CHAPITRE XV. HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES DESCARTES

prises entre les limites a? = o el £C = i , et montre que les aires sont respectivement

I ï j 0 do 140

Il considère encore les courbes de la forme y = a?"'" et établit le théorème que l'aire limitée par la courbe, l'axe des x. et l'ordonnée X = I, est à l'aire du rectangle ayant la même base et la même hauteur dans le rapport de m à m -h i . Ceci revient à trouver la

£C'" dx.

Il donne comme exemple la parabole dans laquelle m = 2. II énonce, mais sans en donner une démonstration le résultat correspondant pour une courbe de la forme y = xg.

Wallis fait preuve d'une grande ingéniosité en réduisant les équations des courbes aux formes données ci-dessus ; mais, ne connaissant pas le théorème du binôme, il ne pouvait effectuer la

quadrature du cercle, dont l'équation est y = {x — x^)^, attendu qu'il ne pouvait développer ce binôme. Il posa cependant le principe de l'interpolation. Ainsi, comme l'ordonnée du cercle

y = {x — x-)2 est la moyenne géométrique entre les ordonnées des courbes y = (x — x^y et y = [x — x-y, on pouvait supposer

approximativement que l'aire du demi-cercle /' [x — aî^) '2 «te, qui

est — g 71, pouvait être prise comme moyenne géométrique entre les valeurs de

J^J{x — x'ydx et Jj(x — x'ydx,

c'est-a-dire, i et g ; ce qui revient à prendre pour la valeur de n

'^V 3^" 3,26. Mais Wallis disait qu'étant donnée la série

^' 6' 3o' 73Ô' '■• î" ^^^^^ obtenue précédemment, le terme interpolé entre i et g devait être choisi de façon à obéir à la loi de cette série. Par ce moyen et en employant une méthode laborieuse, dont nous ne croyons pas utile d'exposer ici les détails

il était amené à une valeur du terme interpolé qui revenait à faire

Les mathématiciens du dix-septième siècle employaient constamment l'interpolation pour obtenir des résultats que nous donnerait une analyse directe.

On trouve également traités dans cet ouvrage la formation et les propriétés des fractions continues ; cette question avait été mise à l'ordre du jour par l'usage que Brouncker faisait de ces fractions.

Quelques années plus tard, en lôSg, Wallis publia un traité contenant la solution des problèmes de la cycloïde, qui avaient été proposés par Pascal. Il y expliquait incidemment comment les principes posés dans son Arithmetica In/înitorum pouvaient être utilisés pour la rectification des courbes algébriques, et il donna une solution du problème de la rectification de la parabole semicubique x^ = ay'^, qui avait déjà été obtenue en 1657 par son èlè^e William TNeil. La spirale logarithmique avait été rectifiée par Torricelli peu avant la découverte de Neil. C'est le premier exemple de la détermination par les mathématiques de la longueur d'une ligne courlx^, et comme tous les essais tentés pour rectifier l'ellipse et l'hyperbole avaient été (nécessairement) infructueux, on avait primitivement pensé qu'il n'était pas possible d'effectuer la rectification des courbes, comme d'ailleurs Descartes l'avait affirmé. La cycloïde fut la seconde courbe rectifiée en i658 par Wren.

Au commencement de i658, une découverte semblable, indépendante de celle de Neil, fut faite par Van Ilcuraët (^), et fut publiée par van Schœten dans son édition de la Geometria de Descartes en 1659. La méthode de Van Ilenraët est la suivante. Il suppose la courbe rapportée à des axes rectangulaires ; si {x, y) sont les coordonnées d'un point quelconque de cette courbe, et n la longueur de la normale, et si un autre point dont les coordonnées

sont (x, yj) est pris de telle sorte que j = -, h étant une constante,

alors, si ds est l'élément de la longueur de la courbe cherchée, nous avons par les triangles semblables -,- = - . Par conséquent

(•) Sur \a?( IIenract, voir la Dibliotlieca Maihcmatica 1887, ^'°^- ^> PP* 76-80.