AB AC

On peut donc calculer, par cette méthode, l'accélération d'un corps

Fig. 36.

Fig. 37.

tombant librement, étant donnée celle qu'il possède sur le plan incliné.

GaUlée déduisit de cette théorie quelques corollaires dont plusieurs sont passés dans nos traités élémentaires. Considérons, par exemple, deux corps tombant, l'un verticalement, l'autre obliquement. Leurs accélérations sont entre elles dans le rapport inverse de la hauteur à la

longueur : pour avoir les chemins qu'ils parcourent en des temps égaux, il suffira donc d'abaisser la perpendiculaire BD du pied de la hauteur sur le plan incline : Les deux chemins AB et AD sont donc parcourus dans des temps égaux par deux corps, l'un tombant librement du point A, l'autre glissant sur le plan incliné. Il s'ensuit que si

plusieurs plans inclinés AC, AE, AF aboutissent en A, les cordes d'intersections AD, AG, AH de leurs lignes de plus grande pente avec la circonférence décrite sur AB comme diamètre sont parcourues dans des temps égaux. Comme cette propriété ne dépend que des longueurs aos cordes et des inclinaisons, et non point de la situation des plans inclinés dans l'espace, elle reste valable pour les cordes BD, BG, BH aboutissant à l'extrémité inférieure. On peut donc dire en général qu'un corps soumis à la seule action de son poids met le môme temps pour décrire le diamètre vertical d'un cercle ou l'une quelconque des cordes qui aboutissent à l'une de ses extrémités (tig. 38). Galilée ajoutait encore à ceci quelques considérations fort élégantes que les manuels ne contiennent d'habitude pas : ainsi il considérait dos obliques diversement inclinées, partant d'un môme point A, et situées dans un même plan vertical. Si l'on abandonne au même instant au point A un corps pesant sur chacune de ces droites, ces corps, commençant ensemble leurs mouvements de descente, se trouveront à chaque instant en des points d'une même cicconférence dont le diamètre est donné par l'espace verticalement parcouru et croît par suite proportionnellement au carré du temps. En faisant tourner la figure autour de la verticale AV, on voit sans peine que ces circonférences sont remplacées par des sphères lorsque les obliques sont distribuées d'une façon quelconque dans l'espace autour du point A.

8. — Galilée ne cherche donc pas à faire une théorie de la chute des corps. Tout au contraire, il observe le phénomène de la chute et l'étudié

sans idées préconçues. Dans cette recherche, adaptant graduellement sa pensée aux phénomènes et la poursuivant dans toutes ses conséquences logiques, il est arrivé à une conception qui, probablement pour luimôme beaucoup moins que pour ses successeurs, a eu le caractère d'une loi particulière nouvelle. Galilée suit dans toutes ses déductions un principe d'une grande fécondité scientifique, que l'on peut justement appeler principe de continuité et qui consiste à modifier, graduellement et autant qu'il est possible, les circonstances d'un cas particulier quelconque dont on s'est fait une idée claire, en se tenant toujours aussi près que possible de cette idée antérieurement acquise. Aucune autre méthode ne permettra la compréhension des phénomènes naturels avec plus de certitude et de simplicité, avec moins de fatigue ou un moindre effort intellectuel.

Un exemple particulier fera mieux saisir notre pensée que ces considérations générales. Galilée considère un corps qui tombe sur le plan incliné AB et que l'on place avec sa vitesse acquise sur un autre plan incliné BC, le long duquel il remonte. Sur tous les plans inclinés BC, BD, etc., ce corps monte et s'élève jusqu'au plan horizontal passant par A. Mais de même que ce corps tombe le long de BD avec une

Fig. 4o.

accélération moindre que le long de BC, de même il monte le long de BD avec un ralentissement moindre que le long de BC. A mesure que les plans BC, BD, BE, BF se rapprochent du plan horizontal, le ralentissement du corps devient de plus en plus petit ; le chemin parcouru et la durée du mouvement deviennent par conséquent de plus en plus grands. Sur le plan horizontal BH, le ralentisseijient disparait tout à fait, — abstraction faite, évidemment, du frottement et de la résistance de l'air — le corps se meut indéfiniment loin et indéfiniment longtemps avec une vitesse constante. En atteignant ainsi le cas limite du problème, Galilée découvre la loi connue sous le nom de loi d'inertie, d'après laquelle un corps sur lequel n'agit aucune circonstance modificatrice de mouvement (force) conserve indéfiniment sa vitesse (et sa direction). Nous reviendrons plus loin sur ce sujet.

Dans une remarquable étude publiée en i884 dans le Zeitschrift fur Vôlkerpsychologie sous le titre Die Entdeckung des Beharrungs gesetzes

R. B — Tome I. a'j

3 70 HISTOIRE DES JIATHÉMATIQUES

(vol. XIV, pp. 365-4IO et vol, XV, pp. 70-185, 337-887), E. VV^olilwill a njontré que les prédécesseurs et les contemporains de Galilée, et Galilée lui-même, n'abandonnèrent que très lentement et par degrés les idées aristotéliciennes pour en arriver à la loi de l'inertie. Même chez Galilée le mouvement circulaire uniforme et le mouvement horizontal uniforme prennent une signification singulière. L'élude très intéressante de Wolilwill montre que Galilée lui-même n'arrive pas à une conception parfaitement claire des principes fondamentaux qu'il a posés et qui ont permis le développement de la science et qu'il est sujet à de fréquents retours aux idées anciennes, ce qui n'est d'ailleurs que très naturel.

