CHAPITRE XV. HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES DESGARTÉS 3oi

des nombres ; 2° l'usage qu'il fit en géométrie de l'analyse et des infiniment petits ; et 3° la façon dont il a traité les questions de probabilité.

1° La théorie des nombres paraît avoir été l'étude favorite de Fermât. Il prépara une édition de Diophante, et ses notes et commentaires contiennent de nombreux théorèmes d'une élégance remarquable. La plupart des démonstrations de Fermât sont perdues, et il est possible que quelques unes d'entre elles manquaient de rigueur ; une induction par analogie et l'intuition du génie suffisant à le conduire à des résultats exacts. Les exemples suivants serviront à donner une idée de ses recherches.

a) p étant un nombre premier et a un nombre premier avecp, la différence a^'~' — i est divisible par p, c'est-à-dire que l'on a :

aP-^ — I ^ o (mod. p).

Une démonstration de cette proposition donnée pour la première fois, par Euler, est bien connue. Un théorème plus général est traduit par la relation

a'f (") I = o (mod. »),

dans laquelle a est premier avec n et ç(n) représente le nombre des entiers plus petits que net premiers avec n.

b) Un nombre premier (plus grand que 2) peut toujours être décomposé en une différence de deux carrés entiers mais d'une seule manière.

Voici la démonstration de Fermât. Soit nie nombre premier que nous supposons égal à £c^ — y'^ c'est-à-dire à (a; h- j) (œ — y). Par hypothèse, les seuls facteurs entiers de n, sont n et i . Par suite