S OC 2S

pour les accélérations homologues : cp = -^ , zo = q, -.^ '

On reconnaît maintenant sans peine que les oscillations d'amplitudes I et a, décrites par un corps dans les conditions posées plus haut sont des mouvements semblables. Dès lors en remarquant que le rapport des accélérations homologues est s = a, on trouve

d'où, pour le rapport des temps homologues, et par suite aussi pour celui des durées d'oscillations :

Il en résulte donc que les durées d'oscillations sont indépendantes des amplitudes.

Si deux oscillations ont leurs amplitudes dans le rapport i : a et leurs accélérations dans le rapport i : ot.[i., on trouve ;

-: z = u^i = -^ et P =

ce qui démontre à nouveau la seconde loi du mouvement oscillatoire.

Deux mouvements circulaires uniformes sont toujours semblables ;

appelons - le rapport des rayons et - celui des vitesses ; le rapport des

accélérations sera :

d ou, puisque "i = â

formule qui donne les lois de l'accélération centripète.

Il est regrettable que ces questions sur Vaffinité mécanique et phoronomique soient si peu étudiées, car elles promettent le plus bel et le plus lumineux élargissement de nos conceptions.

TRAVAUX DE HUYGHE^JS SqS

I O. — Entre le mouvement circulaire uniforme et les mouvements oscillatoires que nous avons étudiés existe une relation importante. Rapportons le mouvement circulaire à deux axes coordonnés rectangulaires, l'origine étant au centre de la circonférence, et décomposons suivant les directions X et Y l'accélération centripète o c[ui est la condition de ce inouvement. Remarquons que la projection du mouvement sur les X ne dépend que de la composante X de l'accélération. .Sous pouvons considérer les deux mouvements et les deux accélérations comme indépendants l'un de l'autre.

Les deux mouvements composants sont des mouvements oscillatoires autour du centre. L'écartement x correspond à une accélération •». - ou ~ . x dirigée vers le Fig. 5-.

point 0. L'accélération est donc proportionnelle à l'écartement et le mouvement est par conséquent identique au [mouvement oscillatoire dont nous venons de parler. La durée T d'une oscillation complète, comprenant le mouvement d'aller et celui de retour, est égale à la durée delà révolution du mobile. Mais nous savons'que :

nous avons donc

=-Vr

Or - est l'accélération pour rr = i ; en appelant J" la valeur qu'elle possède pour un écartement égal à l'unité de longueur, il vient

et, en désignant comme d'habitude par T la durée d'une oscillation simple, formée d'un aller ou d'un retour, nous aurons :

=Wl-

11. — Ce résultat peut être immédiatement appliqué aux oscillations pendulaires d'amplitude très petite, pour lesquelles on pourrait répéter les raisonnements qui précèdent, parce que la courbure est négligeable. En appelant a l'angle du fil avec la verticale, la masse du

^g^ HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES

pendule est écarte'e de sa position d'équilibre de la longueur h et l'accélération correspondante est goL ; il s'ensuit que ;

On voit donc que la durée de l'oscillation est en raison directe de la racine carrée de la longueur du pendule et en raison inverse de la racine carrée de l'accélération de la pesanteur. Un pendule dont la longueur serait le quadruple de celle du pendule à seconde aurait par conséquent une oscillation de deux secondes. Un pendule à seconde, éloigné de la surface de la terre à une distance égale au rayon terrestre,

n'éprouverait plus qu'une accélération j- et sa durée d'oscillation serait aussi de deux secondes.

IS. — On peut facilement prouver par l'expérience la relation •entre la longueur du pendule et la durée de son oscillation. On emploie des pendules a, h, c (suspendus par deux fds pour assurer l'inva-

TRAVAUX DE HUYGUENS 3ç)5

rlabillté du plan des oscillations), de longueurs respectives i, 4. 9- On constate que a lait deux oscillations dans le temps où b n'en fait qu'une et qu'il en fait trois pendant que c en fait une.

