands analystes s’accusent nettement dans ces travaux en quelque sorte parallèles. Weierstrass déduit tout de transformations de calcul qui permettent de parvenir de façon assurée au but cherché. Dans son exposition il paraît se garder des vues d’ensemble, tandis que Riemann se complaît dans les méthodes intuitives qui éclairent d’un jour nouveau le sujet, quille à négliger certains détails. Weierstrass s’est encore attaqué à bien d’autres questions. Son grand souci de la rigueur l’a conduit à élucider les principes qui servent de base à l’Analyse, de manière à les mettre à l’abri du doute. Enfin la théorie des surfaces minima lui est redevable d'importants perfectionnements qu'a augmentés encore, dans un des plus remarquables chapitres

Boyer. Itist. des Math. i5

de ses Leçons de géométrie infinitésimale , le doyen actuel de la Faculté des sciences de Paris, Darboux.

Parmi les plus brillants élèves du mathématicien allemand, citons : Mittag-Leffler, de Stockholm, qui dirige le recueil si estimé des Acta mathematiea , et s’occupa de généraliser bien des points de la théorie des fonctions; Schwarz, qui développa aussi la doctrine des surfaces minima et publia un intéressant travail sur les séries hypergéométriques, et enfin la mathématicienne russe Sophie Kovalewski, gracieuse figure sur laquelle nous nous arrêterons quelques moments.

Cette femme remarquable naquit à Moscou en i85o et non en 1 853 comme la plupart de ses biographes Font imprimé par erreur1. Elle poursuivit ses études scientifiques d'abord à Heidelberg ensuite à Berlin où elle sut conquérir l’estime et l’amitié de Weierstrass. Elle resta sous sa direction pendant quatre années consécutives, et en 1874 l’Université de Gottingue lui décerna sans examen le grade de docteur en Philosophie, sur la production de deux thèses, dont celle Sur la théorie des équations aux différences partielles a une grande valeur. Puis, tout en continuant ses recherches d’analyse, elle fut nommée en 1884, grâce à l’appui de Mittag-Leffler, professeur à l’Ecole supérieure de Stockholm où son enseignement obtint un vif succès. Peu après elle remporta le prix Bord in (1888), une des des plus hautes distinctions accordées par l’Académie des Sciences de Paris, avec le sujet suivant : « Perfectionner en un point important la théorie du mouvement d’un corps solide. » On lui décerna solennellement cette récompense dont la valeur fut doublée en raison du service extraordinaire rendu à la Physique mathématique. Elle avait découvert un cas nouveau dans lequel les équations différentielles d’un corps pesant, mobile

(1) Souvenirs d'enfance de Sophie Kovalewsky, écrits par elle-même, et suivis de sa biographie par Mm“ A. -Cii. Lefeler, duchesse de Cajanello. Paris, 189s.

l’ig. 32. — Portrait de Sophie Kovalewsky (1800-1890) (D après une phototypie suédoise.)

ALGÈBRE ET MÉCANIQUE 229

aulon r d’un point lixe, peuvent s’intégrer. Ce fut une de ses dernières productions. Elue en 1890 correspondante de l’Académie de Saint-Pétersbourg, celle savante dont le talent en pleine maturité donnait tant d'espérances, s’éteignit le 10 février de la même année. Sa -mort éveilla bien des sympathies, et de tous les coins du monde civilisé, depuis la Société Royale de Londres jusqu'à l’école primaire de Tillis, des télégrammes de condoléances parvinrent au recteur de l’Université de Stockholm. Ses funérailles furent royales, des monceaux de fleurs ornèrent son tombeau, les journaux mathématiques lui consacrèrent des articles nécrologiques émus, et les femmes russes décidèrent d’élever à celle qui avait si bien honoré leur sexe, un monument dans la ville même où elle avait enseigné.

ALGÈBRE ET MECANIQUE

Après avoir constitué ce qu'on dénomme aujourd’hui l’Algèbre supérieure, les mathématiciens de notre siècle se sont attachés à envisager sous tous leurs aspects les principes fondamentaux, et surtout ils ont créé la théorie des équations.

W. Rowan Hamilton fut un de ceux qui se distinguèrent le plus dans ce domaine. Né à Dublin le 4 août i8o5, sa première éducation se fit dans sa famille, et il entra seulement en 1824 au Trinity College, un an après avoir publié son premier mémoire qui roule sur une question d’Optique et fut très remarqué. Aussi dès 1827 il devenait professeur d’Astronomie dans sa ville natale, bien qu’il 11e possédât aucun grade universitaire.