Le lecteur peut du reste voir à l'exposé que j'en ai fait que la loi d'inertie ne possédait point, dans l'esprit de Galilée, la clarté et la généralité qu'elle acquit plus tard (Cf. Erhalluncj der Arbeit, p. 47-) Contrairement à l'opinion de Wolilwill et de Poske, je crois toujours avoir, dans mon exposition, indiqué le point qui devait faire sentir le plus clairement possible, à Galilée et à ses successeurs, le passage de la conception ancienne à la nouvelle. Galilée fut bien près de la conception complète de la loi d'inertie, et je n'en veux comme preuve que le fait signalé (par Wohlwill lui-même, /. c. p. 112) que Balianl déduisit de l'exposé de Galilée l'indestructibilité d'une vitesse une fois acquise. Il n'est pas même surprenant que, là où il s'agit uniquement de mouvements de corps pesants, Galilée emploie la loi d'inertie surtout pour les movivements horizontaux, il sait cependant qu'une balle sans poids continuera à se mouvoir en ligne droite dans la direction du jet (Dialogue sur les deux systèmes du monde ; Leipzig ; 1891, p. 184), mais il n'est pas extraordinaire qu'il hésite devant l'énoncé général d'une proposition à première vue si étrange.

9. — La chute des corps est donc un mouvement dans lequel la vitesse croit proportionnellement au temps, c'est-à-dire un mouvement uniformément accéléré.

Parfois l'accélération uniforme du mouvement de la chute des graves est présentée comme une conséquence de l'action constante de la pesanteur. Ce procédé d'exposition est un anachronisme et un non-sens historique. « La gravité, dit-on, est une force constante ; par conséquent elle engendre, dans des éléments égaux de temps, des éléments égaux de vitesse et le mouvement qu'elle produit est ainsi uniformément accéléré. » Cette exposition est antihistorique, ainsi que toutes celles du même genre. Elle présente sous un jour entièrement faux le fait capital de la découverte de ces lois. La notion de force, telle que nous la possédons aujourd'hui, fut en effet créée par Galilée. Auparavant l'on ne

TRAVAUX DE GALILÉE ET DE nUTGIIE>'S 87 1

connaissait la force qu'en tant (^ne pression. Ce n'est que l'expérience qui peut apprendre qu'en général la pression provoque un mouvement. A plus forte raison encore ne peut-on savoir, autrement que par l'expérience, comment la pression se transforme en mouvement, et reconnaître qu'elle ne détermine ni une position, ni une vitesse, mais bien une accélération. La simple logique ne pourrait nous donner sur ce point que des hypothèses ; l'expérience seule peut nous éclairer avec autorité.

10. — Des analogies tirées d'autres parties de la physique font immédiatement saisir qu'il n'est nullement évident a priori que les circonstances déterminantes de mouvement (forces) produisent des accélérations. Ainsi, les diflérences de température provoquent aussi des changements des corps, mais elles déterminent des vitesses compensatrices et non pas des accélérations.

Galilée discerne dans les phénomènes naturels le fait que les circonstances déterminantes de mouvement produisent des accélérations. Mais auparavant on y avait déjà discerné un grand nombre d'autres points. Par exemple, lorsque l'on dit que toute chose cherche son lieu, cette observation est parfois fort juste, mais elle n'est pas valable dans tous les cas et n'épuise point complètement le sujet. Ainsi jetons une pierre en l'air ; cette pierre ne cherche plus son lieu, puisqu'elle monte et que son lieu est en bas ; mais l'accélération vers la terre ou le ralentissement du mouvement d'ascension est toujours présent. Galilée est le premier qui ait aperçu ce fait : son observation est juste dans tous les cas, elle est valable en général, elle embrasse d'an seul coup d'œil un domaine bien plus grand. ^

11. — Ainsi que nous l'avons déjà remarqué, c'est tout à fait incidemment que Galilée trouva la loi d'inertie. On énonce d'habitude cette loi en disant qu'un corps, sur lequel n'agit aucune force, conserve une vitesse et une direction invariables. Celte loi d'inertie a eu une fortune étrange. Il ne paraît pas qu'elle ait jamais jouéun bien grand rôle dans la pensée de Galilée. Mais ses successeurs, et notamment Huyghcns et JXewton, en ont fait une loi spéciale. Bien plus, certains ont considéré l'inertie comme une propriété générale de la matière. Il est cependant facile de reconnaître qu'elle ne constitue en rien une loi particulière, mais qu'elle est au contraire déjà contenue dans celte idée (de Galilée) que les circonstances déterminantes de mouvement (c'est-à-dire les forces) produisent des accélérations. En effet, s'il est donné qu'une force ne détermine ni une position, ni une vitesse, mais bien une accélération c'est-à-dire une variation de vitesse, il va de soi que là où il n'y a

pas de force, il ne peut se produire de variation de vitesse. Il est inutile de donner de ce corollaire un énonce spécial ; en le faisant, on présente un fait unique comme deux faits distincts, on formule cfeax fois le même fait. De grands génies ont commis cette erreur de méthode, et l'on ne peut se l'expliquer que par cette perplexité des débutants, qui peut s'emparer des plus grands chercheurs et les faire hésiter lorsqu'ils voient devant eux une énorme accumulation de matériaux nouveaux. En tout état de choses, il est complètement erroné de se représenter l'inertie soit comme une propriété évidente par el!e-même, soit comme une conséquence du principe général d'après lequel « l'effet d'une cause persiste ». L'origine de toutes ces erreurs est une recherche mal comprise de la rigueur. Les principes du genre de celui que nous venons de citer sont d'ailleurs des propositions scolastiques qui n'ont que faire dans la science. La proposition contraire : « cessante causa, cessât effectus », est tout aussi valable, car si l'on appelle a effet » la vitesse acquise, c'est la première proposition qui tient ; si l'on appelle « effet » l'accélération, c'est la seconde qui est correcte.

13. — Nous étudierons maintenant les travaux de Galilée en nous plaçant à un autre point de vue. Galilée commença ses recherches en se servant des notions qui étaient familières de son temps et qui s'étaientdéveloppées grâce surtout aux arts manuels. Parmi celles-ci se trouve la notion de vitesse que le mouvement uniforme fournit immédiale-

Fig. /II.

ment. Si, en effet, un corps décrit dans chaque seconde le même chemin c, en t secondes il décrira le chemin s = et. On appelle vitesse le chemin c décrit par seconde, que l'on peut d'ailleurs mesurer en observant un chemin quelconque et le temps correspondant ; la formule

donne alors c = . La vitesse s'obtient donc en divisant le nombre qui

mesure l'espace parcouru par celui qui mesure le temps écoulé.