Il est un peu plus difficile de vérifier expérimentalement la relation entre T et g, car on ne peut faire varier à volonté l'accélération due à la pesanteur. On peut cependant y ai-river en ne faisant agir sur le pendule qu'une composante de (j. Soit en effet AA l'axe de rotation du pendule, situé dans le plan du dessin supposé vertical ; l'intersection EE du plan du dessin et du plan d'oscillation est par conséquent la position d'équilibre du pendule. Soit p l'angle de l'axe de rotalion AA avec le plan horizontal, égal à l'angle du plan d'oscillation EE avec le plan vertical. L'accélération qui agit dans le plan d'oscillation est g cos p. Dès lors, en donnant au pendule une petite élongation a. dans son plan d'os-

Fie

Fijr. Co.

cillation, l'accélération correspondante sera (g cos p) a, et la durée de l'oscillation sera

g cos p

3g6 HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES

Il en résulte que lorsque P croît l'accélération g cos ^ diminue et que, par conséquent, la durée de l'oscillation augmente. L'expérience peut se faire aisément à l'aide de l'appareil de la figure 60. Le cadre RR, mobile autour d'une charnière C, peut être incliné et fixé dans une position d'inclinaison donnée, à l'aide d'un arc gradué G et d'une vis de pression. On constate que la durée d'oscillation augmente avec p. Si l'on amème le plan d'oscillation à être horizontal, le cadre reposant alors sur le pied F, la durée d'oscillation devient infiniment grande. Le pendule ne retourne plus alors vers aucune position d'équilibre déterminée, mais effectue des révolutions successives dans le même sens jusqu'à ce que toute sa vitesse ait été détruite par le frottement.

13. — Lorsque le pendule cesse de se mouvoir dans un plan et se meut dans l'espace autour du point de suspension, le fil du pendule décrit un cône. Huygliens étudia aussi le mouvement du pendule conique ; nous en examinerons un cas particulier simple. Considérons un pendule (fig. 61) de longueur /, écarté de la verticale d'un angle a et donnons à la masse qu'il soutient une vitesse v perpendiculaire au plan du fil et de la verticale. Si l'accélération centrifuge développée fait équilibre à celle de la pesanteur, c'est-à-dire si l'accélération Fio-. 61. résultante est dirigée suivant le fil, la masse sus-

pendue décrira une circonférence horizontale. On

a dans ce cas -^ = tg a. En appelant T la durée d'une révolution,

il vient

et, en remplaçant - par sa valeur.

r / sin a / cos

? i/ tg a (j

il vient donc pour la durée de la révolution du pendule :

îTty/'

'l cos

La vitesse v du mouvement est donnée par

TRAVAUX DE HUYGDENS . Snn

OU puisque cp = ^ tg a :

V = ^gl sin a tg. a.

Si l'angle du cône est très petit on peut écrire

formule identique à celle du pendule ordinaire, car une révolution du pendule conique correspond à deux oscillations simples du pendule plan,

14. — Huyghens, le premier, se proposa la détermination exacte de l'accélération de la pesanteur à l'aide du pendule. La formule d'un pendule simple, formé d'une petite sphère attachée à un fd,

étant T = 7:i/-,ona

A la latitude de 45° on trouve pour g la valeur 9,806, exprimée en

^ j-2, soit, en nombre rond, 10 mètres par seconde, valeur très

suffisante pour un calcul provisoire et qui a l'avantage d'être facile à retenir.

15. — Tout commençant qui réfléchit se demande comment l'on peut trouver la durée de l'oscillation, c'est-à-dire un temps, en divisant un nombre qui mesure une longueur par un nombre qui mesure une accélération, et en prenant la racine carrée du quotient. Pour

le comprendre il faut se rappeler que g = -., est le quotient d'une

longueur par le carré d'un temps. La formule de la durée est donc en réalité

J , étant le rapport de deux longueurs, est un nombre; la quantité,

qui se trouve sous le radical est donc le carré d'un temps. Il va de soi que la valeur T sera exprimée en secondes si l'on a choisi la seconde pour unité de temps dans l'évaluation de g. La formule

SgS HISTOIUE DES MATHÉMATIQUES

fait voir directement que g est le quotient d'une longueur par le carre d'un temps, ainsi que le veut la nature de l'accélération.

10- — Le plus important des résultats obtenus par Huyglicns est la solution du problème de la détermination du centre d'oscillation. Tant qu'il ne s'agit que de la dynamique d'un corps unique les principes de Galilée suffisent parfaitement. Or ce nouveau problème consiste dans la détermination du mouvement de plusieurs corps qui agissent les uns sur les autres, et l'on ne peut le résoudre sans faire appel à un principe nouveau. C'est ce pi-incipe nouveau qui fut donné par Huyghens.

