KEPLER

gorc, qui comparait, dit-on, les planètes aux sept cordes de la lyre, il veut montrer comment l'homme, imitant le Créateur par un instinct naturel, sait, dans les noies de sa voix, faire le même choix et observer la mcMue proportion que Dieu a voulu mettre dans Tharmonie générale des mouvements célestes ; la même pensée du Créateur se traduisant ainsi dans tous ses desseins, dont l'un peut servir d'interprète et de ligure à l'autre.

Cherchant des harmonies partout où elles sont possibles, Kepler consacre un chapitre à la politique :

« Cyrus, dit-il, vit dans son enfance un homme de haute taille, vêtu d'une courte tunique, et près de lui un nain avec une robe longue et traînante. Il fut d'avis qu'ils échangeassent leurs robes, afin que chacun eût celle qui convenait à sa taille ; mais son maître déclara qu'on devait laisser à chacun ce qui lui appartenait. On aurait pu concilier les deux avis, en ordonnant au premier de donner au nain, api'ès l'échange, une certaine somme d'argent.

(( Tout le monde, ajoute Kepler, voit clairement par cet exemple qu'une proportion géométrique peut être aussi harmonique : telle est 1,2,4. ou encore l'heureux arrangement qui donne au plus grand la robe la plus longue. Une proportion arithmétique peut aussi être har- . monique : telle est 2, 3, 4, ou encore l'utile échange qui permet au nain, possesseur d'une longue robe, de ne pas perdre son bien, mais de le changer en argent qu'il pourra appliquer à un nioillonr «isngc. »

Ce passage, que je traduis de mon mieux, et je n'ai pas besoin de le dire, sans en bien pénétrer le sens, suffit, je crois, pour donner une idée du chapitre sur la politique.

Le dernier chapitre enfin précise la nature des accords planétaires : Saturne et Jupiter font la basse, Mars le ténor, Vénus le contralto, et Mercure le fausset.

Ces idées obscures et chimériques, dans lesquelles l'esprit de Kepler se fatigue et s'égare, semblent l'inutile et vain amusement d'une imagination affranchie du joug de la raison ; on «s'avance avec tristesse, sans oser sonder la mystérieuse profondeur de cette grande intelligence conduite, par une inspiration sans lumière, dans le pur domaine de la fantaisie.

ISIais, aux dernières pages du livre, le génie du rêveur inspiré se réveille tout à coup pour lui dicter de fiers et magnifiques accents, devenus non moins immortels que la découverte qu'ils annoncent :

« Depuis huit mois, dit-il, j'ai vu le premier rayon de lumière; depuis trois mois, j'ai vu le jour ; enfin, depuis peu de jours, j'ai vu le soleil de la plus admirable contemplation. Je me livre à mon enthousiasme, je veux braver les mortels par l'aveu ingénu que j'ai dérobé les

vases d'or des Egyptiens, pour en former à mon Dieu un tabernacle loin des confins de l'Egypte. Si vous me pardonnez, je m'en réjouirai ; si vous m'en faites un reproche, je le supporterai ; le sort en est jeté. J'écris mon livre ; il sera lu par l'âge présent ou par la postérité, peu importe ; il pourra attendre son lecteur : Dieu n'a-t-il pas attendu six mille ans un contemplateur de ses œuvres ? »

Puis, revenant au langage précis de la science, il révèle la célèbre loi qui, reliant tous les éléments de notre système, rattache les grands axes des orbites planétaires à la durée des révolutions ; rien de plus inattendu que cette vive lumière qui semble s'élancer du chaos. Le lecteur étonné se demande comment ces règles précises et ces proportions mathématiques apparaissent tout à coup dans un monde où Kepler semblait entrer en rêvant : comment tant de clarté subite après des obscurités si profondes ? comment cette pure mélodie après les harmonies douteuses qui précèdent ? Nul aujourd'hui ne saurait le dire. Kepler annonce sa loi, la vérifie sans songer à faire connaître comme d'habitude l'histoire de ses idées ; puis, charmé par la pleine et entière possession de l'un des secrets les plus longtemps et les plus ardemment désirés, la joie le pénètre avec trop d'abondance pour qu'il se contente ■ des expressions humaines ; toutes les puissances de son àme éclatent en actions de grâces, et le pieux Kepler, empx-untant les paroles majestueuses de l'Ecriture, s'écrie avec le Psalmiste : a La sagesse du Seigneur est infinie, ainsi que sa gloire et sa puissance. Cieux, chantez ses louanges ! Soleil, lune et planètes, glorifiez-le dans votre ineffable langage I Harmonies célestes, et vous tous qui savez les comprendre, louez-le ! Et toi, mon âme loue ton Créateur ! c'est par lui et en lui que tout existe. Ce que nous ignorons est renfermé en lui, aussi bien que notre vaine science. A lui, louange, honneur et gloire dans l'éternité ! ^)