Dans sa Théorie des systèmes île rayons il prédisait le phénomène de la réfraction conique, et les années suivantes il publia de nombreux mémoires sur l’équation du 5e degré, sur la courbe dite « hodographe », sur la solution numérique des équations différentielles, etc.

Mais surtout il énonça, en 1 835, le principe des q'uaterhions ou calcul s’appliquant aux figures géométriques de l’espace. Il compléta et développa par la suite cette théorie, pratiquée avec succès en Angleterre mais peu connue en France malgré la remarquable Introduction à l’étude des quater nions qu’a publiée, en 1 88 1 , Laisant, examinateur à l’Ecole Polytechnique. Le calcul géométrique était né d’ailleurs avant l’habile astronome de Dublin. Le Genevois Robert Argand, dans son Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires (1806), avait indiqué le moyen d’exprimer graphiquement des nombres de la forme A -)- B p — r . Môbius, professeur à Leipzig, dans son Calcul barycentrique (1827), basé comme son nom l’indique sur les propriétés du centre de gravité, ouvrit une nouvelle roule et l'Italien Bellavitis, en imaginant la conception des Equipollences , traduisit les faits géométriques du plan.

Mais peu après la découverte d’Hamilton, Hermann Grassmann inventa une méthode puissante établissant, en somme, le lien entre les précédentes.

Ce mathématicien naquit à Stettin en 1809. Il commença son éducation au gymnase de sa ville natale, puis il apprit durant plusieurs années la théologie à Berlin, sans négliger toutefois les études scientifiques. Aussi, en 1 834 , succéda-t-il à Steiner comme professeur de Mathématiques à l’Ecole industrielle de Berlin où il enseigna à la fois l’Astronomie, la Physique et le dogme. Vers cette époque il produisit des travaux originaux, et en 1 844 publia son fameux ouvrage Lineale Ausdehnungslehre , dont la forme ardue d’exposition retarda longtemps la diffusion. Le but de cette « Science extensive » a été de constituer une théorie des fondements abstraits de l’étude des grandeurs sans recourir à la Géométrie, simple application de son système à l’espace. Ses propositions ont d’ailleurs une portée des plus générales. Procédé de calcul géométrique à la fois synthétique

ALGÈBRE ET MÉCANIQUE

et analytique, sa méthode est devenue féconde en permettant la résolution aisée de bien des problèmes complexes se rapportant aux diverses branches des mathématiques où entre la considération de l'étendue.

En Italie, tout récemment, le professeur Pea.no a fourni une interprétation géométrique concrète des formes et des opérations comprises dans l'ouvrage de Grassmann. Partant de l'idée commune de tétraèdre, il définit le produit de 2 et de .'3 points puis les produits de ces éléments par des nombres, et enfin les sommes de ces produits. La théorie des formes du premier ordre fournil les calculs barycentrique et vectoriel. Les formes du deuxième ordre représentent les droites, les orientations et les systèmes do forces appliquées à un corps solide ; les formes du troisième ordre expriment les plans et le plan à l'infini. Enfin, en 1897, Burali Eorti de Turin a présenté très simplement dans son Introduction à la Géométrie différentielle, les éléments essentiels de la doctrine de Grassmann.

D'un autre côté, Maurice d’Ocagxe, professeur à l'Ecole des Ponts-et-Chaussées, dans son Truité de Nomographie { 1899) s’est efforcé d'établir une théorie de la représentation graphique des équations à un nombre quelconque de variables. Les principes de la dualité et de l'homographie, en passant ici dans le domaine de la pratique, lui ont permis de fixer les dispositions d’abaques préférables pour les types de formules habituelles. De la sorte, il a pu réduire les longs calculs d'ingénieurs à de simples lectures sur des tableaux graphiques, construits une fois pour toutes.

