X -\- y = n et x — J=i d'où l'on déduit

a; = L(n-hi) et j = i(n— i).

c) Il donna une dçmonstration de cette proposition énoncée par Diophante que la somme des carrés de deux entiers ne peut être de la forme /Jn — i ; et il ajouta un corollaire dont la signification serait, croyons-nous, qu'il est impossible que le produit d'un carré par un nombre premier de la forme lin — i (même multiplié par

un nombre premier avec ce dernier) soit un carré ou la somme de deux carrés. Par exemple, fxk est un multiple de ii (qui est de la forme 4x3 — i) par [\, par suite il ne peut représenter la somme de deux carrés.

Il établit aussi qu'un nombre de la forme ar -+- 6^, a étant premier avec by ne peut être divisible par un nombre premier de la forme [\n — i.

d) Tout nombre premier de la forme 4« + i est décomposable, et cela d'une seule façon, en une somme de deux carrés. Ce problème fut résolu pour la première fois par Euler qui montra qu'un nombre de la forme 2"' {l\n -\~ i) pouvait toujours être décomposé en une somme de deux carrés,

é) Si a, h, c sont des entiers tels que a- + 6^ = c-, le produit ah ne peut être un carré. Lagrange en donna une démonstration.

/) Trouver un nombre x tel que x^n + i soit un carré, n étant un nombre entier donné qui n'est pas un carré. Lagrange en donna encore une solution.

g) L'équation x"^ -h 2 = j' n'a qu'une solution en nombresentiers ; et l'équation ic^ -h 4 = j' ne présente que deux solutions entières. Ces solutions sont évidemment pour la première équation £C = 5, et pour la seconde équation x=2etx=ii. Cette question fuÇproposée en défi aux mathématiciens anglais WallisetDigby.

h) L'équation x" + j" =z" est impossible en nombres entiers, si n est un entier plus grand que 2. Cette proposition (*) a une célébrité extraordinaire parce qu'aucune démonstration générale n'en a encore été donnée, mais on n'a aucune raison de douter de son exactitude.

Fermât découvrit probablement qu'elle était exacte d'abord pour n = 3 et ensuite pour n = 4- Sa démonstration pour le premier de ces cas est perdue, mais celle pour le second cas subsiste et Euler donna une preuve du même genre pour n= 3, Ces démonstrations consistent à faire voir que si on peut trouver trois valeurs entières pour x, j, z satisfaisant à l'équation, il sera possible de trouver trois autres entiers plus petits qui rempliront la même condition : on montre alors finalement que l'équation serait satisfaite

(*) Au sujet de cette curieuse proposition, voir nos Mathematical Récréations and Probleins, 3° édition pp. 35-38. Traduction française par Fitz Patrick).