Or Galilée ne pouvait achever ses travaux sans modifier et étendre tacitement la notion traditionnelle de vitesse. Pour fixer les idées, re-

TRAVAUX DE GALILEE ET DE HUYGHENS SyS

présentons par les diagrammes un mouvement uniforme et un mouvement variable (fig. 4i. i et 2), les temps écoulés étant portes en abscisses sur l'axe OA et les espaces parcourus en ordonnées, dans la direction AB. Dans le premier cas, nous obtenons constamment la même valeur c pour la vitesse, quel que soit l'accroissement d'espace parcouru que nous divisions par le temps correspondant. Mais il n'en est pas ainsi dans le second : en procédant de même, nous obtenons pour la vitesse les valeurs les plus différentes. Il s'ensuit qu'alors la notion ordinaii'e de vitesse n'a plus de signification déterminée. Si toutefois l'on considère l'espace parcouru dans un élément de temps assez petit pour que l'élément de courbe de la figure 2 s'approche de la ligne droite, on pourra regarder cet accroissement comme uniforme et définir la vitesse de ce mouvement élémentaire comme étant le quo-

As . .

tient r-T du chemin élémentaire par l'élément de temps correspondant.

Cette définition sera plus précise encore si l'on définit la vitesse à un

• As instant donné comme la limite vers laquelle tend le quotient — lorsque

l'élément de temps devient infiniment petit, limite que l'on représente

ds par -j- . Cette conception nouvelle contient la première comme cas particulier ; elle s'applique immédiatement au mouvement uniforme. Bien qu'elle n'ait été formellement exprimée que longtemps après lui, on voit cependant que, dans sa pensée, Galilée se servait de cette extension de la notion de vitesse.

13. — La notion d'accélération à laquelle Galilée fut conduit est entièrement nouvelle. Dans le mouvement uniformément accéléré, la vitesse varie avec le temps, de la même façon que l'espace parcouru dans le mouvement uniforme. En appelant v la vitesse acquise au bout du temps t on a. :

v = gt,

formule dans laquelle g représente l'accroissement de vitesse dans l'unité de temps, c'est-à-dire l'accélération, qui est donc aussi donnée par l'équation :

Dès que l'on considère des mouvements non uniformément accélérés, on doit étendre la notion d'accélération de la même façon que l'on a du étendre celle de vitesse. Reprenons les figures i et 2, dans lesquelles les abscisses représentent toujours les temps, mais où, maintenant, les ordonnées représentent les vitesses. En reprenant point par point le

874 HISTOIUE DES MATHÉMATIQUES

raisonnement précédent, nous définirons l'accélération par la formule

-77 , où clv représente l'accroissement infiniment petit de vitesse pendant

le temps infiniment petit dt. En nous servant des notations du calcul différentiel, nous aurons, pour l'accélération œ dans un mouvement rectiligne :

dv d'^s

° ■" 37 ~ dT' '

Les idées qui viennent d'être développées sont d'ailleurs susceptibles d'une représentation graphique. En portant les temps en abscisses et les chemins en ordonnées, on obtient une coui-be des espaces dont la pente en chaque point représente la vitesse à l'instant correspondant. En portant de même les temps et les vitesses en abscisses et en ordonnées, on obtient une courbe des vitesses dont la pente représente l'accélération. Mais la courbure de la courbe des espaces permet déjà de reconnaître la variation de la pente des vitesses. Considérons, en effet, un mouvement uniforme représenté, comme d'habitude, par la ligne droite OCD et comparons-le avec un second mouvement OCE dont la vitesse est la plus grande, dans la seconde moitié du mouvement et pour lequel l'ordonnée BE, correspondant à l'abscisse OB = 2OA, sera par conséquent plus grande, et, enfin, avec un mouvement OCF, dont la vitesse dans la seconde moitié est moindre que la vitesse du mouvement cfiiforme et pour lequel l'ordonnée finale BF sera moindre c|ue BD. La simple superposition des diagrammes de ces trois mouvements montre qu'à un mouvement accéléré correspond une courbe des espaces convexe vers l'axe des abscisses et à un mouvement retarde, une courbe concave. Supposons cju'un mobile, animé d'un mouvement verticale quelconque, porte un crayon dont la pointe reste en contact avec une feuille de papier que l'on déplace d'un mouvement horizontal uniforme de droite à gauche. Le crayon dessine un diagramme (iïg. 43) d'où l'on peut déduii-e les particularités du mouvement. En a, la vitesse du crayon est dirigée vers le haut ; en b, elle est plus grande ; en c, nulle ; en d, elle est dirigée vers le bas ; en e, de nouveau nulle. En a, b, d, e, l'accélération est dirigée vers le haut ; en c, elle est dirigée vers le bas ; en c et en e, elle est maximum.

14. — Un tableau de temps, des vitesses acquises et des chemins parcourus permet d'embrasser d'un coup d'œil le résumé des découvertes de Galilée. (Voir le tableau de la page 375).

Les nombres qui y sont contenus suivent une loi si simple et si immédiatement reconnaissable qu'il est tout aussi facile de remplacer tout

TnAVAUÏ DE GALILÉE ET DE IIUÏGIIENS SyS

le tableau par une règle de construction. La relation qui existe entre la première et la deuxième colonne est exprimée par l'équation suivante, qui n'est au fond que l'expression do la mélliode de construction du

tableau : v = gl. Les relations entre les nombres de la première et de la troisième colonne, et entre ceux de la deuxième et de la troisième.

