CHAPITRE XV. HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES DESCARTES 3o

« avoue n'avoir jamais peu demonstrer, sur le suject de laquelle (( M' Dcscartes fait dans une de ses lettres la mesme déclaration, (( jusques la qu'il confesse qu'il la juge si difficile qu'il ne voit « point de voye pour la résoudre. Tout nombre est quarré ou « composé de deux, trois, ou de quatre quarrez. Je l'ay enfin « rangée sous ma méthode et je demonstre que si un nombre « donné n'estoit point de cette nature il y en auroit un moindre « qui ne le seroit pas non plus, puis un troisième moindre que le « second etc., à l'infini, d'où l'on infère que tous les nombres sont « de cette nature...

« J'ay ensuite considéré certaines questions qui bien que néga- « tives ne restent pas de receuoir très grande difficulté la méthode « pour y pratiquer la descente estant tout à fait diverses des précé- « dentés comme il sera aisé d'esprouuer. Telles sont les suiuantes. « Il n'y a aucun cube diuisible en deux cubes. Il n'y a qu'un seul « quarré en entiers qui augmenté du binaire fasse un cube, le dit « quarré est 26. Il n'y a que deux quarrez en entiers lesquels aug- « mentes de 4 fassent cube, les dits quarrez sont 4 et 121.

« Après auoir couru toutes ces questions la plupart de diuerses « (sic) natures et de différente façon de demonstrer, j'ay passé à « l'inuention des règles générales pour résoudre les équations sim- « pies et doubles de Diophante. On propose par exemple 2 quarr. « -H 7907 esgaux à un quarré {hoc est 2xx -+- 7967 00 quadr.) « J'ay une règle générale pour résoudre cette équation si elle est « possible, ou découvrir son impossibilité. Et ainsi en tous les cas « et en tous nombres tant des quarrez que des unitéz. On propose « cette équation double 2£ch- '5 el3x -\- 5 esgaux chacun à un « quarré. Bachet se glorifie en ses commentaires sur Diophante « d'auoir trouvé une règle en deux cas particuliers. Je la donne « générale en toute sorte de cas. Et détermine par règle si elle est « possible ou non...

« Voila sommairement le conte de mes recherhes sur le suject des nombres.

« Je ne l'ay escrit que parce que j'appréhende que le loisir « d'estendre et de mettre au long toutes ces démonstrations et ces « méthodes me manquera.

« En tout cas cette indication seruira aux sçauants pour trouver « d'eux mesmes ce que je n'estens point, principalement si M. de

R. B. — Tome I. ao

3o6 HISTOIRE DES MA.THÉMATIQUES

<( Carcaui et Frenicle leur font part de quelques démonstrations <( par la descente que je leur aye envoyées sur le suject de quelques «propositions négatives. Et peut estre la postérité me scaura gré « de luy avoir fait connoistre que les anciens n'ont pas tout sceu, et (( cette relation pourra passer dans l'esprit de ceux qui viendront « après moy pour traditlo lampadis ad filios comme parle le grand « Chancelier d'Angleterre, suiuant le sentiment et la deuise duquel <( j'adjousteray, malti pertransihunt et augebitur scientia. »

2° Nous continuerons en faisant mention de l'emploi fait par Fermât en géométrie de l'analyse et des infiniment petits,. Il semblerait résulter de sa correspondance qu'il avait imaginé pour luimême les principes de la géométrie analytique avant d'avoir eu connaissance de la géométrie de Descartes et avait compris que de l'équation d'une courbe (ou comme il l'appelait « la propriété spécifique ») on pouvait déduire toutes ses propriétés. Cependant les notes qui nous restent de lui sur la géométrie traitent principalement de l'application des infiniment petits à la détermination des tangentes aux courbes, à la quadrature des courbes et aux questions de maxima et de minima ; ces notes sont probablement une révi-' sion de ses manuscrits originaux (qu'il détruisit) et qui furent écrits vers i663, mais il n'est pas douteux qu'il avait déjà l'idée général de sa méthode pour trouver les maxima et les minima vers 1628 ou 1629.

Il obtenait la sous-tangente de l'ellipse, de la cycloïde, de la cissoïde, de la conchoïde et de la quadratrice en faisant égales les ordonnées de la courbe et d'une ligne droite pour deux points ayant pour abscisses x et x — e; mais rien n'indique qu'il considérait le procédé comme général, et bien qu'il utilisât le principe dans le courant de son ouvrage, il est probable qu'il ne le séparait jamais des symboles, si nous pouvons parler ainsi, du problème particulier dont il s'occupait. Le premier exposé définitif de la méthode est dû à Barrow (*) et fut publié en 1669.

Fermât obtint aussi les aires des paraboles et des hyperboles d'un degré quelconque et détermina les centres de gravité de quelques corps en forme de lames et du paraboloïde de révolution. Comme exemple de la méthode qu'il employait pour résoudre ces questions nous donnerons sa solution du problème de la détermi-

(1) Voir plus loin pages 821-2.