Et dans une note non moins émue, et plus touchante peut-être que le texte, il ajoute « Gloire aussi à mon vieux maître Mœstlin ! »

NOTE iV

DÉVELOPPEMENT DES PRINCIPES DE LA DYNAMIQUE TRAVAUX DE GALILÉE ET HUYGHENS

Les travaux de Galilée et Huyghens ont une telle importance , que nous croyons devoir ajouter une note étendue à Vexposition de M. Rouse Bail. — Elle est extraite textuellement de t ouvrage de Mach, dont la traduction a été une véritable révélation pour le public français.

1 , — Nous en arrivons maintenant à la discussion des principes de la dynamique. La dynamique est une science toute moderne. Toutes . les spéculations mécaniques des anciens, et des Grecs en particulier, se rapportent à la statique. Le fondateur de la dynamique est Galilée. On peut s'en convaincre par la simple considération de quelques propositions des Aristotéliciens, qui étaient courantes à son époque. Pour expliquer la descente des corps lourds et l'ascension des corps légers (dans les liquides ou dans l'air par exemple) on disait que chaque corps cherche son lieu, et que les plus pesants ont leur lieu en bas, les plus légers, en haut. On distinguait les mouvements en mouvements naturels, tels que celui de chute des graves, et en mouvements violents, tels que celui des projectiles. On tirait d'un très petit nombre d'observations et d'expériences superficielles la conclusion que les corps lourds tombent plus vite et les corps légers plus lentement, 'ou plus exactement, que les corps de plus grand poids tombent plus v4te et ceux de moindre poids, moins vite. Ces quelques extraits montrent suffisamment combien les connaissances dynamiques des anciens et en particulier des Grecs, étaient insignifiantes ; les temps modernes eurent donc tout d'abord à poser les bases de la science du mouvement. •

On a fait ressortir maintes fois et de divers côtés que les idées de Galilée n'étaient pas sans relations avec celles de prédécesseurs illustres Il serait puéril de se le dissimuler, mais encore faut-il dire que Galilée les dépasse tous de loin. Le plus grand des devanciers de Galilée est

36o HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES

Léonard de Vinci (i 452-1 5 19) dont nous avons déjà parlé dans le chapitre précédent. Mais ses travaux n'eurent aucune influence sur la marche de la science, car ils ne furent publiés pour la première fois qu'en 1797 par Venturi, et seulement en partie. Léonard de Vinci connaissait le rapport des durées des chutes suivant la hauteur et suivant la longueur du plan incliné. Peut-être connaissait-il aussi le principe de l'inertie.