Fis. 'a.'>.

sont respectivement : et s = - (/i^ et s relations :

= — . On trouve ainsi les trois

i' = gt,

s = - ql\

Galilée n'emploie que les relations (i) et (2) ; Huygbens, le premier, mit en évidence l'utilité de la troisième, ce qui fut pour la science un progrès considérable.

15. — Une remarque suggestive peut être faite à propos de ce tableau. Nous avons déjà dit que, par la vitesse qu'il acquiert en tombant, un corps peut remonter au niveau d'où il est parti. Dans ce mouvement d'ascension, la vitesse diminue (par rapport au temps et à l'espace)

exactement de la même manière qu'elle avait augmente pendant la chute. Or, un corps tombant librement acquiert une vitesse double dans une chute de durée double, mais la hauteur qu'il parcourt pendant ce temps double est quatre fois plus grande. Donc un corps lancé verticalement vers le haut avec une vitesse double montera pendant un temps deux fois plus grand et à une hauteur quatre fois plus grande qu'un corps lancé avec une vitesse simple.

Peu de temps après Galilée, ont reconnut que, dans la vitesse d'un corps, il se trouve quelque chose cjui correspond à une force, par quoi une force peut être vaincue, une certaine « capacité d'action », On ne discuta que le point desavoir si cette capacité d'action était proportionelle à la vitesse, ce qui était l'avis des cartésiens, ou bien au carré de la vitesse, ce que prétendait l'école de Leibnitz. Mais on sait aujourd'hui qu'il n'y a plus là matière à discussion. Le corps lancé vers le haut avec une vitesse double surmonte une force donnée pendant un temps double mais le long d'un chemin quadruple. Donc, par rapport au temps, la capacité d'action de la vitesse lui est proportionnelle, par rapport à l'espace, elle est proportionnelle à son carré. D'Alembert signale cette erreur, mais en termes peu clairs. Ajoutons encore que Huyghens déjà avait sur ce sujet des idées parfaitement précises.

16. — Les procédés expérimentaux par lesquels on vérifie aujourd'hui les lois de la chute des corps sont cjuelque peu différents de ceux de Galilée. On peut employer deux méthodes Ou bien, afin de pouvoir l'observer commodément, on ralentira OJ le mouvement de chute qui, par sa rapidité, est U r+p difficile à observer directement, mais de telle façon qu'il ne s'ensuive aucune modification de sa loi ; ou bien on l'observera directement, sans y rien changer, par des procédés perfectionnés. Sur le premier de ces principes reposent le plan incliné de Galilée et la machine d'Atwood. Ce dernier appareil consiste en *°' ■** une poulie légère sur laquelle passe un fil tendu par deux poids égaux P suspendus à ses extrémités. Ajoutons à l'un des poids P un petit poids/). Ce petit excès de poids fait naître un mouvement uniformément accéléré d'accélération -..i q, comme nous le

verrons sans peine dès que nous aurons discuté le concept « masse ». Une échelle graduée verticale liée à la poulie permet alors de vérifier que les chemins, i, 4, 9, 16... sont parcourus dans les temps i, 2, 3, 4.-. Pour observer la vitesse finale acquise au bout d'une durée donnée de chute, on enlève le poids additionnel p, qui dépasse un peu P, à

p, et,

l'aide d'un anneau à l'intérieur duquel doit passer le corps P à partir de cet instant, le mouvement continue sans accélération.

L'appareil de Morin est basé sur le second principe. Une feuille de papier disposée verticalement est animée d'un mouvement uniforme au moyen d'un appareil d'horlogerie. Un corps pesant est muni d'un

Fig. 45 a.

crayon qui, lorsque le papier se meut, trace une ligne horizontale. Si le corps tombe, le papier restant immobile, le crayon trace une droite verticale. Si les deux mouvements sont simultanés, le crayon trace une parabole dont les abscisses horizontales représentent les temps écoulés et dont les ordonnées verticales représentent les espaces parcourus. Pour les abscisses i, 2, 3, 4..- on obtient les ordonnées i, 4. 9. 16... Il est accessoire que Morin se serve, au lieu d'une feuille de papier plane, d'un tambour cylindrique animé d'une rotation rapide autour

de son axe vertical ; le corps, guidé par un fil de fer, tombe le long d'une génératrice de ce cylindre.

Un appareil différent basé sur le môme principe fiit inventé à la fois par Laborde, Lippich et von Babo, indépendamment l'un de l'autre. Un long rectangle de verre noirci au noir de fumée tombe librement devant une tige élastique qui vibre borizontalement, en traçant une courbe sur le verre noirci. Le premier passage de la tige par sa position d'équilibre fait commencer le mouvement de chute. Les ondulations tracées sur le verre deviennent de plus en plus longues à cause de la constance de la durée d'oscillation et de l'accroissement de la vitesse verticale. On constate (fig. 45) que bc = 3 ab, cd = 5 ab, de = '] ab,... Les égalités :

ac ::=i ab -\- bc ^ l\ ab,

ad = ab -{- bc -h cd = g ab,

ae = ab 4- 6c + cd -+- de = 16 ab, etc.,

nous montrent immédiatement la loi des espaces. La loi des vitesses est vérifiée par l'inclinaison des tangentes aux points a, b, c, d, etc. Cette expérience permet de déterminer très exactement la valeur de g, si l'on connaît la durée de l'oscillation du barreau.

Wbeatstone employa, pour la mesure des temps très petits, un chronoscope formé d'un mécanisme d'horlogerie à mouvement très rapide c|ui se mettait en marche au commencement du temps à mesurer et cessait de marcher à la fin. Hipp a modifié avantageusement ce procédé comme suit : Le mécanisme d'horlogerie à mouvement rapide est réglé par un diapason donnant une note élevée, au lieu de balancier. Un index très léger peut être engrené avec le mécanisme ou désengrené, par l'intermédiaire d'un courant électi'ique. Dès que le corps tombe, le courant s'ouvre et l'index est engrené ; dès que le corps arrive au but le courant se ferme, l'index est désengrené et le chemin qu'il a parcouru donne le temps écoulé.

