CHAPITRE XV. HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES DESCARTES 2ÛI

angle est construit comme le représente la figure ci-après, chaque ligne horizontale se déduisant de la précédente en prenant chaque nombre de la ligne à former égal à la somme de tous ceux qui se trouvent à sa gauche dans la ligne précédente, jusque et y compris

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Fia;. 3a.

le nombre immédiatement au dessus de celui que l'on forme ; par exemple, le quatrième nombre dans la quatrième ligne, c'est-à-dire 20, est égal â i-h 3+ 6-i- 10. Les nombres qui composent chacune des lignes sont ce qu'on appelle aujourd'hni des nombres figurés. Ceux qui entrent dans la première ligne sont les figurés du premier ordre ; ceux de la seconde ligne sont les nombres naturels ou les figurés du second ordre ; ceux de la troisième sont les figurés du troisième ordre, et ainsi de suite. On voit facilement que le m" nombre de la n* ligne est

— tM

On obtient le triangle arithmélique de Pascal (jusqu'à un ordre demandé quelconque) en traçant une diagonale de droite à gauche comme le montre notre figure. Les nombres contenus dans chaque diagonale donnent les coefficients des termes entrant dans le développement du binôme : par exemple, les figures de la cinquième diagonale, i, 4, 6, 4, i, sont les coefficients du développement de (a -h by. Pascal employait également le triangle arithmétique pour trouver les nombres de combinaisons de m objets pris nhi w, il

avait d'ailleurs établi (d'une façon correcte) que ces nombres étaient fournis par la formule

Comme mathématicien Pascal est peut-être mieux connu par sa correspondance avec Fermât en i65/i, où on trouve les principes de la Théorie des probabilités. Cette correspondance eut pour cause un problème proposé à Pascal par un joueur célèbre de l'époque, le Chevalier de Méré, que Pascal communiqua à Fermât. Voici en quoi il consistait. Deux joueurs, de force égale, désirent abandonner la partie avant la fm du jeu. Les mises et le nombre des points qui constituent le jeu étant donnés, on désire savoir dans quelle proportion les enjeux doivent être partagés. Pascal et Fermât tombèrent d'accord dans la réponse, mais donnèrent des démonstrations différentes. Nous reproduisons ci-après la solution de Pascal. Celle de Fermât sera donnée plus loin.

« Voici à peu près comme je fais pour savoir la valeur de cha- « cune des parties quand deux joueurs jouent par exemple en 3 « parties, et chacun a mis 32 pistoles au jeu.

(( Posons que le premier en ait deux et l'autre une ; ils jouent « maiiiienant une partie dont le sort est tel, que si le premier la « gagne, il gagne tout l'argent qui est au jeu, savoir 64 pistoles : « si l'autre la gagne il sont deux parties à deux parties ; et par « conséquent s'ils veulent se séparer, il faut qu'ils retirent chacun « leur mise, savoir, chacun 32 pistoles. Considérez donc, monsieur, « que si le premier gagne, il lui appartient 64 ; s'il perd, il lui « appartient 32. Donc s'ils ne veulent point hasarder cette partie, « et se séparer sans la jouer, le premier doit dire : je suis sûr « d'avoir 32 pistoles, caria perte même me les donne ; mais pour « les 32 autres, peut-être je les aurai peut-être vous les aurez ; le « hasard est égal ; partageons donc ces 32 pistoles par la moitié^ « et donnez-moi outre cela mes 32 qui me sont sures. Il aura donc « 48 pistoles et l'autre 16.

« Posons maintenant que le premier ait deux parties, l'autre « point, et qu'ils commencent à jouer une partie. Le sort de cette « partie est tel, que si le premier la gagne, il tire tout l'argent, 64 « pistoles, si l'autre la gagne, les voilà revenus au cas précédent