Il est incontestable que tous les hommes ont une certaine connaissance instinctive d'une résistance à toute mise en mouvement, mais Léonard de Vinci paraît être allé un peu plus loin. Etant donné une colonne de dés, il sait que l'on peut en projeter un sans mettre leS autres en mouvement ; il sait aussi qu'un eorps mis en mouvement se meut plus longtemps si la résistance est moindre, mais il suppose que le corps cherche à parfaire une longueur de parcours mesurée par l'impulsion ; il ne parle jamais en termes exprès de la résistance au mouvement lorsque les empêchements sont complètement écartés (Cf. Wohhvill ; Bibliotheca mathematica ; Stockholm, 1888, p. 19). Benedetti (1 530-1590) connaît l'accélération dans la chute des corps; il l'attribue à l'addition des impulsions successives de la pesanteur (Divers. spéculât, math, et phys. liber, Taurini, i585). Il attribue la continuation du mouvement d'un corps lancé, non point, comme les péripatéticiens, à l'influence du milieu, mais aune certaine virtus impressa, sans cependant parvenir à résoudre complètement le problème. Les travaux de jeunesse de Galilée se rapprochent de ceux de Benedetti, qu'il semble avoir utilisés. Galilée accepte aussi une virtus impressa, mais il la considère comme allant en décroissant, et ce n'est qu'après i6o4 (selon Wohhvill) qu'il paraît être en possession complète des lois de la chute des corps. G. Vailati a fait une étude spéciale des travaux de Benedetti (Atti délia R. Acad di Tcrino; vol XXXIII, 1898). Il considère que Benedetti a rendu un service capital en examinant les conceptions aristotéliciennes à un point de vue critique et mathématique, en les corrigeant et en cherchant à découvrir les contradictions qu'elles renferment : il préparait ainsi le progrès ultérieur. Les aristotéliciens supposaient communément la vitesse de la chute en raison inverse de la densité du milieu ambiant. Benedetti montra que cette hypothèse est inadmissible, ou du moins qu'elle ne peut tenir que dans des cas particuliers. Il admit que la vitesse est proportionnelle à la diflérence p - - q entée le poids p du corps et la poussée ry qu'il subit de la part du milieu. Dès lors, si dans un milieu de densité double, le corps tombe avec une vitesse égale à la moitié de la vitesse précédente, on aura : p — ^ = 2 (p — ar/j, condition qui n'est vérifiée que lorsque p = 3^. Pour Benedetti un corps léger en soi n'existe pas ; il attribue

à l'air un poids et une poussée; il considère plusieurs corps identiques tombant ensemble les uns à côté des autres, une première fois libres, et une seconde fois liés entre eux ; et, comme cette liaison ne peut altérer en rien le phénomène de la chute, il en déduit que des corps inégaux de même substance tombent également vite. Il se rapproche donc ici de la manière de penser de Galilée, quoique ce dernier pénètre plus profondément le problème. Les travaux de Bencdetti contiennent toutefois encore beaucoup d'erreurs; il croit, par exemple, que les vitesses de deux corps de même volume et de même configuration, sont entre elles comme leurs poids ou comme leurs densités. Il faut encore signaler ses recherches intcrressantes sur la ironde et son étude de l'oscillation d'un corps de part et d'autre du centre de la terre dans un canal diamétral traversant le globe terrestre, à laquelle il y a peu à retrancher. Les corps lancés horizontalement lui paraissent se rapprocher plus lentement du sol et c'est pour cette raison qu'il croit à la diminution du poids d'une toupie tournant autour d'un axe vertical. Bencdetti ne résout donc pas complètement les problèmes qu'il aborde, mais il prépare leur solution.

2. — Dans Içs « Discorsi e Dinwstrazioni matemalichc » parus en i638, Galilée exposa ses premières recherches sur les lois de la chute des corps. Galilée possède l'esprit moderne : il ne se demande . pas pourquoi les corps tombent, mais bien comment ils tombent, d'après quelle loi se meut un corps tombant librement? Povir délerminer ces lois, il fait certaines hvpothèscs ; mais, au contraire d'Aristole, il ne se borne pas à les poser, il cherche à en prouver rexactilude par l'expérience.

Comme lu vitesse d'un corps qui tombe va manifestement en croissant sans cesse, il lui parut, en premier lieu, raisonnable d'admettre que cette vitesse est double après le parcours d'un cbemin double, triple au bout d'un chemin triple, en résumé, que les vitesses acquises par la chute croissent proportionnellement aux espaces parcourus. Avant de vérifier cette hypothèse par l'expérience, il examina si les conséquences que l'on peut logiquement en déduire ne l'infirment pas. Son raisonnement est le suivant : lorsqu'un corps acquiert une certaine vitesse après être tombé d'une certaine hauteur, vme vitesse double après une hauteur de chute double, etc., comme sa vitesse dans la seconde chute est double de sa vitesse dans la première, il en résulte que le second chemin, qui est double, est parcouru dans un même temps que le premier, qui est simple. Or. dans le cas d'un chemin double à parcourir, comme la première moitié doit en être parcourue tout d'abord, on voit qu'il ne resterait aucun temps pour le parcours

de la seconde moitié. La chute des corps serait donc un transport instantané, ce qui est contradictoire non seulement avecriiypothèse, mais encore avec l'expérience visuelle. Nous reviendrons d'ailleurs plus tard sur ce raisonnement erroné.