I T. — Parmi les travaux ultérieurs de Galilée nous devons encore citer ses réflexions sur le mouvement du pendule, et sa réfutation de l'opinion d'après laquelle les corps de poids plus grand tomberaient plus vite que ceux de poids moindre. Nous reviendrons plus tard sur ces deux points. On peut cependant signaler ici qu'en découvrant lisochronisme des oscillations du pendule, il proposa immédiatement de s'en servir pour la mesure du nombre de battements du pouls des malades, ainsi que pour les observations astronomiques, et que, jusqu'à un certain point, il l'utilisa lui-même dans ce but.

TRAVAtX DE GALILÉE ET DE HUYGHENS O79

18. — Ses recherclies sur le mouvement des projectiles sont d'une importance plus grande encore. D'après Galilée un corps libre possède toujours une accélération verticale (/ dirigée vers la terre. Si au début du mouvement le corps est déjà animé d'une vitesse c, sa vitesse après le temps t sera :

V = c -h gt,

formule dans laquelle la vitesse initiale est prise avec le signe moins lorsqu'elle est dirigée vers le haut. Le chemin parcouru au bout du temps t est donné par

s = a -{- et -\- - qr ;

et et - ^f- sont les parties de chemin décrites respectivement dans le mouvement uniforme et dans le mouvement uniformément accéléré. La constante a est nulle lorsque l'on compte les espaces à partir du point où le corps se trouve au temps t = c.

Dès qu'il eut acquis ses conceptions fondamentales sur la dynamique, Galilée reconnut sans peine que le jet horizontal est une combinaison de deux mouvements indépendants l'un de l'autre, un mouvement horizontal uniforme et un mouvement vertical uniformément

Fij. ij.

accéléré. Il fit ainsi connaître le parallélogramme du mouvement. Dès lors le jet oblique ne présentait pas de difficultés réelles.

Si un corps est animé d'une vitesse horizontale c, il décrit dans le temps t un chemin horizontal y = et, pendant que, verticalement, il

tombe de la hauteur a; = - qt-. Des circonstances déterminantes de

mouvement distinctes n'exercent aucune influence les unes sur les autres et les mouvements qu'elles déterminent sont indépendants les uns des autres. Galilée fut conduit à cette hypothèse par une observalion attentive et l'expérience l'a confirmée. Les deux équations ci-des-

SUS donnent, par élimination de t, l'équation de la courbe décrite 50us l'action combinée de ces deux mouvements :

C est une parabole d'Appolonius, à axe vertical et de paramètre - , ainsi que Galilée le savait.

On peut aisément reconnaître avec Galilée que le jet oblique ne constitue pas un problème nouveau. Si l'on imprime à un corps une vitesse v, inclinée d'un angle a sur l'horizon, on peut décomposer cette vitesse en une composante horizontale c cos a et une composante verticale c sin a. Cette dernière fait monter le corps pendant un temps t égal au temps que mettrait pour l'acquérir le corps tombant librement. Ce temps est donné par

c sin a = gl.

Dès que le corps atteint sa hauteur maximum, la composante verticale de sa vitesse initiale est détruite et le mouvement continue à partir de S comme dans le cas du jet horizontal. Considérons deux moments également distants du moment du passage en S, l'un avant, l'autre après. Les positions du corps à ces deux instants se trouvent sur une même horizontale, à des distances égales de la verticale du point 5> et de part et d'autre de celle-ci. Cette verticale est donc un

axe de symétrie de la trajectoire, qui est une parabole de paramètre

(c cos a)"^

9 * Pour trouver la portée du jet, il suffit de considérer le mouvement horizontal pendant le temps de la montée et de la descente du projectile. Or nous venons de voir que le projectile monte pendant le

temps t = ; il met le même temps pour descendre, soit en

. .20 sin a T i • i i

tout . Le parcours horizontal pendant ce temps est :

C sin OL c c

oi = c cos a, 2 = — 2. sin xcosa= - sin 2 a.

La portée du jet est donc maximum pour a = 45° ; elle est la même pour les 2 angles a = 45° dz p'*.

19. — Pour apprécier à sa valeur l'importance du progrès réalisé par Galilée en analysant le mouvement des projectiles, il est nécessaire de considérer les recherches plus anciennes sur le même sujet. Santbach (i56i) pense qu'un boulet de canon se meut en ligne droite

jusqu'à épuisement de sa vitesse et qu'alors il tombe verticalement, Tartaglia (1537) compose la trajectoire du projectile d'un segment de droite, d'un arc de cercle qui s'y raccorde et enfin de la tangente verticale à celui-ci. Il sait qu'en toute rigueur la trajectoire est courbe partout, puisque la pesanteur provoque en chaque point une déviation, mais il ne parvient pas à une analyse plus complète du phénomène. Rivius (i582) exprime encore plus clairement la même idée. La portion initiale de la trajectoire fait aisément croire à une destruction de la pesanteur par la très grande vitesse ; nous avons vu que Benedetti a commis cette erreur. Le segment de courbe ne présente pas de chute et nous oublions la petitesse de la durée de celle-ci. En négligeant cette circonstance, nous pourrions encore aujourd'hui regarder un jet d'eau comme un corps grave suspendu dans l'air, si nous faisions abstraction du mouvement rapide de ses particules. La même illusion est produite par le pendule conique, par la toupie, par la rotation rapide d'une chaîne solide (Philos. Mag. 1878), par la locomotive qui détruirait un pont délabré si elle reposait sur lui, mais qui, lancée à toute vitesse, parvient à le traverser sans encombre, grâce à une durée de chute et de travail insuffisante. Lnc analvse plus approfondie montre que ces phénomèmes ne sont pas plus merveilleux que les phénomènes les plus ordinaires. Ainsi que le croit Yailali, la diffusion de l'emploi des armes à feu, au xiv' siècle, a énormément réagi sur toute la mécanique. Il est vrai que ces phénomènes se présentaient déjà dans les anciennes machines de jet et aussi dans le jet à la main, mais leur forme nouvelle et imposante peut avoir forcé l'attention d'une manière particulièrement efficace.

