CHAPITRE XVI. LA. VIE ET LES TRAVAUX D ISAAG NEWTON

niqua à la Société Royale. Les calculs primitifs de Newton et les mémoires qui les accompagnent se trouvent dans la collection (( Portsmoulh » ; il obtint les réfractions en déterminant au moyen de quadratures la route suivie par un rayon. Comme exemple du génie de\e\vton, nous pouvons faire remarquer que, jusqu'en i~^\, Euler échoua dans la résolution du même problème. En 1782, Laplacc donna une llèglc permettant de construire une pareille table, et ses résultats concordent approximativement avec ceux de Newton. Il est probable qu'après sa maladie, et quelles que fussent les circonstances, Newton n'eût pas continué ses travaux. En 1696, il fut appelé au poste de recteur, et en 1699 nommé directeur de la monnaie, au traitement de * i5oo par an : il cessa alors ses recherches scientifiques. .Néanmoins plusieurs de ses œuvres antérieures furent publiées sous forme de livres après ces événements.

En 1O96 il se rendit à Londres, en 1701 il abandonna la chaire Liicasian, et en lyoS il fut élu Président de la Société Royale.

En lyo'i. Newton publia son Oplics qui contient les résultats des mémoires déjà mentionnés. A la première édition de l'ouvrage étaient annexés deux opuscules d'importance secondaire et n'ayant aucun rapport direct avec l'Optique : l'un traitait des cubiques et l'autre de la quadrature des courbes et des fluxions. Tous deux étaient de vieux manuscrits que ses amis et élèves connaissaient bien et que l'on publiait cependant pour la première fois.

Le premier de ces deux opuscules porte ce titre : Eniimeratio Lineariim terlii ordinis ('), il semble avoir pour objet de donner im exemple de l'emploi de la géométrie analytique ; comme l'application de cette science aux coniques était bien connue, Newton choisit la théorie des cubiques. Il commence par quelques théorèmes généraux, et classe les courbes d'après leurs équations, en algébriques et transcendantes, les premières étant coupées par une

s'y trouvent devraient être comparés avec ceux qu'on lit dans la vie de Newton de Bre\\steu.

Flamsteed fut remplace comme Astronome Royal par Edjiond Halley (voir plus loin.

(') Sur cet ouvrage et sa bibliographie, voir dans les Tninsactions of Ihr London Mathrnialical Society, i8()i. Vol. XXII, p. io4-i'j3, un mémoire de W. Rolse-Ball.

2lî HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES

Vi^ne ilroite en un nombre de points (réels uu imaginaires , égal au degré de la courbe, les dernières étant coupées par une ligne droite en un nombre infini de points. Newton montre alors que plusieurs des propriétés les plus importantes des coniques ont leurs analogues dans la lliéorie des cubiques, et il discute la tbéoric des asymptotes et des diamètres curvilignes.

Après ces tbéorcmes généraux, New ton aborde l'étude détaillée des cubiques en faisant ressortir que ces courbes doivent avoir au moins un point réel à l'infini. Si l'asymptote, ou la tangente en ce .point est à une distance finie, on peut la prendre pour axe des y. Celte asymptote coupera la courbe en trois points, dont deux au •moins sont à l'infini. Si le 3" point est à une distance finie, alors, (d'après l'un de ses tbéorèmes généraux sur les asymptotes) l'équalion peut se mettre sous la forme.

xy- -H hy = a.v ' -{■ h.r' + i\r -h d

OÙ les axes des x et des y sont les asymptotes de l'hyperbole, lieu des points milieux de toutes les cordes menées parallèlement à l'axe des y. Mais si le troisième point où l'asymptote coupe la courbe est 'lui aussi à l'infini, l'équation peut élrc écrite sous la forme

.TV = aa;^ 4- hx- -+- c.r -+- d.

11 prend ensuite le cas où la tangente au point réel à l'infini n'est i)as à une distance finie. Une ligne parallèle à la direction de la courbe vers l'infini peut élre prise pour axe des y. Une telle ligne coupera la courbe en trois points dont l'un est, par hypothèse, a l'inlini et un autre nécessairement à une distance finie. Il montre alors que si le troisième point d'intersection est à distance finie, l'équation peut être écrite sous la forme :

y- = ax' -h bx^ -+- ex -+ (/

'tandis cpic, s'il est à distance infinie, l'équation peut être écrite sous la forme :

y = a.r-' -+- hx- -I- ex 4- d.

