CHAPITRE XV. HISTOIRE DES MATHEMATIQUES DESCARTES

nation de l'aire comprise entre la parabole y^ = px^, l'axe des x, et la ligne x = a. Si, dit-il, on mène les diverses ordonnées des points pour lesquels x est successivement égale à a, a (i — e), <i (i — ey,..., l'aire cherchée sera partagée en un certain nombre ■de petits rectangles ayant respectivement pour aires

ae {pa^y, ae (i — e) | pa^ (i — ey (s,...

Leur somme est

et au moyen d'une proposition subsidiaire (attendu qu'il ne connaissait pas le théorème du binôme) il trouva pour la limite de cette

expression quand e s'annule, ^p^aK Les théorèmes mentionnés en

dernier lieu n'ont été publiés qu'après sa mort : et ils ne furent probablement composés qu'après la lecture des ouvrages de Cavalieri et de Wallis,

Kepler avait fait remarquer que les valeurs d'une fonction dans le voisinage et de part et d'autre d'un maximum (ou d'un minimum) devaient êtres égales. Fermât appliqua ce principe à quelques exemples.

Ainsi, pour trouver la valeur maximum de x {a — x) sa mé thode revient essentiellement à prendre une autre valeur de x, à savoir x — e, e étant très petit et à poser x (a — x)= (x — e) (a — a? -h e). Simplifiant, et posant finalement e= o, on obtient X = -. Cette valeur de x rend l'expression donnée maximum,

3° Fermât doit partager avec Pascal l'honneur d'avoir créé la théorie des probabilités. Nous avons déjà feit mention du problème proposé à Pascal et qu'il communiqua à Fermât, et nous avons reproduit à cette occasion la solution de Pascal, La solution de Fermât dépend de la théorie des combinaisons et sera suffisamment expliquée par l'exemple suivant, qui est en substance tiré d'une lettre datée du 24 août i65/i et faisant partie de sa correspondance avec Pascal.

Fermât examine le cas de deux joueurs, A et B, lorsqu'il manque à A deux points pour gagner et à B, trois points. Le jeu sera cer-

3o8 HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES

tainement décidé dans le cours de quatre essais. Prenons les lettres a et 6 et écrivons toutes les combinaisons qui peuvent être formées ' avec quatre lettres. Ces combinaisons sont au nombre de i6, à savoir :

aaaa, aaab, aaba, aahh ; ahaa, abab, abba, abbb ;

baaa, baab, baba, babb ; bbaa, bbab, bbba, bbbb.

Maintenant chaque combinaison dans laquelle a se présente deux fois ou plus de deux fois représente un cas favorable pour A, et toute combinaison dans laquelle h se présente trois fois ou plus de trois fois représente un cas favorable pour B. Dès lors, en les comptant, on trouvera qu'il y a ii cas favorables pour A et 5 cas favorables pour B ; et du moment que ces cas sont tous également vraisemblables, la chance de gagner du joueur A est à celle du joueur B comme ii est à 5.

Le seul autre problème sur ce sujet qui, autant que nous sachions, attira l'attention de Fermât lui fut également proposé par Pascal et en voici l'objet. Une personne se propose d'obtenir six avec un dé à jouer en le lançant huit fois; en supposant qu'elle ait jeté trois fois le dé sans succès, on demande quelle portion de l'enjeu elle est autorisée à retirer, si elle abandonne la partie au quatrième coup. Fermât raisonnait comme il suit : La chance de

réussite est représentée par ^ , de telle sorte qu'il lui serait permis

de prendre .-de l'enjeu à la condition d'abandonner son coup. Mais si nous désirons estimer la valeur du quatrième coup avant qu'aucun coup de dé ne soit fait, nous dirons : le premier coup vaut ^

de l'enjeu ; le second vaut g de ce qui reste, c'est-à-dire j^r del'en-

jeu ; et le troisième vaut n^ du nouveau reste, soit — t. ; le quatrième

coup vaut /. du dernier reste, c'est-à-dire — ^ de l'enjeu.

Fermât ne paraît pas avoir poursuivi le sujet plus loin, mais sa corirespondance avec Pascal montre que ses idées en ce qui concerne les principes fondamentaux du calcul des probabilités étaient justes ; celles de Pascal ne le furent pas toujours.

La réputation de Fermât est à peu près unique dans Thistoire