20. — La reconnaissance de l'indépendance des circonstances déterminantes de mouvement (ou forces) qui se rencontrent dans la nature est d'une importance capitale. Elle fut découverte et exprimée à propos de l'étude / du mouvement des projectiles. Supposons

qu'un corps se meuve suivant AB (iig. 48) . (7\ ^"^--^ Q

pendant que le champ du mouvement se j,-|,^ ,g

déplace suivant AC. Le déplacement du

corps est alors AD. Mais cela p'est vrai que si les circonstances qui, dans le, même temps, déterminent les mouvements AB et AC n'ont aucune influence l'une sur l'autre. Dès lors on voit sans peine que la construction du parallélogramme donne non seulement la composition des mouvements simultanés, mais aussi celles des vitesses et des accélérations.

Galilée envisage donc le mouvement du projectile comme un phéno-

-382 lIl&XOinE DES MATHÉMATIQUES

mène composé de deux mouvements indépendants l'un de l'auti'e. Cette -conception ouvi-e tout un domaine de connaissances analogues fort importantes. On peut dire qu'il est de la môme importance de r^connaître V indépendance de deux circonstances A et B que la dépendance de deux circonstances A et C, car ce n'est qu'après avoir i-cconnu le premier de ces points que nous pouvons poursuivi-e, sans être troublé, l'étude du second. On peut comparera la découverte de Galilée celles du parallélogramme des forces par Newton, de la composition des <;ordes par Sauveur, de la composition des mouvements de propagation de la chaleur par Fourier. Ces derniers chercheurs firent pénétrer dans tout le domaine de la physique matliématique la méthode de composition d'un phénomène à l'aide de phénomènes partiels indépendants les uns des autres, méthode analogue à la représentation d'une intégrale générale par une somme d'intégrales particulières. P. Volkmann a donné à cette méthode de décomposition d'un phénomène en parties indépendantes les unes des autres et de composition d'un phénomène à l'aide de parties de ce geni'e, les noms très justes d'Isolation et de superposition. Ces deux procédés nous permettent de comprendre par fragments et de reconstruire dans la pensée ce que nous n'aurions pu concevoir en une fois.

« Ce n'est que dans des cas très rares que les phénomènes se présence tent à nous avec un caractère parfaitement unitaire ; le monde des <' phénomènes oifre tout au contraire un caractère entièrement coni- <{ posile... Notre connaissance doit alors résoudre le problème de discer- - « ner dans les phénomènes tels qu'ils se présentent les séries de phé- <( nomènes partiels qui les composent et d'étudier d'abord ces phé- « nomènes partiels dans leur piu*eté. Nous ne nous rendons maître de <( l'ensemble qu'après avoir démêlé la part que chaque circonstance

« particulière prend au phénomène composé » Cf Volkmann :

(( Erkenntnisslheorelische Grundziige der Naturwissenschaft, 1896, p. 70, ■<( et mes Principien der Warmelehre, p. 128, i5i, liÔ2. »

TRAVAUX DE HUYGIIEXS

1. — Parmi les successeurs de Galilée on doit considérer Huyghens comme son égal à tous égards. Peut-être avait-il l'esprit moins philosophique, mais il compensait cette infériorité par son génie de géomètre. Non seulement Huyghens poussa plus loin les recherches commencées par Galilée, mais il résolut les premiers problèmes de la dynamique de plusieurs masses, alors que Galilée s'était toujours limité à la dynamique d'un seul corps.

L'abondance des travaux d'Huyghens se nionlrc déjà dans son traite Ilorologiuin oscillalor'nwi, paru en 1G73. Des problèmes d'une importance capitale y sont pour la première Ibis trait:'s. Ce sont : la théorie du centre d'oscillation, la découverte et la conslraclion de l'iiorlogc à balancier, la découverte de l'écliappement dans le mécanisme des horloges, la détermination de l'accélération g par l'observation du pendule, une proposition relative à l'emploi de la longueur du pendule à seconde comme unité de longueur, des théorèmes sur la force centrifuge ; les propriétés géométriques et mécaniques de la cycloïde, la théorie de la développée et du cercle de courbure.

2. — Dans son exposition, Huyghens se fait remarquer comme Galilée par une sincérité parfaite qui montre une grande élévation de caractère. 11 expose ouvertement les méthodes par lesquelles il fut conduit à ses découvertes et permet ainsi au lecteur d'arriver à la complète intelligence de ses théories. Il n'a d'ailleui's aucune raison de cacher ses méthodes. Si dans quelque mille ans son nom est encore présent à la mémoire des hommes, on y reconnaîtra toujours sa grandeur intellectuelle et moi'ale.

Dans la discussion des travaux de Huyghens, nous devrons procéder un peu autrement que nous ne l'avons fait pour Galilée, dont les conceptions pouvaient être exposées presque sans modifications, grâce à leur simplicité classique. Cela n'est plus possible pour Huyghens qui traite des problèmes bien plus compliqués. Ses méthodes et ses notations mathématiques sont devenues insuffisantes et pénibles. Pour être plus bref, nous reproduirons ses conceptions sous une forme moderne, tout en respectant ses idées essentielles et caractéristiques.

Horloarc à balancier de iluvghens.

3. — Nous commencerons par ses recherches sur la force centrifuge. Dès que l'on accepte cette conception de Galilée que la force détermine une accélération, on doit nécessairement attribuer à une force toute modification dans la vitesse et par conséquent aussi toute modification dans la direction d'un mouvement — car cette direction est déterminée par trois composantes de la vitesse perpendiculaires entre elles. Par conséquent le phénomène d'un corps, par exemple une pierre attachée à une corde, animé d'un mouvement circulaire uniforme, n'est concevable que dans l'hypothèse d'une force continue qui le fait dévier de son chemin recliligne.