Dans un domaine quelque peu différent, Auguste de Morgan se signala tout particulièrement. Fils d'un colonel de l'armée anglaise il naquit à Madura (Inde) en 1806, fil ses études à Cambridge, devint par la suite professeur à l'Fniversilé de Londres,

(1) The 0[>en Court (New-York) , numéro de décembre i8<j8.

et prit une part active à la fondation de la Société mathématique de cette ville. Ses plus importants travaux roulent sur les principes fondamentaux de l’algèbre. Il s’attaqua dans sa Formai Logic à analyser méthodiquement les lois, les opérations et les symboles des Mathématiques. Sa maxime favorite était la suivante: «Les mathématiciens ne prennent pas plus soin de la Logique, que les logiciens des Mathématiques ; cependant les deux yeux de toute Science exacte sont les Mathématiques et la Logique; la secte mathématique dédaigne l’œil logique, la secte logique ne regarde pas avec l’œil mathématique, chacune croyant voir mieux avec un œil qu'avec deux. » De Morgan, lui, s’efforça de se servir des « deux yeux », et ses travaux philosophiques resteront. Son enseignement a laissé d’ailleurs une trace profonde dans les recherches de ses successeurs, les Cayley, les Benjamin Peiree et les Sylvester, pour ne citer que quelques-uns de ses compatriotes.

Avec É vaiuste Galois l’Algèbre s’enrichit d’inventions remarquables. Ce génial mathématicien naquit à Bourg-la-Reine , près de Paris, le 20 octobre 1811. Après avoir travaillé dans sa famille, il entra au lycée Louis-le-Grand (1823), et dès la fin de 1827 son aptitude spéciale se révéla : il lisait avec avidité Lagrange et Legendre. Bientôt il remporta un prix au Concours général, se présenta à l’Ecole Polytechnique (1828), mais se vit refusé deux ans de suite à ce concours. Cependant son professeur avait su l’apprécier. Il commentait en classe les solutions originales trouvées par son élève, qui pendant l’année même de son échec publia dans le journal de Gergonne 1 sa Démonstration d’an théorème sur les fractions continues périodiques (1829), et communiqua à l’Académie des Sciences

(1) Los Annales de Mathématiques, premier journal français consacré exclusivement aux mathématiques, se publièrent à Nîmes, sous la direction de Gergonne, de 1811 à 1 S J 3 . La collection de ce recueil est très estimée, car elle renferme d’importants mémoires.

Fig. 33. — Portrait cl Fyaristi: Galois (181 1 - 1 8 3 •-> . 3 (D'après l'héliogravure placée en tèle de ses (Hùtrres, iSp;.)

ALGEBRE ET MECANIQUE

une de ses plus belles découvertes sur la théorie des équations. Il n'avait pas dix-huit ans! Sur ces entrefaites, il perdit son père et fut reçu à l'école Normale en 1829. Durant l’hiver suivant, son activité mathématique ne se démentit pas, et il écrivit plusieurs mémoires importants; mais en juillet >83o la révolution éclatait. Alors le jeune Galois se jeta avec ardeur dans la mêlée politique, fut renvoyé de l’Ecole, devint, malgré son jeune âge, un orateur influent du parti républicain avancé, et fut même poursuivi pour un toast régicide Acquitté cependant, il fut arrêté à nouveau un mois plus tard, passa quelque temps à Sainte-Pélagie oii il se remit au travail. Mais à peine sorti de prison, il fut tué en duel à la suite d’une intrigue d’amour, le 3o mai i83a. Sa vie si courte, -semée de tant d’épreuves, ne fut cependant pas perdue pour la Science. Les notes qu’il avait laissées furent d’abord publiées par Liouville, en 1846, puis rééditées en 1897, par la Société mathématique de France.

Si Lagrange, Gauss et Abel avaient perfectionné la théorie des équations, aucun n’avait trouvé l’élément primordial de celles-ci. Galois sut le découvrir. Il montra qu’à toute équation algébrique correspond un groupe de substitutions où viennent, pour ainsi dire, se réfléchir son image, ses caractères essentiels. Cauchy avait poursuivi dé multiples recherches sur la théorie des groupes, et introduit divers éléments de classification. Galois poussa plus loin l’analyse du problème. 11 saisit l’importance de la notion de sous-groupe invariant d’un groupe donné, ce qui l’amena à partager les groupes en simples et en composés.

