CHAPITRE XV. HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES DESCARTES

pour principal objet l'étude des rapports entre** Dieu, la nature et l'homme. C'est la Grèce qui produisit les premiers philosophes : ils s'occupèrent principalement des relations entre Dieu et la nature, l'homme étant considéré séparément. L'Eglise chrétienne s'absorbe dans l'étude des relations entre Dieu et l'homme au point de négliger entièrement la nature. Enfin les philosophes modernes traitèrent particulièrement des relations entre l'homme et la nature. Notre intention n'est pas de discuter ces opinions diverses, il nous suffit de dire que c'est Descartes qui a le premier envisagé la philosophie à la manière des modernes.

Les piincipaux travaux mathématiques de Descartes sont exposés dans sa géométrie et sa théorie des tourbillons ; c'est sa géométrie qui constitue la base la plus solide de sa réputation.

La géométrie analytique ne consiste pas simplement (comme on le dit quelquefois trop légèrement) dans l'application de l'algèbre à la géométrie : cette application avait été déjà faite par Archimède et par bien d'autres, et elle était devenue la façon usuelle d'opérer dans les ouvrages des mathématiciens du seizième siècle. Le grand progrès accompli par Descartes tient à ce qu'il vit nettement, d'une ' part que la position d'un point dans un plan, peut être complè tement déterminée par ses distances x et y, à deux droites fixes tracées à angle droit dans le plan, avec la convention qui nous est familière pour 1 interprétation des valeurs positives et négatives; il montra d'autre part que bien qu'une équation telle que/(a:y) = o soit indéterminée et puisse être satisfaite par une infinité de valeurs de X et j, cependant ces valeurs de ôc et j déterminent les coordonnées d'un certain nombre de points dont l'ensemble forme une courbe et que l'équation f{xy) = o exprime les propriétés géométriques, communes à tous les points de la courbe. Descartes vit aussi qu'un point de l'espace pouvait être déterminé H'une manière identique par trois coordonnées, mais il ne s'occupa que des courbes planes.

Il était dès lors évident que pour rechercher les propriétés d'une courbe il suffisait de choisir comme définition, une propriété géométrique caractéristique de cette courbe et de l'exprimer au moyen d'une équation entre les coordonnées (ordinaires) d'un point quelconque de la courbe, c'est-à-dire de traduire la définition dans la langue spéciale à la géométrie analytique. L'équation ainsi obtenue contient implicitement chacune des propriétés de la courbe.

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et une propriété particulière quelconque peut s'en déduire par l'algèbre ordinaire sans s'inquiéter de la forme de la courbe. Tout cela peut avoir été entrevu d'une façon confuse par les anciens auteurs mais Descartes alla plus loin et mit en évidence ces faits très importants que deux ou plusieurs courbes peuvent être rapportées à un seul et même système de coordonnées et que les points d'intersection de deux courbes se déterminent en cherchant les racines communes aux deux équations.

Nous pensons qu'il est inutile d'entrer dans de plus longs détails à ce sujet^ attendu que presque tous ceux qui comprennent ce que nous venons de dire ont connaissance de la géométrie analytique et peuvent apprécier l'importance de la découverte de Descartes.

La géométrie de Descartes est divisée en trois livres : les deux premiers ont rapport à la géométrie analytique et le troisième comprend une analyse de l'algèbre telle qu'elle existait à l'époque. Il est quelquefois difficile de suivre son raisonnement, mais l'obscurité était intentionnelle. « Je n'ai rien omis », dit-il, « qu'à dessein. J'avais prévu que certaines gens qui se vantent de savoir tout n'auraient pas manqué de dire que je n'avais rien écrit qu'ils n'eussent su auparavant, si je me fusse rendu assez intelligible pour eux. »

Le premier livre débute par une exposition des principes de la géométrie analytique et contient la discussion d'un problème particulier qui avait été proposé par Pappus dans le septième livre de son SuvaywYïi et dont quelques cas particuliers avaient été traités par Euclide et Apollonius. Le théorème général avait échappé aux géomètres antérieurs et ce sont les essais tentés pour arriver à le résoudre, qui conduisirent Descartes à l'invention de la géométrie analytique. L'énoncé complet du problème est plutôt confus, mais le cas le plus important consiste à trouver le lieu des points tels que le produit des perpendiculaires abaissées de chacun d'eux sur m lignes droites données soit dans un rapport constant avec le produit des perpendiculaires abaissées sur n autres lignes droites données.

Les anciens avaient trouvé une solution géométrique pour les cas où l'on avait m = i avec /i = i et m = i avec n= 2. Pappus avait constaté de plus que pour m = n = 2, le lieu était une conique