3. — Galilée, croyant avoir prouvé que sa première hypothèse était inadmissible, supposa ensuite que la vitesse acquise est proportionnelle à la durée de la chute. D'après cela, si un corps tombe deux fois de suite, de telle façon que la seconde chute dure deux fois plus longtemps que la première, la vitesse acquise dans la seconde chute sera double

de la vitesse acquise dans la première. N'ayant découvert aucune contradiction dans cette hypothèse. Galilée se préoccupa de vérifier par l'expérience si elle était conforme aux faits. Il était fort difficile de prouver directement que les vitesses croissent proportionnellement au temps mais il lui sembla par contre plus aisé de déterminer la loi suivant laquelle l'espace parcouru croit avec la durée de chute. Il déduisit donc de son hypothèse la relation entre l'espace parcouru et le temps employé à le parcourir et c'est cette relation qu'il soumit à l'expérience. Sa déduction est simple, claire et parfaitement correcte. Il représenta les temps écoulés par des longueurs prise» ^ur une ligne droite, et éleva à leurs extrémités des perpendiculaires (ordonnées) représentatives des vitesses acquises. Un segment quelconque OG de la droite OA représente ainsi une durée de chute et la perpendiculaire correspondante GH la vitesse acquise.

En considérant le mode d'accroissement de la vitesse, Galilée remarqua qu'à l'instant c, où la moitié de la durée OA de la chute est écoulée, la vitesse acquise CD est la moitié de la vitesse finale AB, et que pour deux instants E et G également distants de l'instant C, l'un avant, l'autre après, les vitesses (EF et GH) sont également différentes de la vitesse moyenne CD, lune en moins, l'autre en plus. Or, à chaque instant qui précède C correspond un instant également éloigné qui le suit. Si donc nous comparons le mouvement réel avec un mouvement uniforme, dont la vitesse serait la demi-vitesse finale, nous vovons que ce qui est perdu par le mouvement réel sur le mouvement uniforme dans la première moitié est regagné dans la seconde- Nous pouvons donc regarder l'espace parcouru dans la chute comme ayant été parcouru d'un mouvement uniforme de vitesse égale à la moitié de la vitesse finale. En appelant v la vitesse acquise pendant le temps t on a, puisqu'elle est proportionnelle h. t, v = gt, formule

dans laquelle g est la vitesse acquise dans l'unité de temps (qiie l'on' appelle accélération). L'espace parcouru s est alors donné par s = ■- J

= - gt^. On a appelé mouvement uniformément accéléré ce mouvement

dans lequel, d'après l'hypothèse, la vitesse s'accroit de quantités égales dans des temps égaux.

Le tahleau suivant donne les durées de chutes, les vitesses acquises et les espaces parcourus correspondants :

iff

4. — La relation entre ^ et s peut être vérifiée expérimentalement et Galilée a procédé à cette vérification de la manière que nous allons décrire.

Remarquons tout d'abord qu'aucune des notions et des données qui nous sont maintenant si familières n'était connue à cette époque : c'était au contraire Galilée qui devait les découvrir pour nous. 11 lui était donc impossible de procéder comme nous le ferlons aujourd'hui. Dans le but de pouvoir observer avec plus de précision le mouvement de chute des corps, Galilée ci)ercha d'abord à le ralentir. Il observa des sphères roulant dans des rainures sur un plan incliné, et addiit que ce procédé ralentissait seulement la vitesse du mouvement sans altérer la forme de la loi de chute. L'hypothèse qu'il s'agit de vérifier exige que des rainures de longueur i. 4- 9- i6...,. correspondent à des durées

déchûtes respectives i. 2. 3. 4 L'expérience confirme le résultat

théorique. Galilée mesura le temps d'une façon très habile. Nos chronomètres actuels n'existaient pas alors ; leur construction ne devint possible qu'après l'acquisition des connaissances dynamiques dont Galilée posa les bases. On se servait à cette époque d'horloges mécaniques, très peu précises, qui ne pouvaient servir qu'à la mesure approximative de grands espaces de temps ; les plus couramment employées