Ses travaux en Analyse 11e le cèdent en rien aux précédents. Dans une lettre à un de ses amis, Chevallier,

(1) M. Dupuy, dans les Annales de l’Ecole Normale supérieure, 3e série, t. XIII (189C), a consacré une attachante notice biographique il Galois. C'est à ce travail, camposé d’après des documents inédits, que nous avons emprunté les renseignements qui précèdent.

a36 HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES

sorle Je testament scientifique écrit la veille de sa mort, on rencontre les vues les plus curieuses sur les intégrales de fonctions algébriques. En particulier, il parait avoir possédé les parties essentielles de la théorie des intégrales abéliennes qu’il était réservé à Riemann d’apercevoir un quart de siècle plus tard. Si quelques années lui avaient été accordées pour mûrir ses idées, il aurait sans doute posé les fondements de la théorie des fonctions algébriques dont nous ont doté ses continuateurs. En tout cas, on ne peut s’empêcher d’une douloureuse émotion en songeant qu’une vie si courte et si agitée a permis d’édifier une telle œuvre. <( Sa mort fut pour la Science une perte immense ; l’influence de Galois, s’il eût vécu, aurait grandement modifié l’orientation des recherches mathématiques... il a sans doute des égaux parmi les mathématiciens de ce siècle ; aucun ne le surpasse par l’originalité et la profondeur de ses conceptions ‘. » Parmi ses successeurs, que le cadre de notre livre nous force de sacrifier quelque peu, distinguons : Cayley qui formula les principes de la théorie des invariants; Sturm, Genevois naturalisé Français, qui succéda à Poisson dans saehaire de Mécanique à la Faculté des Sciences de Paris, et dont le théorème, permettant de décider combien il existe de racines réelles d’une équation algébrique comprises entre deux limites données, est bien connu; enfin II ex ni Poixcaké que nous avons déjà rencontré à plusieurs reprises et dont les mémoires de haute analyse ont trait principalement à la théorie des fonctions et à leur application aux équations différentielles. Né à Nancy le 29 avril i854, membre de l’Académie des Sciences de Paris depuis 1887, il professe actuellement à la Sorbonne. C’est là l’origine de son remarquable Cours de Physique mathématique (1885-1896).

(1) Œuvres mathématiques d’Evahiste Galois. Paris, i 8<); . Introduction par Emile Picard.

ALGÈBRE ET MÉCANIQUE 12J7

Signalons encore parmi les nombreuses applications de l’algèbre à cette dernière branche de la science, la Théorie analytique de la chaleur par Poirier, qui parut en 1822 et qui est un modèle du genre. Avec une grande pénétration ce savant i n ventait des ressources inconnues pour résoudre ces difficiles questions. 11 prit comme point de départ ce principe : le llux différentiel de calorique entre deux molécules infiniment voisines est proportionnel à la différence infiniment petite des températures de ces deux particules. Il parvint à trouver lès équations différentielles des phénomènes thermiques et plusieurs théorèmes au moyen desquels on peut remonter de celles-ci aux intégrales et par le fait arriver jusqu’aux applications numériques. Il jeta aussi un jour nouveau sur la théorie des équations aux différentielles partielles en découvrant la série connue sous son nom et qui permet de développer une fonction continue ou discontinue en une suite infinie de termes composés des sinus et des cosinus des multiples de la variable.

Dans la même voie, Georges Green, qui mourut à Cambridge en 1 84 1 , rendit de grands services en introduisant dans l’étude mathématique de l’électricité, la fonction potentielle utilisée déjà par Lagrange et Laplace au sujet de l'attraction universelle. Plus près de nous, Cleric Maxwell, né à Edimbourg le i3 juin i83i, créa une théorie électro-magnétique complète basée sur l’intervention du milieu ambiant, en traduisant en langage algébrique les résultats expérimentaux découverts par Faraday. Son hypothèse peut se résumer ainsi : tout milieu capable de transmettre la force magnétique est formé d'une infinité de particules sphériques susceptibles de tourner. Sous l’influence de la force magnétique ces corpuscules prennent, autour des lignes de force comme axe, un mouvement de rotation dont le sens et la vitesse dépendent du sens et de l'intensité de la

force. Grâce à ce principe et à quelques transformations analytique's il parvint, dans son Traité d'électricité cl de magnétisme (1873), non seulement à expliquer tous les phénomènes connus, mais à déduire de nouvelles relations intéressantes entre la lumière et l’éleetrieité. Maxwell, après avoir professé à Aberdeen et au King’s Collège de Londres, termina sa carrière comme professeur à l’ Université de Cambridge où il décéda le 5 novembre 1879.

Parmi les ouvrages les plus connus exposant l’ensemble de la Science physico-mathématique on peut mentionner, outre ceux cités plus haut, celui de Resal, mort à Annemasse (Ilaute-Savoie) le 22 août 1896. Enfin Boussinesq, le savant professeur de Mécanique à la Faculté des Sciences de Paris, a singulièrement l'ait progresser X Hydrodynamique mathématique à laquelle il a su appliquer avec sagacité l’analyse et l’algèbre.