A II B

Fig. 8.

SI nous représentons la longueur AB par / et les segments AH, IIB par a et b, les théorèmes démontrés par Eudoxe se traduisent par les identités algébriques suivantes :

(i) (a + - A = 5 ( - n . [Euclide, prop. i du livre \III].

1(2) Réciproquement, si l'égalltc ( i) est vraie et si nous faisons AH = a, la droite AB se trouve divisée en H en une section d'or. [Euclide, prop. 2 du livre XIII] .

(3) (6 H- 7 a j = 5 f - a) . [Euclide, prop. 3 du Hvrc XIII].

.(A) l^ -h 62 = 3a2. [Euclide, prop. 4 du hvrc XIII].

l -\- a / ce qui donne une autre section d'or

/ a' [Euclide, prop. 5 du livre XIII].

Ces propositions ont été successivement énoncées par Euclide, au commencement de son XIIP livre, mais elles auraient pu tout

aussi bien être placées à la fin du second livre. Toutes sont algébriquement évidentes, puisque

l.z= a -Jr b et a- = h. l.

Eudoxe créa plus tard la méthode « d'exhauslion » qui repose sur cette proposition que « si à la plus grande de deux grandeurs inégales, on enlève plus que sa moitié, et à ce qui reste encore, plus que sa moitié, et ainsi de suite, on finira par obtenir un reste moindre que la plus petite des deux grandeurs proposées ». Euclide avait classé cette proposition comme la première du X" livre de ses Eléments, mais dans la plupart des éditions scolaires modernes, elle est placée au commencement du XII" livre. A l'aide de ce théorème, les géomètres anciens pouvaient éviter l'emploi des infiniments petits : la méthode est rigoureuse mais d'une application pénible. On en trouve un bon exemple dans la démonstration de la proposition 2 du livre XII d'Euclide, à savoir que : le carré du rayon d'un cercle est au carré du rayon d'un autre cercle' comme l'aire du premier cercle est à une aire qui n'étant, ni plus petite, ni plus grande que celle du second cercle, représente nécessairement celle de ce second cercle.

La démonstration qu'en donne Euclide est (suivant l'usage) complétée par une rédaction à l'absurde.

Eudoxe utilisait ce principe pour démontrer que le volume d'une pyramide (ou d'un cône) est le tiers de celui d'un prisme (ou d'un cylindre) de même base et de môme hauteur (Euclide, prop. 7 et iD du livre XII). On pense aussi qu'il s'en servait pour étabhr que les volumes de deux sphères sont entre eux comme les cubes de leurs rayons. Quelques écrivains estiment que c'est à lui, et non à Hippocrate, qu'on doit attribuer la proposition 2 du livre XII d'Euclide.

Eudoxe considéra également certaines courbes autres que le cercle,

Eudoxe imagina un système planétaire et écrivit un traité d'astronome pratique dans lequel, adoptant une hypothèse déjà mise en avant par Philolaiis, il supposait un certain nombre de sphères mobiles auxquelles le soleil^ la lune et les étoiles étaient fixés et qui, par leur rotation, produisaient les effets observés. Son système