CHAPITRE XV, HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES DESCARTES

Cavaliéri (-). — Presqu'en même temps que Descartes publiait sa géométrie, c'est-à-dire vers 1637, les principes du calcul intégral, limite aux sommations, étaient étudiés en Italie. Les calculs s'effectuaient au moyen de ce qu'on a appelé la méthode des indivisibles dont l'invention revient à Cavaliéri. Il l'appliquait ainsi que ses contemporains à de nombreux problèmes sur la quadrature des courbes et des surfaces, à la détermination des volumes, des centres de gravité. Il remplaçait ainsi la pénible méthode d'exhaustion des géomètres grecs; ces diverses méthodes sont au fond identiques mais la notation des indivisibles est plus concise et plus convenable. Les indivisibles furent à leur tour remplacés au commencement du dix-huitième siècle parle calcul intégral.

Bonaventure Cavaliéri naquit à Milan en 1598 et mourut à Bologne le 27 novembre 1647. Encore fort jeune il entra dans l'ordre des Jésuites et sur la recommandation de ses supérieurs il fut nommé en 1629 professeur de mathématiques à Bologne, où il professa jusqu'à sa mort. Nous avons déjà mentionné le nom de Cavaliéri au sujet de l'introduction en Italie de l'usage des logarithmes, et nous avons fait allusion à sa découverte de l'expression de l'aire d'un triangle sphérique en fonction de l'excès sphérique. Ce fut l'un des mathématiciens les plus considérables de son temps, mais sa réputation repose principalement sur l'invention du principe des indivisibles.

Le principe des indivisibles avait été employé par Kepler en i6o4 et 161 5 sous une forme un peu primitive. 11 fut établi pour ,, la première fois par Cavaliéri en 1629 mais il ne publia pas ses résultats avant i635. Dans le premier exposé de sa méthode qu'il donna en 1625, Cavaliéri admettait qu'une ligne était formée par un nombre infini de points (chacun sans grandeur), une, surface par un nombre infini de lignes (chacune sans largeur) et un volume par un nombre infini de surfaces (chacune sans épaisseur). Pour répondre aux objections présentées par Guldin et d'autres savants cette exposition fut remaniée, et sous sa dernière forme, qui est celle employée par les mathématiciens du dix-septième siècle, elle a été

(') La vie de Cavaliéri a été écrite par P. Frisi, Milan, 1778 ; par F. Pre- DARi, Milan i843; par Gadrio Piola, Milan, i844 ; et par A. Favaro, Bologne, 1888. On trouve une analyse de ses œuvres dans l'Histoire des Sciences mathématiques et Physiques de M. Marie, Paris, i885-8 vol. IV pp. 69-90.

publiée en i647 dans les Exercitatlones Geometricœ de Cavalieri; le troisième exercice est consacré à la défense de la théorie. Ce livre renferme la plus ancienne démonstration des propriétés découvertes par Pappus. Les œuvres de Cavalieri sur les indivisibles ont été rééditées en i653 avec ses dernières corrections.

La méthode des indivisibles repose en fait, sur cette hypothèse que toute grandeur est divisible en un nombre infini de petites quantités qui peuvent être choisies de façon à avoir entre elles un rapport donné quelconque (le cas d'égalité non exclus) . L'analyse présentée par Cavalieri ne vaut guère la peine d'être reproduite si ce n'est pour signaler que c'est le premier pas fait vers la création du calcul infinitésimal. Un exemple suffira. Supposons que l'on demande de trouver l'aire d'un triangle rectangle. Considérons la base comme formée ou comme contenant n points (ou indivisibles) et semblablement considérons l'autre côté comme contenant na points, alors les ordonnées aux points successifs de la base contiendront a, ia, 3a,... n.a points. Par conséquent le nombre des points renfermés dans l'aire est

a -h 20 + 3a -H ... H- na

et cette somme est égale à

- n^a -\ — na.

Puisque n est très grand, nous pouvons négliger la quantité - na comme insignifiante à côté de - n^a et l'air est

(na) X of.

c'est-à-dire hauteur x base.

Il serait facile de critiquer cette démonstration quoique présentée sous une forme inacceptable, elle est correcte en substance.

On aurait une fausse idée de la méthode des indivisibles en la jugeant seulement d'après l'exemple précédent, aussi en développerons-nous un autre emprunté à un écrivain plus récent, exemple de nature à bien faire saisir la méthode modifiée et rectifiée par l'emploi des limites.

Proposons nous de trouver l'expression de l'aire limitée par un arc de parabole APC, par la tangente en A à cette parabole et par