Nous savons c[ue les pendules plus longs oscillent plus lentement et que les pendules plus courts oscillent plus vite. Un corps solide pesant, mobile autour d'un axe quelconque ne passant pas par son centre de gravité, constitue un pendule composé. Cliacunc des par- ? '- ticulcs matérielles de ce corps, située seule à la même distance de l'axe, aurait une durée d'oscillation particulière ; mais, à cause de la liaison de ses parties entre elles, le corps se meut comme un tout et la durée de son oscilla- ? I tion a une valeur unique et bien déterminée. Imaginons plu-

Fi" G2 sieurs pendules de longueurs inégales, les plus courts oscillant plus vite et les plus longs, moins vite ; si on les réunit en un seul, on peut prévoir cjue le mouvement des pendules plus longs sera accéléré, celui des pendules plus courts retardé, et qu'il en résultera, pour l'ensemble, une durée d'oscillation intermédiaire. Il 'y aura donc un pendule simple, de longueur intermédiaire entre celles du plus grand et du plus petit des pendules considérés, dont l'oscillation aura la môme durée que celle du pendule composé, on trouve un point qui, malgré ses liaisons avec les autres points, oscille comme s'il était seul. Ce point est appelé centre d'oscillation. C'est Mersenne qui, le premier, a pose le problème de la détermination de ce centre; la solution qu'en a donné Descartes est beaucoup trop rapide et insuffisante.

17. — La première solution générale fut donnée par Huvgbens. En deliors de celui-ci presque tous les cherclieurs de son époque se sont occupés de cette question et l'on peut dire qu'elle provoqua le développement des principes les plus importants de la mécanique moderne.

IluYgliens partit de l'idée nouvelle suivante, de beaucoup plus importante que le problème lui-même : Dans tous les cas, quelles que soient lesniodifications que les l'éactions mutuelles des particules matérielles du pendule apportent au mouvement de chacune d'elles, les

TRAVAUX DE HUÏGHENS 3ç)g

\itcsses acquises clans le mouvement de descente du pendule doivent être telles que le centre des masses puisse remonter exaclemenl à h hmileur d'où il est descendu, soit que les masses conservent leurs liaisons, soit que ces liaisons soient détruites. Devant les doutes de ses contemporains au sujet de l'exactitude de ce principe, Huyghens se vit forcé de faire remarquer quil ne contient pas autre chose que l'affirmation du fait que les corps pesants ne se meuvent point d'eux-mêmes vers le haut. Supposons en effet que le centre de gravité de masses liées entre elles pendant la chute puisse, par la suppression des liaisons, monter à une hauteur plus grande que celle de la descente ; il s'ensuivi'a que des corps pesants peuvent, par leur propre poids, pourvu que cette opération soit répétée un nombre suffisant de fois, s'élever à une hauteur quelconque. Si, au contraire, après la suppression des liaisons, le centre de gravité ne peut s'élever qu'à une hauteur moindre cjuc celle de la chute, il suffira de renverser le sens des opérations pour que, de nouveau, le corps s'élève par son propre poids à une hauteur quelconque. Le postulat de Huyghens était donc en réalité de ceux dont personne n'a jamais douté et que chacun au contraire connaît instinctivement. Huyghens donnait toutefois à cette connaissance instinctive une valeur abstraite et ne manqua pas de partir de ce point pour montrer l'inutilité de la recherche du mouvement perpétuel, ^ous pouvons reconnaître dans la proposition que nous venons de développer la généralisation d'une des conceptions de Galilée.