Toute cubique est par conséquent réductible à l'une des quatre

formes caractéristiques précitées. Chacune des ces formes est alors

•examinée en détail, et la possibilité de l'existence des points doubles.

en VPITRE \V[. L.l VIE ET LES TR.VV\UX D ISAAC NEWTON 27

■de lx)ucles îsoIl'cs, etc., est étudiée. Le résultat final est qu'une cubique peut prendre en tout 78 formes possil)les. ^'e\vton en énumère seulement 72 ; parmi les six restantes, quatre furent mentionnées par Stirling- en 1717, une autre par Nicole en 1701, et la dernière par Nicolas Bernoulli, à peu près à la même époque. Dans le corps de l'ouvrage, Newton énonce ce remarquable tbéorèmc <(ne : de même que l'ombre d'un cercle projetée par un point lumineux sur un plan donne naissance à toutes les coniques, de même les ombres des courbes représentées par l'équation

donnent naissance à toutes les cubiques. Cette proposition resta comme une énigme insoluble jusqu'en 1731 ; à cette date Nicole et Clairant en donnèrent des démonstrations. Une meilleure fut présentée par Murdoch en r7'jo. elle dépend de la classification de ces courbes en cinq espèces, suivant que leurs points d'intersection avec l'axe des x sont réels et distincts, réels deux d'entre eux étant confondus (deux cas), réels, et tous confondus ou deux imaginaires et un réel.

Dans cet opuscule Newton parle aussi des points doubles à distance finie et infinie, il donne la description des courbes remplissant certaines conditions spécifiées, et la solution grapbique de problèmes par l'emploi des courbes.

Le second appendice à YOptics est intitulé : De Qnadratura Curvaruin. Beaucoup des résultats qu'on y trouve avaient été communiqués à Barrow en 1G68 ou i665 et probablement étaient connus des élèves et amis de New'ton bien avant cette date. Il comprend deux parties.

La première dans son ensemble est un exposé de la méthode qu'employa NeAvtonpour etTectuer la quadrature et la rectification des courbes parle moyen des séries infinies: il faut noter qu'on trouve là le plus ancien emploi en imprimerie d'indices littéraux •et aussi la première exposition imprimée du théorème du binôme; mais ces nouveautés ne sont introduites que d'une façon incidente. Le principal objet est de donner des règles pour le développement d'une fonction de x* en une série ordonnée par rapport aux puissances croissantes de x, de façon à permettre aux mathématiciens •d'efTectuer la quadrature de toute courbe dans laquelle l'ordonnée

y8 IIISTOIUE DES MATHÉMATIQUES

V peut-être exprimée comme une fonction algébrique explicite de l'abscisse ./■. AN allis avait montré comment on pou\ait arriver à cette qiiadialnre lorsque y était donné par une somme d'un certain nombre de nndtiples de [)uissances de x ; les règles formulées [)ar Newton rendent celte méthode applicable à toute courbe dont l'ordonnée peut être exprimée par la somme d'un nombre iidini de pareils termes. 11 eflectue de cette manière la quadrature des courbes :

/ = ^ ■ y = ("= ± -' > ■..'• = (■'• - -' > vv = ( Hï-g) ' •■

naturellement les résultats sont exprimes en séries infinies. Il passe ensuite aux courbes dont l'ordonnée est une fonction implicite de l'abscisse, et il donne une méthode pour exprimer sous forme d'une série infinie procédant suivant les puissances croissantes de.c ; mais l'application de la règle à une courbe quelconque exige, en g('néral. des calculs numériques d'une telle com[)lication qu'elle perd ici beaucoup de sa valeur. 11 termine celte partie de son ouvrage en montrant que la rectification d'une courbe peut être effectuée d'une manière à peu près semblable. Son procédé est

équivalent à celui qui consiste à trouver l'intégrale par rapport

à rB de (i H- y'- 2 sous la forme d'une série infinie. Nous devons

ajouter que Newton fait ressortir combien il importe de déterminer si une série est convergente — observation bien avancée pour son temps — mais ilnavaitpour cela aucun critérium, et en fait, ce ne fut que lorsque Causs et Cauchy eurent entrepris l'examen de cette question, que la nécessité d'une telle restriction fut communément reconnue.

La partie de l'appendice que nous venons de décrire est pratiquement la même que dans le manuscrit de Newton ; De Analysi per Eqiialiones niimcro Tcrininoi'iuii in/liillus, qui fut inqirimé en 1711. Cet ouvrage aurait été,dil-on, composé en principe pour servir de complément à l'algèbre de Kinckhuysen, qu'il eut un moment le dessein de traduire, ainsi que nous l'avons déjà dit. Jl fut communiqué en substance à Barrovv, et par ce dernier à Gollins. dans des lettres du 3i juillet et du 12 août 1669; im résumé d'une partie de ce travail futinsércdans la lettre du al octobre idyC» adressée à Leibnitz.