CHAPITRE XV. HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES DESCARTES

mais 11 ne donnait aucune preuve à l'appui ; Descartes ne réussit pas à trouver une solution par la géométrie pure, mais il montra que la courbe était représentée par une équation du second degré, c'est-à-dire qu'elle était une conique; Newton fournit dans la suite une élégante solution du problème par la géométrie pure.

Dans le second livre. Descartes divise les courbes en deux classes : les courbes géométriques et les courbes mécaniques. 11 définit les premières comme étant celles qui peuvent être engendrées par l'intersection de deux lignes se déplaçant chacune parallèlement aux axes des coordonnées avec des vitesses « commensurables » ; il veut dire par là que dy/dx est une fonction algébrique, comme c'est le cas, par exemple, pour l'ellipse et la cissoïde. Il appelle la courbe, mécanique, quand le rapport des vitesses des mêmes lignes définies plus haut est « incommensurable » ; c'està-dire quand dy/dx est une fonction transcendante, comme par exemple c'est le cas pour la cycloïde et la quadratrice. Descartes se borna à étudier les courbes géométriques sans traiter la théorie des courbes mécaniques. La classification actuelle en courbes algébriques et transcendantes est due à Newton.

Descartes s'occupa aussi d'une façon particulière de la théorie des tangentes aux courbes, ainsi qu'il paraît résulter de son système de classification dont il vient d'être parlé. A cette époque la tangente en un point d'une courbe était définie : la ligne droite menée par ce point de telle sorte qu'aucune autre droite ne puisse être tracée entre elle et la courbe, c'est-à-dire la ligne droite de contact le plus étroit. Descartes proposa de substituer à cette définition une autre qui revenait à considérer la tangente comme la position limite de la sécante ; Fermât, et à une date plus reculée Maclauriu et Lagrange adoptèrent cette définition. Barrow, suivi par Newton et Leibnilz considérait une courbe comme la limite d'un polygone inscrit dont les côtés deviennent infiniment petits et montrant qu'un côté du polygone devient à la limite tangent à la courbe. Robervald'un autre côté définissait la tangente en un point d'une courbe comme la direction du mouvement d'un point mobile décrivant cette courbe, à l'instant oii il se trouveau point considéré. Quelle que soit la définition choisie on arrive au même résultat, mais la question de savoir quelle était la meilleure définition de la tangente provoqua une controverse très animée. Comme application

de sa théorie Descartes donna une règle générale pour tracer les tangentes et les normales à la roulette.

La méthode employée par Descartes pour trouver la tangente ou la normale en un point quelconque d'une courbe donnée était en substance la suivante. Il déterminait le centre et le rayon d'un cercle passant par le point donné qui devait couper la courbe en deux points consécutifs. La tangente au cercle en ce point devenait tangente à la courbe quand les deux points d'intersection du cercle avec la courbe venaient à se confondre avec le point considéré. Dans les ouvrages modernes on exprime généralement la condition que les deux points où une droite (telle que y -^ mx -\- c) coupe la courbe doivent coïncider avec le point considéré : ceci permet de déterminer m et c et par suite d'écrire l'équation de la tangente en ce point. Descartes cependant ne procédait pas ainsi, mais choisissant un cercle comme la courbe la plus simple à laquelle i! savait mener une tangente, il traçait son cercle de façon à lui faire toucher la courbe au point en question, et ramenait ainsi le problème au tracé d'une tangente à un cercle. Nous noterons en passant qu'il n'appliqua sa méthode qu'aux courbes symétriques par rapport à un axe, sur lequel il prenait le centre du cercle.

Le style systématiquement obscur adopté par Descartes fut un obstacle il la diffusion et l'appréciation immédiate de ses ouvrages, mais une traduction latine avec notes explicatives fut préparée par F. de Beaufie, et une édition avec un commentaire par F. Yan Schooten, publiée en 1669 eut un grand succès.

Le troisième livre de la géométrie contient une analyse de l'algèbre telle qu'elle existait à cette époque, mais il en modifia la langue, en employant les lettres du commencement de l'alphabet pour les quantités connues et celle de la fin pour les quantités inconnues (i). De plus Descartes introduisit le système des indices encore en usage ; très vraisemblablement c'était une nouveauté pour lui^ mais nous devons rappeler ici que des écrivains antérieurs en avaient déjà suggéré l'idée bien que cette notation n'eut pas été généralement adoptée. On ne sait si Descaries pensa que les lettres pouvaient représenter une quantité quelconque, positive ou néga-

(1) Sur l'origine de l'usage du signe x pour représenter une inconnue, voir une note par G. E>estroii dans la Biblioiheca Mathematica, i885, p. 43.