étaient les horloges à eau et à sable, déjà en usage dans l'antiquité. Galilée construisit une horloge à eau fort simple, qui, chose peu ordinaire pour l'époque, fut spécialement adaptée à la mesure des durées très petites ; elle consistait en un vase de très grande section, rempli d'eau, dont le fond était percé d'un petit orifice que l'on pouvait boucher avec le doigt. Dès que la sphère commençait son mouvement sur le plan incliné, Galilée écartant le doigt ouvrait l'orifice ; l'eau s'écoulait et était recueillie dans un récipient, placé sur une balance, et au moment où la sphère arrivait au bout du parcours déterminé, il refermait l'orifice. A cause de la grande section du vase, la pression ne variait pas sensiblement, le poids de l'eau écoulée était donc proportionnel au temps. Il constata que les temps croissaient comme la suite des nombres entiers pendant que les espaces parcourus croissaient comme la suite des carrés. L'expérience vérifiait donc les conséquences de l'hypothèse et par suite l'hypothèse elle-même.

Pour comprendre parfaitement la marche de la pensée chez Galilée, il faut se rappeler qu'avant d'aborder l'expérimentation il se trouve déjà en possession d'expériences instinctives. Les yeux suivent le corps qui tombent d'autant plus difficilement qu'il tombe depuis plus longtemps ou qu'il a parcouru plus de chemin dans sa chute ; le choc qu'il donne à la main qui le reçoit devient en même temps de plus en plus sensible, et le bruit qu'il fait en heurtant les objets, de plus en plus fort. La vitesse croît par conséquent avec la durée de la chute et la longueur du parcours. Mais, pour l'usage scientifique, la représentation mentale des expériences sensibles doit encore être figurée abstraitement. Ce n'est qu'ainsi qu'on peut les utiliser pour trouver une propriété dépendante d'un fait, ou pour compléter une propriété partiellement établie, par une construction de calculs abstraite basée sur une appréciation abstraite de la propriété caractérisée. Cette figuration se fait par la mise en évidence des points que l'on tient pour importants, en négligeant ce qui est accessoire, par abstraction, idéalisation. L'expérience décide si elle est ou non suffisante. Sans conception préexistante quelconque, toute expérience est en général impossible, car cette dernière reçoit précisément sa forme de la conception préalable que l'on possède. Quels seraient en effet le moyen et le but de la recherche si l'on n'avait pas déjà une certaine tendance ? La voie dans laquelle l'expérience doit être engagée pour se compléter dépend des données acquises auparavant. L'expérience étaie, modifie ou ruine la conception qui en a donné l'idée. Dans un cas semblable, le chercheur moderne se jwserait la question : De quoi v est-il fonction? v étant fonction de t, quelle est la forme de cette fonction ? Galilée, à la manière naïve des temps primitifs, se demande : v est-il proportionnel à s ou est-il proportionnel

à <? Il procède synthéliqucment et à làlons, et arrive pareillement au but. Les méthodes classiques, qui sont en quelque sorte des patrons ou des modèles, sont un des résultats de la recherche, et ne peuvent être parfaitement développées dès les premiers pas que fait le génie (Cf. Ueber Gedankenexperiinenle, Zeitschr. ï. d. phys. u. chem, Unterricht ; 1887, !)•

5. — Dans le but de se représenter la relation entre le mouvement sur le plan incliné et le mouvement de chute libre, Galilée supposa qu'un corps acquiert la même vitesse en tombant suivant la hauteur ou suivant la longueur du plan. Cette liypothèse paraît un peu hasardée, mais il y parvint d'une façon qui la rend très naturelle et que nous allons exposer en quelques mots. Lorsqu'un corps tombe librement, il acquiert une vitesse proportionnelle à la durée de la chute ; Galilée imagina qu'au moment où le corps arrive à l'extrémité de sa chute sa vitesse soit brusquement renversée et dirigée vers le haut. Le corps se met à monter et l'on peut accepter que son mouvement actuel est pour ainsi dire une image réfléchie du précédent. La vitesse, qui tantôt croissait proportionnellement au temps, diminue dans le même rapport et ne devient nulle qu'au moment où le corps est monté pendant aussi longtemps qu'il était descendu et se retrouve à son niveau primitif. Donc la vitesse qu'un corps acquiert en tombant lui permet de monter à une hauteur égale à la hauteur de sa chute. Or, si en tombant le long d'un plan incliné, un corps acquérait une vitesse qui lui permît de remonter, sur un autre plan incliné, plus haut que son niveau initial, il s'ensuivrait que le poids même des corps pourrait produire leur ascension. L'hypothèse que les vitesses acquises ne dépendent que de la hauteur verticalement parcourue, et non pas de l'inclinaison des plans, ne contient donc que l'affirmation et la notion logique du fait que les corps pesants tendent non à monter, mais à descendre. Si, en effet, dans la chute inclinée, le coips prenait une vitesse un tant soit peu plus grande qu'en tombant verticalement suivant la hauteur, il suffirait de le faire passer, avec sa vitesse acquise, sur un plan vertical ou sur un plan autrement incliné pour l'amener plus haut que son point de départ. Si la vitesse acquise obliquement était au contraire moindre, on arriverait au même résultat en renversant l'expérience. Dans les deux cas on pourrait, par une succession de plans inclinés convenablement disposés, forcer un corps pesant à monter indéfiniment par son propre poids, — ce qui est en contradiction absolue avec notre connaissance instinctive de la nature des corps graves.

