CHAPITRE TV. — HISTOIRE DES MATHEMATIQUES DESCARTES

« auquel le premier aura deux parties et l'autre une. Or, nous « avons déjà montré qu'en ce cas il appartient à celui qui a les « deux parties ^8 pistoles ; donc s'ils veulent ne point jouer cette « partie^ il doit dire ainsi : si je la gagne, je gagnerai tout qui est « Gi4 ; si je la perds, il m'appartiendra légitimement 48. Donc « donnez- moi les 48 qui me sont certaines, au cas même que je « perde, et partageons les i6 autres par la moitié, puisqu'il y a « autant de hasard que vous les gagniez que moi. Ainsi il aura 48 « et 8 qui font 56 pistoles.

{( Posons enfin que le premier n'ait qu'une partie et l'autre point. '( Vous voyez, monsieur, que s'ils commencent une partie nouvelle M le sort en est tel, que si le premier la gagne il aura deux parties « à point, et partant par le cas précédent, il lui appartient 56 ; s'il (( la perd, ils sont partie à partie, donc il lui appartient 82 pistoles. (( Donc il doit dire, si vous voulez ne pas la jouer, donnez-moi 82 <( pistoles qui me sont sures et partageons le reste de 56 par la « moitié ; de 56 otez 82, reste 24 ; partagez donc 24 par la moitié, « prenez en 12 et moi 12, qui, avec 82, fait 44-

« Or, par ce moyen, vous voyez par les simples soustractions, « que pour la première partie il appartient sur l'argent de l'autre « 12 pistoles, pour la seconde autres 12, pour la dernière 8. »

Pascal continue ensuite en considérant le même problème quand la partie est gagnée par celui qui obtient le premier m -\- n points, et en supposant que l'un des joueurs a m points et l'autre n points. II obtient la solution en se servant du triangle arithmétique. La solution générale de la question (dans laquelle on suppose des joueurs de force inégale) est donnée dans plusieurs livres classiques modernes et concorde avec le résultat de Pascal, bien que la notation de Pascal soit différente et moins commode.

Pascal fait intervenir le calcul des probabilités dans le septième chapitre de ses Pensées. On y lit en effet un raisonnement de ce genre : comme la valeur d'un bonheur éternel est infinie, même si la probabilité de ce bonheur assuré par une vie religieuse est très petite, néanmoins l'espérance (qui est mesurée par le produit des deux), est encore assez grande pour nous engager à mener une vie religieuse.

Cet argument, s'il a quelque valeur, s'applique à toute religion qui assure le bonheur éternel à ceux qui en acceptent et en prati-

quent les doctrines. Si une conclusion quelconque doit-être tirée du raisonnement de Pascal, c'est qu'il ne faut pas appliquer les mathématiques à des questions dont certaines données sont nécessairement en dehors de leur domaine. Ce n'est d'ailleurs que justice d'ajouter que personne n'éprouvait plus de mépris que Pascal pour ceux dont les opinions variaient suivant les avantages matériels qu'ils espéraient en tirer, et ce passage isolé est en désaccord avec l'esprit général de ses écrits.

Le dernier ouvrage mathématique de Pascal est de 1 658 et traite de la Cycloïde. La cycloïde est la courbe décrite par un point de la circonférence d'un cercle roulant sur une ligne droite. Galilée en i63o, avait le premier attiré l'attention sur cette courbe dont la forme est particulièrement gracieuse, et il avait émis l'idée de donner cette forme aux arches des ponts ('). Quatre ans plus tard en 1634, Roberval trouva l'aire de la cycloïde; Descartes défia de trouver les tangentes à la courbe, le même défi fut également envoyé à Fermât qui résolut immédiatement le problème. Plusieurs questions relatives à cette courbe, à sa surface, au volume engendré par sa révolution autour de son axe, de sa base ou de la tangente au sommet, furent alors proposées par divers mathématiciens. Toutes ces questions et d'autres analogues, ainsi que la détermination de la position des centres de gravité des solides formés, furent résolues par Pascal en i658, et les résultats obtenus publiés comme un défi au monde savant. Wallis réussit à résoudre toutes les questions à l'exception de celles relatives aux centres de gravité. Pascal obtenait ses résultats au moyen de la méthode des indivisibles, et ses solutions sont semblables à celles qui seraient données par un mathématicien moderne avec l'aide du calcul intégral. Il obtenait par sommation des résultats équivalents aux intégrales

/ sin od^, I sin^ cfdtp, / tf sin çdcp,

une limite étant ou o ou - tî.

Il a fait également des recherches sur la spirale d'Archimède. D'après d'Alembert, ces recherches forment un lien entre la géométrie d'Archimède et le calcul infinitésimal de Newton.

(^) Le pont de la route d'Essex sur le Cam, qui est construit sur les terres du Collège de La Trinité à Cambridge, a des arches cycloïdales.