Cette force est la tension de la corde qui, à chaque instant, attire le corps vers le centre du cercle, hors de la ligne droUe et qui représente donc une force centripète. D'un autre côté, elle agit aussi sur l'axe ou le centre fixe du cercle et, envisagée ainsi, elle constitue une force centrifuge.

Fig. /19.

Fis. 5o.

Considérons un corps auquel on a donné une vitesse quelconque et que l'on force à se mouvoir d'un mouvement uniforme sur une circonférence, par une accélération constamment dirigée vers le centre, et proposons-nous de rechercher les circonstances dont dépend cette accélération. Soient (fig. 49) deux circonférences égales sur lesquelles se meuvent uniformément deux corps, l'un avec une vitesse simple sur la circonférence I, l'autre avec une vitesse double sur la circonférence II. Considérons dans ces deux cercles le même angle très petit a et son arc élémentaire ; soit s le chemin élémentaire correspondant dont le corps s'est éloigné du chemin rectiligne (suivant la tangente) sous l'influence de l'accélération centripète ; ce chemin est le même dans les

deux cas. Soient o, et a^ les accélérations respectives ; t et — sont les

élém'ents de temps correspondants à l'angle a ; la loi de Galilée donne :

ce, = 4,

d'où :

Par une généralisation fort simple on voit que dans des cercles égaux les accélérations centripètes sont entre elles comme les carrés des \itesses.

Etudions maintenant le mouvement sur les circonférences I et II de la figure 5o, dont les rayons sont dans le rapport de i à 2 ; prenons des vitesses qui soient dans le même rapport, de telle sorte que des éléments semblables d'arc soient décrits dans des temps égaux. Soient «pi, Oj, s et 2s les accélérations et les chemins élémentaires, t le temps qui a la même valeur dans les deux cas ; on a :

d'où

(p^ = 2 Çl.

Si maintenant l'on réduit de moitié la vitesse sur la circonférence II, de telle sorte que les deux mouvements aient la même vitesse, ©^

Sera réduit au quart c'est-à-dire à - Oj. En généralisant on voit que

pour des vitesses égales les accélérations sont en raison inverse des rayons des circonférences.

4. — Les méthodes suivies par les chercheurs anciens les conduisirent presque toujours à trouver leurs théorèmes sous la forme pénible de proportions. Nous choisirons donc une autre voie. Sur un mobile animé d'une vitesse v, faisons agir pendant un élément de temps T une force qui lui donne l'accélération o perpendiculaire à la direction de son mouvement. Cette force fait naitrc une vitesse nouvelle OT, qui, composée avec la vitesse primitive, donne la nouvelle direction du mouvement; soit a l'angle de celle-ci avec l'ancienne; supposons enfin que la trajectoire soit un cercle de rayon r, on trouve :

CpT VZ

car on peut remplacer la tangente par l'angle, qui est supposé très petit. On a donc :

ts = — »

' r qui est l'expression complète de l'accélération centripète dans un mouvement circulaire uniforme.

R. B. — Tome I. 33

Cette conception du mouvement circulaire uniforme produit par une accélération centripète constante a une apparence paradoxale.

Le paradoxe consiste dans l'acceptation du fait qu'une accélération centripète continue existe sans qu'il s'ensuive de rapprochement réel du centre ou d'accroissement de vitesse. xMais cette impression disparaît si l'on réfléchit que, sans cette accélération centripète, le mobile s'éloignerait indéfiniment du centre, que la direction de l'accélération varie à chaque instant et qu'une variation de vitesse, inexistante dans le cas

Fis-. 5i.

Fis. 52.

présent, entraîne (comme on le verra dans la discussion du principe des forces vives) un rapprochement des corps qui se donnent mutuellement les accélérations. L'exemple plus compliqué du mouvement elliptique s'explique d'une manière analogue.

5. — On peut mettre sous une autre forme l'expression de l'accélération ccYiti'ipète ou centrifuge o = — . Appelons ï la durée d'une révolution du mobile. On a :

vT = 2r-,

Nous nous servirons plus tard de cette expression. Si plusieurs corps sont animés de mouvements circulaires uniformes tels que les durées des révolutions soient égales, les accélérations centripètes qui les retiennent sur leurs circonférences respectives sont proportionnelles aux rayons ; cela résulte évidemment de la formule que nous venons d'établir.

A propos de l'accélération centrifuge, disons aussi un mot des démonstrations qui reposent sur le principe de l'hodographe de Hamilton. Considérons un mobile parcourant uniformément le cercle de rayon r (fig. 52 il) : la tension du fil transforme la vitesse v au point A en une vitesse égale, mais d'une autre direction, au point B. Portons à partir d'une même origine 0 les vitesses successives du mobile en grandeur et directions (fig. Sa c) ; le lieu de leurs extrémités est une clrconfé-

TRAVAUX DE Hin:GHE:xs 38j

rence de rayon v. En même temps que OM se transforme en ON, il s'introduit une composante M?S^ perpendiculaire à la première. Pendant la durée T d'une révolution du mobile, la vitesse croît uniformément de la quantité a^ru suivant la direction du rayon r.

La valeur de l'accélération centrale est donc o = -r!^- ou a = ~

puisque l'ï = arr.

Si l'on ajoute à OM = y la petite composante iv (fig, 02 d), la vi-

tesse résultante sera y,^i'^ -!-

— approxnnalivemenl ; mais, a-

ÎV~

cause de la rotation continue du ravon, le terme - disparaît devant v

•jv ^

et l'on voit que seule la direction de la vitesse change, sa grandeur res-

tant invariable.

