CHAPITRE XV. HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES DESCARTES 3o
par trois valeurs qui de toute évidence ne peuvent convenir. Par suite aucune solution entière n'est possible. Ce mode de démonstration ne semble applicable qu'aux cas de n = 3 et n ^= k-
La découverte par Fermât du théorème général est d'une date postérieure. On peut en donner une démonstration en admettant qu'un nombre peut |être décomposé en facteurs premiers (complexes) d'une manière et seulement d'une seule. Cette supposition a été faite par quelques écrivains, mais elle n'est pas universellement vraie. Il est possible que Fermât ait fait quelques suppositions erronées, mais il est peu probable qu'il se soit servi des nombres complexes, et, en somme, il paraît très vraisemblable qu'il n'a découvert une démoïistration rigoureuse.
En i8/io Legendre parvint à trouver des démonstrations pour n= 5 ; en i832 Lejeune Dirichlet en donna une pour n = [\: et en 1845 Lamé et Lebesgue fournirent une démonstration pour n = 7. La proposition paraît être vraie dans toute sa généralité, et en 1849, Kummer, en faisant usage des nombres premiers idéaux, prouva qu'elle était exacte pour tous les nombres, sauf ceux remplissant trois conditions (s'ils existent). On ne sait s'il est possible de trouver un nombre quelconque satisfaisant à ces conditions, mais il n'y en a aucun inférieur à 100.
La démonstration est compliquée et difficile, et, il ne peut y avoir aucun doute à ce sujet, basée sur des considérations inconnues à Fermât. Nous pouvons ajouter que, pour prouver l'exactitude de la proposition quand n est plus grand que |7 il suffit évidemment de se borner aux cas où n est un nombre premier, et le premier pas dans la démonstration de Kummer est de montrer que l'un des nombres x, y, z doit être divisible par n.
Les extraits suivants, d'une lettre actuellement à la Bibliothèque universitaire de Leyde, donneront vme idée des méthodes de Fermât ; la lettre n'est pas datée, mais il paraîtrait que, à l'époque où Fermât l'écrivit, il avait prouvé la proposition (A) ci-dessus, seulement pour le cas de n = 3.
(( Je ne m'en servis au commencement que pour démontrer les « propositions négatives, comme par exemple, qu'il n'y a aucun « nombre moindre de l'unité qu'un multiple de 3 qui soit com- « posé d'un quarré du triple d'un autre quarré. Qu'il n'y a aucun « triangle rectangle de nombres dont l'aire soit un nombre quarré.
3o4 HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES
« La preuve se fait par àrcaYtoy-z-v tt,v v.^ àojvaxov en cette manière. (( S'il y auoit aucun triangle rectangle en nombres entiers,- qui « eust son aire esgale à un quarré, il y auroit un autre triangle (( moindre que celuy la qui auroit la mesme propriété. S'il y en « auoit un second moindre que le premier qui eust la mesme pro- « priété il y en auroit par un pareil raisonnement un troisième (( moindre que ce second qui auroit la mesme propriété et enfin « un quatrième, un cinquième etc, à l'infini en descendant. Or est- « il qu'estant donné un nombre il n'y en a point infinis en des- « céndant moindres que celuy la, j'entends parler toujours des « nombres entiers. D'oii on conclud qu'il est donc impossible M qu'il y ait aucun triangle rectangle dont l'aire soit quarré. Vide « folià post seq Liens. . .
« Je fus longtemps sans pouvoir appliquer ma métbode aux « questions affirmatiues parce que le tour et le biais pour y venir « est beaucoup plus malaisé que celuy dont je me sers aux négatives. (( De sorte que lorsqu'il me falut demonstrer que tout nombre « premier qui surpasse de l'unité un multiple de /|, est composé « de deux quarrez je me treuuay en belle peine. Mais enfin une ifié- « ditation diverses fois réitérée me donna les lumières qui me « manquolent. Et les questions affirmatiues passèrent par ma mé- (( tbôde à l'ayde de quelques nouveaux principes qu'il y fallust « joindre par nécessité. Ce progrès de mon raisonnement en ces « questions affirmatives estoit tel. Si un nombre premier pris à (( discrétion qui surpasse de l'unité un multiple de 4 n'est point « composé de deux quarrez il y aura un nombre premier de « mesme nature moindre que le donné ; et ensuite un troisième « encore moindre, etc., en descendant à l'infini jusques a ce que « nous arriviez au nombre 5, qui est le moindre de tous ceux « de cette nature, lequel il s'en suivroit n'estre pas composé « de deux quarrez, ce qu'il est pourtant d'où on doit inférer par la « déduction à l'impossible que tous ceux de cette nature sont par « conséquent composez de 2 quarrez. Il y a infinies questions de « cette espèce.
« Mais il y en a quelques autres qui demandent de nouveaux « principes pour y appliquer la descente, et la recherche en est « quelquefois si mal aisée, qu'on n'y peut venir qu'avec une peine u extrême. Telle est la question suivante que Bachet surDiophante