18. — Occupons-nous maintenant du rôle de ce principe dans la détermination du centre d'oscillation. Considérons pour la simplicité un pendule linéaire OA (fig. G3) formé d'un grand nombre de masses indiquées sur la figure par des points. Si on l'abandonne à lui-même dans la position OA, il descendra jusqu'en B et montera jusqu'à la position A' pour laquelle AB = BA'. Son centre de gravité montera d'un côté aussi haut qvi'il est descendu de l'autre. Mais la solution ne peut être déduite de cette remarque. Supposons "'

maintenant qu'au moment où le pendule passe par OB les particules matérielles soient soudainement affranchies de leurs liaisons ; leurs vitesses acquises élèveront leur centre de gravité à la même hauteur qu'avant cette suppression, et si l'on imagine que chacune de ses particules matérielles, oscillant librement, soit fixée à sa position d'élévation maximum, les pendules plus courts se trouveront en deçà et les plus longs au delà de OA', mais le centre de gravité du système se trouvera

4oO HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES

sur cette ligne, à sa hauteur primitive. D'autre part les vitesses imprimées aux particules matérielles sont proportionnelles à leurs distances à l'axe ; une de ces vitesses étant donnée, toutes les autres sont connues et la hauteur d'ascension du centre de gravité s'en déduira. Inversement, la vitesse d'une masse quelconque est déterminée par la hauteur du centre de gravité. Or, pour connaîti-e tout le mouvement d'un pendule, il suffit de la vitesse correspondant à une hauteur de chute donnée.

19. — Ces remarques faites, nous aborderons la solution du problème. Etant donné un pendule linéaire, coupons-en un segment de longueur i à partir de l'axe et soit h la hauteur d'où tombe l'extrémité de ce segment lorsque le pendule se meut de sa position d'écart maximum à sa position d'équilibre. Les hauteurs de chute des masses m, ni', m",..., situées aux dislances r, r' , r",..., de l'axe, seront vk, r'k, r"k,..., et la hauteur de chute du centre de gravité sera

mrk -+- m' r'k -+- m"r"k -+- , I.mr ^

m H- m' -h m" -h Xm

Fig. 64.

Ce passage à la position d'équilibre communique au point situé à la distance i de l'axe une vitesse v encore inconnue. La hauteur d'ascen-

sion de ce point, après la suppression des liaisons, sera donc — et les hauteurs correspondantes pour les autres masses seront ^^ — — , — ;— - ,

■ .... La hauteur d'ascension du centre de gravité des masses rcn-

ducs libres sera par conséquent :

2fj -2(1 '2<j v^ I.mr^

m -\~ m H- m" H- ag im

Le principe fondamental de Huyghens donne

, l.mr v'^ ^nir"^ ^

Zm 2g Xm '

Cette équation lie la hauteur de chute k à la vitesse u. Puisque tous les mouvements pendulaires de même écartement sontphoronomiquement semblables, il s'ensuit que le mouvement étudié est entièrement déterminé.

Pour trouver la longueur du pendule simple dont l'oscillation se fait

TRAVAUX DE HUYGHENS 4oi

dans le même temps que celle du pendule composé proposé, remarquons qu'entre sa hauteur de chute et sa vitesse il doit exister la même relation que dans le cas de la chute libre. Soit y la longueur de ce pendule, sa hauteur de chute est hy et sa vitesse vy, on a :

^^ = hy,

en multipliant membre à membre les équations a) et h) il vient :

Smr^ ^ 'Lmr

On peut aussi se servir de la similitude phoronomique et procéder comme suit : a) donne

Le pendule simple de longueur i, a, dans les circonstances présentes, la vitesse

Soit T la durée d'oscillation du pendule composé ; celle du pendule simple de longueur i est Tj = tt V/ - , et l'on trouve, dans l'hypothèse des écartements égaux où nous sommes placés :

Il "i , T — V

d'où

V q'Lmr

SO. — On découvre sans peine que le principe fondamental posé par Huyghens consiste dans la reconnaissance du travail comme déterminanle de la vitesse ou plus exactement comme déterminante de la force vive. On appelle force vive d'un système de masse m, m', m",..., animées des vitesses respectives v, v', v",..., la somme

R. B. — Tome I. a6

Le principe fondamental de Iluyghens est identique au principe des forces Yives et les additions qu'y apportèrent plus tard les autres chercheurs en intéressent bien moins le fond que la forme.

Considérons un système tout à fait quelconque de poids p, p' , p",.., liés entre eux ou non, tombant de hauteurs h, h', Ji",... et acquérant ainsi des vitesses v, v', v"... ; le principe de Iluyghens, exprimant l'égalité de la hauteur de chute et de la hauteur d'ascension du centre de gravité, fournit l'équation

Une fois en possession du concept « masse » , qui manquait encore à Huyghens, on peut remplacer le, rapport " par la masse met l'on obtient

Zph