O. — Les phénomènes tels que la rupture de fils trop peu résistants à l'aide desquels on imprime à des corps vin mouvement de rotation trop rapide, ou l'aplatissement de sphères molles animées de mouvements de rotation sont bien connus et s'expliquent par les considérations précédentes. C'est ainsi qu'Huyghens put donner, à l'aide de cette notion nouvelle, l'explication immédiate de toute une catégorie de phénomènes. Ainsi, par exemple, une horloge à balancier ayant été transportée de Paris à Cayenne par Richer (1671-1673), il se trouva qu'elle retardait. Huvghens observant que la force centrifuge due à la rotation de la terre est maximum à l'équateur, en déduisit la diminution apparente de l'accélération g due à la pesanteur et donna ainsi l'explication immédiate du retard.

Parmi les expériences qu'Huyghens fit dans cet ordre d'idées, nous en citerons encore une, à cause de son intérêt historique. Lorsque Newton développa sa théorie de la gravitation universelle, Huyghens fut du

grand nombre de ceux qui ne purent pas admettre l'idée de l'action à distance. Il croyait pouvoir au contraire expliquer la gravitation par le mouvement très rapide de particules d'un milieu intermédiaire. II enferma dans un corps plein d'eau quelques corps légers, tels que de petites sphère de bois, et fit alors tourner le vase autour d'un axe ; il observa qu'aussitôt les sphères de bois se rapprochaient de celui-ci. Si l'on fait par exemple tourner autour d'un axe horizontal les tubes cylindriques de verre RR, fixés sur le pivot Z, et contenant les sphères de bois KK, celles-ci s'éloignent de l'axe dès que l'appareil est mis en mouvement. Lorsqu'on remplit d'eau les tubes, les sphères plus légères se placent aux extrémités supérieures EE et l'on voit qu'une rotation imprimée à l'appareil les rapproche de l'axe. L'explication de ce phénomème est la même que celle du principe d'Archimède : les sphères reçoivent une poussée centripète égale et directement opposée à la force centrifuge qui agirait sur le liquide dont elles tiennent la place.

Descartes pensait déjà à cette explication de la poussée centripète des corps flottants dans unj milieu tourbillonnaire. Mais Iluyghens remarqua avec raison que l'on doit alors accepter que les corps les plus légers reçoivent la plus forte poussée centripète et que, par conséquent, tous les corps pesants devraient être plus légers que le milieu tourbillonnaire.

' Il remarqua en outre que des phé-

* I nomènes analogues doivent se pro-

A duire avec des corps quelconques qui

pj^ g3 ne participent pas au mouvement

du tourbillon, et qui se trouvent ainsi, sans force centrifuge, dans un milieu animé de forces centrifuges. Par exemple, une sphère de matière quelconque et mobile seulement autour d'un rayon Jîxe (fil de fer), sera, dans le miHeu tourbillonnaire, poussée contre l'axe de rotation.

Huyghens immergea dans un vase fermé rempli d'eau des morceaux de cire à cacheter qui, à cause de leur densité un peu plus grande, se déposent sur le fond du vase. Celui-ci étant ensuite animé d'un mouvement de rotation, les morceaux de cire à cacheter vont se placer au bord extérieur. Si l'on fait cesser brusquement la rotation l'eau continue à tourner tandis que les morceaux de cire, qui reposent sur le fond et dont le mouvement est par suite plus vite contrarié, sont maintenant poussés sur l'axe. Iluyghens voit dans ce phénomène une image de la pesanteur. L'acceptation d'un élher tourbillonnant dans an sens ne lui parait correspondre à aucune nécessité ; il est d'avis que cet élher

aurait tout entraîne avec lui. Il fait donc l'hypothèse de particules d'éther se mouvant rapidement dans tous les sens, et est d'avis que, dans un espace fermé, ce phénomène entraînera un mouvement circulaire prépondérant qui s'établira de lui-même. Cet éther lui semble suffisant pour l'explication de la gravité. L'exposition détaillée de cette théorie cinétique de la pesanteur, se trouve dans le traité d'Huyghens. « Sur les causes de la pesanteur » (') ; cf. aussi LassAvitz « Geschiclite der atomistik ■>) 1890 vol. II, p. 34-4.

T. — Avant de parler des recherches d'Huyghens sur le centre d'oscillation, nous présenterons au sujet du mouvement pendulaire et oscillatoire en général, quelques considérations très élémentaires et par conséquent très claires, malgré leur manque de rigueur.

Galilée déjà connaissait plusieurs propriétés du mouvement du pendule. De nombreuses allusions disséminées dans ses dialogues prouvent qu'il possédait déjà les idées que nous allons exposer, ou qu'il était sur le point de les acquérir. Le corps pesant suspendu au fd du pendule se rneut sur une circonférence dont le rayon est la longueur l de ce fil (fig. 54). Donnons-lui un déplacement très petit : il oscillera en décrivant un arc très petit, sensiblement confondu avec sa corde CB, qui est parcourue dans le même temps que le diamètre vertical BD = 2/. Soit t la durée de la chute ; on a :

2l = ^, d'où < = 3V/-.

Mais comme le mouvement au-delà de B, sur l'arc BC, prend le même temps que le mouvement sur CB, on obtient pour la durée MT d'une oscillation de G en G'.

Malgré que cette explication soit grossière on voit qu'elle fait apparaître la. forme réelle de la loi du pendule : on sait, en effet, que la formule exacte de la durée des oscillations très petites est

Fie

-Wl-

(1) Discours sur les causes de la pesanteur, à la fin du Traité de la lumière, Leyde, 1690.

SgO HISTOIRE DES MATHEMATIQUES

Le mouvement du pendule peut être considéré comme une chu.le sur une succession des plans inclinés. Soit a l'angle du fil avec la verticale ; le pendule reçoit l'accélération g sin a vers la position d'équilibre. Pour de petites valeurs de a, cette accélération peut s'écrire g. a ; elle est donc toujours proportionnelle à l'élongation et dirigée en sens contraire. Pour de petites élongations on peut aussi négliger la courbure du chemin.

Tir: