CHAPITRE Iir. LES lîCOLES D ATHENES ET DE CMDE 'iQ

supposait vingt-sept sphères en tout. A mesure que les observations devinrent plus exactes, les astronomes qui acceptèrent son système durent continuellement imaginer de nouvelles sphères pour faire concorder les faits avec la théorie.

L'ouvrage sur l'astronomie écrit par Aratus vers — 3oo et qui subsiste encore est basé sur celui d'Eudoxe.

Platon et Eudoxe étaient contemporains.

Ménoechme. — Parmi tous les mathématiciens dont nous venons de donner les noms, nous ferons spécialement mention de Ménœchme qui naquit vers — SyS et mourut vers — 325. Il fut, comme nous venons de le dire, élève d'Eudoxe et lui succéda probablement à la tète de l'Ecole de Cyzique. Ménœchme jouissait d'une grande réputation comme professeur de géométrie et fut un des précepteurs d'Alexandre le Grand. A la demande de son élève le priant un jour de présenter ses démonstrations d'une manière simple, il fit cette réponse bien connue que, si dans un pays il existait diverses voies privées, et même des voies royales, il n'existait qu'une seule route pour parvenir à la connaissance delà géométrie, route qui devait être suivie par tout le monde. Ménœchme étudia le premier les sections coniques qui furent pendant longtemps appelées la triade ménœchmienne. Il les divisait en trois classes et recherchait leurs propriétés, non pas en faisant différentes sections planes dans un même cône, mais en supposant un plan fixe et en lui faisant couper des cônes différents. Il fit voir que la section d'un coïïG droit par un plan perpendiculaire à une génératrice est une ellipse si l'angle au sommet est aigu, une parabole s'il est droit, et enfin une hyperbole §i cet angle est obtus. Il donna une construction mécanique de ces courbes.

Il montra également comment ces courbes pouvaient être utilisées de deux manières pour la solution du problème de la duplication du cube.

Dans la première de ses méthodes, il fait remarquer que deux paraboles ayant un sommet commun, leurs axes rectangulaires et telles que le paramètre de l'une soit double de celle de l'autre, se coupent en un second point dont l'abscisse (ou l'ordonnée) donne une solution du problème : car (en employant l'analyse), si les équations des paraboles sont y^ = 2ax etx^ = ay, elles se cou-

R. B. — Tome I. 4

5o HISTOIRE DES ÎHATHÉMATIQUES

pentenun point dont l'abscisse est donnée par l'équalion x° = 10?. Il est probable que cette méthode lui fut suggérée par la forme sous laquelle Hippocrate avait présenté le problème : déterminer x et y de telle sorte que l'on ait :

d'où l'on déduit

x^' = ay

et f

y- = 2aX.

Voici la seconde solution de Ménœchme : On décrit une parabole de paramètre -, puis une hyperbole équilalère ayant fil pour

longueur de son axe réel, et pour asymptotes la tangente au sommet et l'axe de la première. L'ordonnée et l'abscisse du point d'intersection de ces courbes sont les moyennes proportionnelles entre / et 2/.

L'analyse le prouve immédiatement, car les équations de ces courbes sont

X' = ly et xy = 2/^.

Elles se coupent en un point déterminé par les équations

x^ = 2P et y' = [xl\

dès lors

Aristé et Theaetète. — Parmi les autres membres de ces Ecoles, Aristé et Theœtcte dont les ouvrages sont complètement perdus furent des mathématiciens en renom. Nous savons qu' Aristé écrivit sur les cinq solides réguliers et que Theœtète développa la théorie des grandeurs incommensurables. Le seul théorème que nous puissions sûrement attribuer au dernier, est celui qui fait l'objet de la proposition neuf du dixième livre d'Euclide^ et dont voici l'énoncé :

Les carrés construits sur deux lignes commensurables ont entre eux le même rapport que le carré d'un nombre au carré d'un autre nombre (et réciproquement) ; les carrés construits sur deux longueurs incommensurables ont entre eux un rapport qui ne peut

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être exprimé par celui du carré d'un nombre au carré d'un autre nombre (et réciproquement).

Ce théorème comprend les résultats donnés par Théodore (').

Les contemporains ou les successeurs de ces mathématiciens écrivirent quelques nouveaux traités sur les Eléments de la Géométrie et sur les sections coniques ; ils firent connaître quelques problèmes relatifs à la recherche des lieux et poursuivirent efficacement le travail commencé par Platon en systématisant les connaissances déjà acquises.

Aristote. — Notre histoire de l'Ecole Athénienne ne serait pas complète si nous passions sous silence Aristote qui naquit à Stagire, en Macédoine, en — 384, et mourut à Chalcis, en Eubée, en — 322. Les sciences naturelles avaient pour lui un attrait tout particulier ; il s'intéressait cependant aux mathématiques et à la mécanique. Un petit ouvrage, contenant quelques questions de mécanique et qu'on lui attribue quelquefois, offre un certain intérêt parce qu'il montre que les principes de la mécanique commençaient déjà à attirer l'attention, et parce qu'il contient le plus ancien exemple connu de l'emploi des lettres pour représenter les grandeurs.

On y trouve une preuve dynamique de la règle du parallélogramme des forces et ce passage remarquable « si a. est une force appliquée à une masse jj, y la distance dont cette masse est déplacée et â le temps du déplacement, on peut dire que a déplacera une

masse - de la distance 2y dans le temps c?, ou de la distance y dans le temps - . »

Mais l'auteur continue ainsi « il ne s'ensuit pas que ~ déplacera jS

d'une distance - dans le temps c?, attendu que la force - peut n'être

pas du tout en mesure de déplacer jS. Ainsi loo hommes pourront remorquer un vaisseau sur une longueur de lOO mètres, mais il ne s'ensuit pas qu'un seul homme pourra le déplacer d'un mètre. » La première partie de ce raisonnement est correcte, car elle revient

(') Voir plus haut, p. Sa.

à dire que l'impulsion est proportionnelle au momentiim {^), mais la seconde partie demanderait à être discutée.

Aristote signale aussi ce fait que : « ce que l'on gagne en puissance est perdu en chemin parcouru » et que par conséquent deux poids qui s'équilibrent sur un levier (sans poids) sont inversement proportionnels aux bras de levier ; c'est ce qui explique, dit-il, pourquoi il est plus facile d'extraire les dents avec une pince qu'avec les doigts.

Entre autres questions qu' Aristote laisse sans réponse, se trouvent les deux suivantes : pourquoi un projectile s'arrêtera -t-il toujours? — Pourquoi les voitures munies de grandes roues sont- elles plus faciles à mouvoir que celles qui ont des petites roues?

Nous ajouterons que l'ouvrage contient des erreurs graves, et ne présente pas dans son ensemble autant d'intérêt qu'on pourrait le supposer d'après les extraits que nous venons de faire.

En résumé les Grecs ne comprirent pas suffisamment que les principes de la Mécanique ne pouvaient être établis que sur l'observation et l'expérience.

(') Cette expression employée en Angleterre désigne le produit de la masse mise en mouvement par la vitesse, c'est-à-dire, la qiianlitc de mouvcineiiL (N. du T.)