6. — Ici encore Galilée ne se contenta pas de l'examen logique et philosophique de son hypothèse ; il voulut la soumettre à l'expérience.

11 prit dans ce but un pendule simple formé d'une sphère lourde attachée à un fil rnince. Ecartant le pendule de sa position d'équilibre, il souleva la sphère jusqu'à une hauteur quelconque et vérifia, en l'abandonnant à elle-même, qu'elle remontait jusqu'au même niveau. Il reconnut que, lorsqu'il n'en est pas exactement ainsi, la résistance de l'air est la cause de l'écart, puisque celui-ci est plus grand pour une balle de liège, moindre pour une sphère plus lourde. Abstraction faite de cette résistance, le corps remonte à la même hauteur. Or, le mouvement de la sphère du pendule sur son arc de cercle peut être considéré comme une chute sur une succession de plans inégalement inclinés. Galilée fit ensuite remonter le corps sur un autre arc de

Fig. 35.

cercle, c'est-à-dire sur une autre série de plans inclinés, en se servant pour cela d'un arrêt qu'il fixait en un point quelconque/, g (fig. 35), d'un côte de la position d'équilibre du fil, afin d'empêcher tel segment de fil qu'il voulait d'accomplir la seconde moitié du mouvement. Dès que le fil, dans son mouvement, atteint la position d'équilibre, il rencontre l'arrêt, et la sphère qui est descendue le long de l'arc ba, remonte le long d'une autre série de plans inclinés, donnée par l'arc atn ou l'arc an. On constate qu'elle revient à son niveau horizontal initial EE, ce qui n'arriverait pas si l'inclinaison du plan avait une influence sur la vitesse acquise dans la chute. En fixant l'arrêt suffisamment bas (en h) on peut raccourcir à volonlé la longueur du pendule dans la deuxième demi-oscillation sans changer l'allure du phénomène ; et, s'il est fixé assez bas pour que le fil ne puisse plus remonter jusqu'au plan EE, la sphère passera rapidement par dessus l'arrêt

sur lequel elle enroulera le fil, car elle possède encore un reste de vitesse lorsqu'elle arrive à la plus grande hauteur qu'il lui est possible d'atteindre. On sait d'ailleurs que, dans ce cas, le point h doit être assez rapproché de a pour que le fil ne puisse se détendre,

7. — On voit que la vitesse qu'un corps acquiert en tombant sur le plan incliné lui permet de remonter exactement au niveau d'où il est descendu. L'hypothèse de l'égalité des vitesses acquises dans la chute inclinée et dans la chute verticale de môme hauteur ne contient rien d'autre que l'exp/ession de ce fait. Galilée en déduisit aisément que les durées des chutes suivant la longueur et la hauteur sont dans le rapport de ces deux chemins, et que les accélérations sont dans le rapport inverse, puisqu'elles sont inversement proportionnelles aux durées des chutes.

Considérons en effet un plan incliné ; sa hauteur AB et sa longueur AC sont toutes deux parcourues d'un mouvement uniformément accéléré dans des temps t et t'. Soit v la vitesse finale commune ; on sait qup :

AB = - f. AG = '- t', 1 1

En appelant ^ et g' les accélérations respectives, on aura

V = Cjt, V = fj't',

sin a.